《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理》均勻分析

1、第六章 均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的概念與特點(diǎn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)均勻分布的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。它適用于多因素、多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，是大幅度減少試驗(yàn)次數(shù)的一種優(yōu)良的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。均勻設(shè)計(jì)是我國(guó)著名的數(shù)理統(tǒng)計(jì)專家方開(kāi)泰與數(shù)論專家王元合作，于1978年提出來(lái)的。它是一種高效、快速的多因素設(shè)計(jì)分析方法，它將數(shù)論與多元統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合，利用均勻設(shè)計(jì)表，使各試驗(yàn)因素及水平在試驗(yàn)范圍內(nèi)得到合理的安排，達(dá)到用較少的試驗(yàn)點(diǎn)，獲得更多信息之目的。 二、均勻設(shè)計(jì)的特點(diǎn)均勻設(shè)計(jì)是利用均勻設(shè)計(jì)表來(lái)安排試驗(yàn)的，均勻設(shè)計(jì)表是根據(jù)數(shù)理理論制定的，滿足均勻散布原則。即均勻設(shè)計(jì)只考慮了試驗(yàn)點(diǎn)的“均勻散布”，而未考

2、慮“整齊可比”，因而可以大大減少試驗(yàn)次數(shù)。均勻設(shè)計(jì)多用于多因素、多水平的設(shè)計(jì)，（如多因素，水平數(shù)5）。由于試驗(yàn)次數(shù)少，故要求試驗(yàn)因素與非試驗(yàn)因素均易于嚴(yán)格控制（如理化反應(yīng)試驗(yàn)等），試驗(yàn)條件不易嚴(yán)格控制的不宜用均勻設(shè)計(jì)（如臨床試驗(yàn)，病人個(gè)體差異較大，試驗(yàn)過(guò)程中，非處理因素的干擾較難控制）。 三、均勻設(shè)計(jì)表（一）等水平均勻設(shè)計(jì)表每一個(gè)均勻設(shè)計(jì)表有一個(gè)代號(hào)Un(nm)或U*n(nm) ，其中“U”表示均勻設(shè)計(jì)，下標(biāo)“n”表示要做n次試驗(yàn)，括號(hào)中“n”表示每個(gè)因素有n個(gè)水平（試驗(yàn)時(shí)水平數(shù)可以小于試驗(yàn)次數(shù)，但必須能被試驗(yàn)次數(shù)整除），“m”表示該表有m個(gè)因素（列）； U的右上角加“*”和不加“*”分別代表

3、兩種不同類(lèi)型的均勻設(shè)計(jì)表。如表1和表4分別為均勻表U7(74)和U*7(74)。通常加“*”的均勻設(shè)計(jì)表有更好的均勻性，應(yīng)優(yōu)先選用。每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表都附有一個(gè)使用表，指示如何從均勻設(shè)計(jì)表中選用適當(dāng)?shù)牧?，以及由這些列所組成的試驗(yàn)方案的均勻度（D）。D表示均勻度的偏差，D值越小，表示均勻度越好。 試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)123411236224653362444153553126654177777表1 U7(74)表2 U6(64)試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)1234112362246533624441535531266541表3 U6(64)、U7(74)使用表因素?cái)?shù)列 號(hào)D2130.239831230.3721412340

4、.4760表4 U*7(74) 試驗(yàn)號(hào) 列 號(hào) 1 2 3 4 1 1 3 5 7 2 2 6 2 6 3 3 1 7 5 4 4 4 4 4 5 5 7 1 3 6 6 2 6 2 7 7 5 3 1 表5 U*7(74)使用表 因素?cái)?shù)列 號(hào)D2130.158232340.2132表6 U7(76) 試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)1234561123456224613533625144415263553164266543217777777試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)123456112345622461353362514441526355316426654321表7 U6(66)因素?cái)?shù)列 號(hào)D2130.239831230.37

5、21412360.4760表8 U6(66)、 U7(76)使用表試驗(yàn)號(hào)列號(hào)1234567891011234567891022468101357933691471025844815926103755104938271666172839410577310629518488521074196399753110864210109876543211111111111111111111111表9 U11(1110)因素?cái)?shù)列號(hào)21731574125751235761233710表10 U10(1010)、U11(1110)的使用表試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)12345678112478111314224814171113

6、336126939124481132147115510551010510661291236397714134112188812114131479936312912610105101055105111171421318412129396126313131171148421414131187421151515151515151515表11 U15(158) 試驗(yàn)安排表12 U14(148)、U15(158)使用表因素?cái)?shù)列 號(hào)216313441347512347均勻設(shè)計(jì)表有如下特點(diǎn)：（1）每個(gè)因素的每一水平只做一次試驗(yàn)。（2）任意兩個(gè)因素的不同水平組合恰好只有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。（3）均勻設(shè)計(jì)表中任意兩列之

7、間不一定是平等的，也就是說(shuō)試驗(yàn)點(diǎn)分散的均勻性是不同的，只有按相應(yīng)使用表的規(guī)定，才能使試驗(yàn)點(diǎn)充分均勻分散。 注意：均勻設(shè)計(jì)表中試驗(yàn)次數(shù)為奇數(shù)的，其最后一行均為該表的水平數(shù)，如果將最后一行劃掉，則變成比它小于1的試驗(yàn)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)的均勻設(shè)計(jì)表。（一般書(shū)籍中只列出試驗(yàn)次數(shù)為奇數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表）例如：表1、2、6、7、9、11使用表：每張均勻設(shè)計(jì)表都附有一張相應(yīng)的使用表（試驗(yàn)次數(shù)為奇、偶數(shù)的使用表相同）。如表3、8、10、12（二）混合水平的均勻設(shè)計(jì)表（擬水平法）例1，有2個(gè)因素A和B為3水平，1個(gè)因素C為2水平。分別記它們的水平為A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2 ?？梢杂谜槐鞮18（23

8、7）來(lái)安排 也可選用均勻設(shè)計(jì)表U6(64) （見(jiàn)表13）， 采用擬水平設(shè)計(jì)（見(jiàn)表14）。表13 U6(64) 試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)1234112362246533624441535531266541表14 擬水平設(shè)計(jì)U6（3221） 試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)1A2B3C1（1）1（2）1（3）12（2）1（4）2（6）23（3）2（6）3（2）14（4）2（1）1（5）25（5）3（3）2（1）16（6）3（5）3（4）2例2 要安排一個(gè)2因素（A、B）5水平和1因素（C）2水平的試驗(yàn)?？捎谜槐恚ㄔ囼?yàn)次數(shù)很多） 可用U*10(1010)來(lái)安排（見(jiàn)附件表10-14 、表10-15、表10-16）試驗(yàn)號(hào)列號(hào)1234

9、56789101123456789102246810135793369147102584481592610375510493827166617283941057731062951848852107419639975311086421010987654321表15 U*10(1010)試驗(yàn)號(hào)列號(hào)1A5B7C1（1）1（5）3（7）22（2）1（10）5（3）13（3）2（4）2（10）24（4）2（9）5（6）25（5）3（3）2（2）16（6）3（8）4（9）27（7）4（2）1（5）18（8）4（7）4（1）19（9）5（1）1（8）210（10）5（6）3（4）1表16 擬水平設(shè)計(jì)U10（

10、5221）試驗(yàn)號(hào)列號(hào)1A2B5C1（1）1（2）1（5）12（2）1（4）2（10）23（3）2（6）3（4）14（4）2（8）4（9）25（5）3（10）5（3）16（6）3（1）1（8）27（7）4（3）2（2）18（8）4（5）3（7）29（9）5（7）4（1）110（10）5（9）5（6）2表17 擬水平設(shè)計(jì)U10（5221） 四、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法（一）試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)（2）選因素（3）確定因素的定水平（4）選擇均勻設(shè)計(jì)表均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有整齊可比性，試驗(yàn)結(jié)果不能用方差分析，須采用多元回歸分析法，找出描述多個(gè)因素（x1，x2，xm）與Y之間統(tǒng)計(jì)關(guān)系的

11、回歸方程。若各個(gè)因素與Y之間的關(guān)系是線性的，多元回歸方程為當(dāng)回歸為非線性時(shí)，或因素間存在交互作用時(shí)，可回歸為多元高次方程。如因素與Y為二次關(guān)系時(shí)，回歸方程為式中，xixj反映因素間的交互效應(yīng)，xi2反映因素的二次項(xiàng)的影響。 回歸方程的系數(shù)總數(shù)（不包括b0項(xiàng)）為其中交互作用項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為注意為了求得二次項(xiàng)和交互作用項(xiàng)，必須選用試驗(yàn)次數(shù)大于回歸方程系數(shù)總數(shù)的均勻設(shè)計(jì)表。例如，考察3個(gè)因素時(shí) 可見(jiàn)，因素的多少和因素的方次大小直接影響試驗(yàn)工作量。為了盡量能夠減少試驗(yàn)次數(shù)，在安排試驗(yàn)前，應(yīng)該用專業(yè)知識(shí)判斷一下各個(gè)因素對(duì)響應(yīng)值影響的大致情況，各個(gè)因素之間是否存在交互作用，刪去影響不顯著的和影響小的交互作用項(xiàng)和

12、二次項(xiàng)，以減少回歸方程的系數(shù)的個(gè)數(shù)，從而減少試驗(yàn)次數(shù)。 （5）進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)根據(jù)試驗(yàn)的因素?cái)?shù)和該均勻設(shè)計(jì)表對(duì)應(yīng)的使用表，將各個(gè)因素安排在均勻表的相應(yīng)列中，如果是混合水平均勻表，則可省去表頭設(shè)計(jì)這一步。均勻表中的空列既不能安排交互作用，也不能用來(lái)估計(jì)誤差，所以在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)不用列出。 有時(shí)均勻設(shè)計(jì)表的水平數(shù)多于設(shè)置的水平數(shù)，例如，U12(1211)的水平數(shù)為12，而因素只要設(shè)置6個(gè)水平就足夠了，這時(shí)可以采用擬水平的方法安排試驗(yàn)，將設(shè)置的每個(gè)水平重復(fù)一次排入均勻表中。均勻設(shè)計(jì)表所安排的因素個(gè)數(shù)越多，其均勻性越差。（6）明確試驗(yàn)方案，進(jìn)行試驗(yàn)（7）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析（二）試驗(yàn)結(jié)果分析 （1）直接分

13、析法直接對(duì)試驗(yàn)所得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，從中挑選出試驗(yàn)指標(biāo)最好的試驗(yàn)點(diǎn)。（2）最小二乘回歸分析法(不要求） 得到反映各個(gè)試驗(yàn)因素與試驗(yàn)指標(biāo)關(guān)系的回歸方程。 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)絕對(duì)值大小或顯著水平P值的大小，得到試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)影響的主次順序和影響的顯著性程度。 根據(jù)回歸方程的極值點(diǎn)得到最優(yōu)工藝條件。（三）驗(yàn)證試驗(yàn)按此最佳工藝條件進(jìn)行一次試驗(yàn)，用于驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)劣以及與回歸方程模型之間的差異。五、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的應(yīng)用 例1 例2 例1 在淀粉接枝丙烯酸制備高吸水性樹(shù)脂的試驗(yàn)中，為了提高樹(shù)脂吸鹽水的能力，考察了丙烯酸用量（x1），引發(fā)劑用量（x2），丙烯酸中和度（x3）和甲醛用量（x4）四個(gè)因素，

14、每個(gè)因素取9個(gè)水平，如表18所示。水平因 素丙烯酸用量x1/mL引發(fā)劑用量x2/%丙烯酸中和度x3/%甲醛用量x4/mL112.00.348.00.20214.50.453.50.35317.00.559.00.50419.50.664.50.65522.00.770.00.80624.50.875.50.95727.00.981.01.10829.51.086.51.25932.01.192.01.40表18因素水平解：根據(jù)因素和水平，可以選擇均勻設(shè)計(jì)表U9（95）。根據(jù)U9（95）的使用表，將x1，x2，x3和x4分別安排在U9（95）表的1、2、3、5列（D0.4066），其試驗(yàn)方案及試

15、驗(yàn)結(jié)果如表21。試驗(yàn)號(hào)列號(hào)12345112478224857336336448715551284663663775142887521999999表19 U9(95)因素?cái)?shù)列 號(hào)D2130.194431340.3102412350.4066表20 U9(95)的使用表試驗(yàn)號(hào)列 號(hào)吸鹽水倍率1（x1/ml）2（x2/%）3（x3/%）5（x4/ml）11（12.0）2（0.4）4（64.5）8（1.25）3422（14.5）4（0.6）8（86.5）7（1.10）4233（17.0）6（0.8）3（59.0）6（0.95）4044（19.5）8（1.0）7（81.0）5（0.80）4555（22.

16、0）1（0.3）2（53.5）4（0.65）5566（24.5）3（0.5）6（75.5）3（0.50）5977（27.0）5（0.7）1（48.0）2（0.35）6088（29.5）7（0.9）5（70.0）1（0.20）6199（32.0）9（1.1）9（92.0）9（1.40）63表21 試驗(yàn)方案和結(jié)果直觀分析法：由表21可以看出9號(hào)試驗(yàn)所得產(chǎn)品的吸鹽水能力最強(qiáng)，可以將9號(hào)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的條件作為較優(yōu)的工藝條件。多元回歸分析：采用SAS統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)表21數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，結(jié)果如下：SAS程序：DATA zp1;INPUT x1-x4 y ;cards;12.0 0.4 64.5 1.25

17、 3414.5 0.6 86.5 1.10 4217.0 0.8 59.0 0.59 4019.5 1.0 81.0 0.80 4522.0 0.3 53.5 0.65 5524.5 0.5 75.5 0.50 5927.0 0.7 48.0 0.35 6029.5 0.9 70.0 0.20 6132.0 1.0 62.0 1.40 63;PROC REG ;MODEL y=x1-x4/stb;RUN; SAS輸出結(jié)果 Analysis of Variance Sum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr FModel 4 918.78086

18、229.69521 69.50 0.0006Error 4 13.21914 3.30479Corrected Total 8 932.00000 Root MSE 1.81791 R-Square 0.9858 Dependent Mean 51.00000 Adj R-Sq 0.9716 Coeff Var 3.56452 Parameter Estimates Parameter Standard StandardizedVariable DF Estimate Error t Value Pr |t EstimateIntercept 1 14.77203 5.04151 2.93 0

19、.0428 0 x1 1 1.75584 0.12427 14.13 0.0001 1.11377 x2 1 -12.25639 3.08956 -3.97 0.0166 -0.29197 x3 1 0.11102 0.05812 1.91 0.1287 0.13087 x4 1 -1.78771 1.67450 -1.07 0.3458 -0.068由上述分析結(jié)果可知，回歸方程為：14.772031.75584112.2563920.1110231.787714這是一個(gè)四元線性回歸方程，經(jīng)檢驗(yàn)回歸方程有顯著性（F =69.50，P =0.0006）。對(duì)各偏回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果為：t1=

20、14.13， P =0.0001；t2 =3.97，P =0.0166； t3 =1.91，P =0.1287，t4 =1.07，P =0.3458。由標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)可知因素的主次順序?yàn)椋?234。因素1、2對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響有顯著性，并1的系數(shù)為正，表明試驗(yàn)指標(biāo)隨因素1的增加而增加；2的系數(shù)為負(fù)，表明試驗(yàn)指標(biāo)隨因素2的增加而減少。故在確定較優(yōu)方案時(shí)，因素1的取值應(yīng)偏上限，即丙烯酸用量取32ml；同理，因素2的取值應(yīng)偏下限，即引發(fā)劑用量取0.3。而因素3、4對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響無(wú)顯著性，故3、4可任取，根據(jù)降低消耗、提高效率的原則，丙烯酸中和度取92，甲醛用量取0.20ml。將以上各值代入上述回歸方

21、程，得80.32，這一結(jié)果好于表21中的第9號(hào)試驗(yàn)結(jié)果，故該試驗(yàn)的較優(yōu)試驗(yàn)條件為132.0ml，20.3，392，40.2ml。但是否可行，還應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。例2 均勻設(shè)計(jì)法優(yōu)化分光光度法測(cè)定抗壞血酸的試驗(yàn)條件。確定本試驗(yàn)中的影響因素為所加入的Fe3+溶液、磺基水楊酸溶液（SS）、緩沖溶液的用量以及顯色時(shí)間共4個(gè)影響因素（x1,x2,x3,x4）。對(duì)這4個(gè)影響因素，每個(gè)因素安排18個(gè)水平。4個(gè)因素的取值范圍分別為Fe3+溶液的用量：0.755.00mL，SS溶液的用量：0.204.45mL，緩沖溶液的用量：4.0014.20mL，顯色時(shí)間：15100min。選定均勻設(shè)計(jì)表U*18(1811)。

22、考察指標(biāo)為吸光度（Y），結(jié)果見(jiàn)表22。表22 分光光度法測(cè)定抗壞血酸的試驗(yàn)條件優(yōu)化試驗(yàn)號(hào)X1X2X3X4Y1（1）0.75（5）1.20（7）7.60（9）550.2492（2）1.00（10）2.45（14）11.80（18）1000.3103（3）1.25（15）3.70（2）4.60（8）500.3694（4）1.50（1）0.20（9）8.80（17）950.4865（5）1.75（6）1.45（16）13.00（7）450.5766（6）2.00（11）2.70（4）5.80（16）900.6227（7）2.25（16）3.95（11）10.00（6）400.7088（8）2.50（

23、2）0.45（18）14.20（15）850.7909（9）2.75（7）1.70（6）7.00（5）350.85410（10）3.00（12）2.95（13）11.20（14）800.81011（11）3.25（17）4.20（1）4.00（4）300.85812（12）3.50（3）0.70（8）8.20（13）750.83713（13）3.75（8）1.95（15）12.40（3）250.84214（14）4.00（13）3.20（3）5.20（12）700.86615（15）4.25（18）4.45（10）9.40（2）200.87116（16）4.50（4）0.95（17）13.60

24、（11）650.85217（17）4.75（9）2.20（5）6.40（1）150.84218（18）5.00（14）3.45（12）10.60（10）600.849應(yīng)用SAS軟件對(duì)表22測(cè)定結(jié)果進(jìn)行分析，篩選變量（先進(jìn)行了線性回歸分析，得到的線性回歸模型不好，考慮到可能存在因素間的交互作用，故可對(duì)因素間的交互作用等進(jìn)行考察，進(jìn)行二次回歸分析），SAS統(tǒng)計(jì)軟件結(jié)果如下：SAS程序：data zp2;input x1 x2 x3 x4 y ;x5=x1*x2;x6=x1*x3;x7=x1*x4;x8=x2*x3;x9=x2*x4;x10=x3*x4;x11=x1*x1;x12=x2*x2;x13=x3*x3;x14=x4*x4;cards;0.75 1.20 7.60 55 0.2491.00 2.45 11.80 100 0.3101.25 3.70 4.60 50 0.3691.50 0.20 8.80 95 0.4861.75 1.45 13