第十五講：配方法與正定二次型

1、教學(xué)目的掌握二次型及標(biāo)準(zhǔn)型定義，掌握二次型的矩陣表達(dá)式，理解合同矩陣定義與性質(zhì)，理解二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型的基本原理和方法，會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型作業(yè)重點二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型練習(xí)冊第39 頁41頁第10題 至第13題難點同上講授方法講練結(jié)合講授內(nèi)容主線對稱矩陣對角化方法二次型及矩陣形式標(biāo)準(zhǔn)型、合同矩陣與性質(zhì)化標(biāo)準(zhǔn)型的基本方法練習(xí)配方法練習(xí)時間安排復(fù)習(xí)對稱矩陣對角化方法：15分鐘；二次型概念：15分鐘；合同矩陣及性質(zhì)：30分鐘；二次型化標(biāo)準(zhǔn)型方法：35分鐘；機(jī)動：5分鐘班級： 時間： 年 月 日；星期 第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型 本次課講完大綱規(guī)定全部內(nèi)容， 下次課進(jìn)行全

2、書總結(jié)并講授一套模擬訓(xùn)練題 本次上課交作業(yè)P49P50,T20可暫不做，課堂上講第十五講：配方法與正定二次型解:例1化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣.一、配方法化標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型為:令即第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型例2 化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣.解令即就把 f 化成標(biāo)準(zhǔn)形所用變換矩陣為（|P|=10）第十五講：配方法與正定二次型二、正定二次型的概念定理11 設(shè)有實二次型 ,它的秩為 r ，有兩個實可逆變換及使及則 中正數(shù)的個數(shù)與 中正數(shù)的個數(shù)相等.這個定理稱為慣性定理.1.慣性定理：第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型該定理說明了：（

3、1）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含的項數(shù)是確定的（即是二次型的秩）。 （2）在限定變換為實變換時，標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個數(shù)（即正慣性指數(shù)）是不變的，同理，負(fù)慣性指數(shù)也不變 （3）在二次型標(biāo)準(zhǔn)化的各類變換中，通過練習(xí)已知，一種典型的變換是正交變換，變換后標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)恰好是特征值。根據(jù)慣性定理，所有特征值中，正特征值的個數(shù)等于正慣性指數(shù)，負(fù)（含零）特征值個數(shù)等于負(fù)慣性指數(shù)2.正定二次型的定義：定義9 設(shè)有實二次型 ,如果對任何 ，都有f 0（顯然 f (0) = 0），則稱 f 為正定二次型，并稱對稱矩陣 A是正定的；如果對任何 ，都有則稱為負(fù)定二次型,并稱對稱矩陣 A 是負(fù)定的.三、正定二

4、次型的判定方法：1.標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)法：定理12 實二次型f 正定的充分必要條件是：它的標(biāo) 準(zhǔn)形的 n 個系數(shù)全為正.第十五講：配方法與正定二次型推論 對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：A 的特征值全為正分析：由于二次型可合同為標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)即組成了對角矩陣，主對角線的元素是由特征值構(gòu)成的，所以特征值即標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)，由以上定理即可得出結(jié)論。3.主子式判定方法：（1）什么是主子式2.特征值判定方法第十五講：配方法與正定二次型（2）主子式判定定理定理13 對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：A 的各階主子式都為正，即例4:判斷二次型是否正定解:所以正定第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方

5、法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型4.負(fù)定判定方法：對稱矩陣 A 為負(fù)定的充分必要條件是：A 的奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即這個定理稱為霍爾維茨定理.例5 判別二次型 的正定性.解所以f 為負(fù)定的.第十五講：配方法與正定二次型例6設(shè)二次型是正定的,則( ).解:第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型解設(shè)由于實對稱矩陣對于不同特征值對應(yīng)的特征向量互相正交,則對應(yīng)于 的特征向量 滿足方程:即得基礎(chǔ)解系第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定

6、二次型第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型課程與教材的基本結(jié)構(gòu)矩陣及其基本運(yùn)算線性方程組秩的解法特殊矩陣：向量及其運(yùn)算方程組解的向量結(jié)構(gòu)綜合應(yīng)用矩陣對角化基礎(chǔ)目標(biāo)1平臺目標(biāo)2應(yīng)用第十五講：配方法與正定二次型模塊1：基礎(chǔ)部分矩陣及其預(yù)算矩陣運(yùn)算常規(guī)運(yùn)算特有運(yùn)算加法：同型數(shù)乘：全冪：方陣不交換不消去不化零行列式：方陣初等變換等同于乘初等矩陣補(bǔ)充2初等變換等同于乘可逆矩陣第十五講：配方法與正定二次型第十五講：配方法與正定二次型模塊2：目標(biāo)1線性方程組秩的解法線性方程組秩的解法第十五講：配方法與正定二次型向量的正交與規(guī)范正交基向量空間的基與坐標(biāo)最(極)大無關(guān)組與向量組的秩向量組與矩

7、陣整體部分判定維數(shù)大于個數(shù)關(guān)系定理定義與等價定義關(guān)鍵：線性表示所有向量矩陣的秩等于向量組的秩不唯一性，等價的組秩相等線性運(yùn)算封閉齊次方程解為例基：最大無關(guān)組坐標(biāo)：線性表示系數(shù)n維空間中任意n個無關(guān)向量構(gòu)成基內(nèi)積與長度施瓦茨不等式正交向量組的線性無關(guān)性無關(guān)組化正交基的施密特方法模塊3：平臺第十五講：配方法與正定二次型模塊四：目標(biāo)2方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)：線性運(yùn)算封閉注意：齊次通解用齊次方程組Ax=0的同解方程組；非齊次特解要用非齊次方程組Ax=b的同解方程組第十五講：配方法與正定二次型模塊5：應(yīng)用二次型標(biāo)準(zhǔn)化（對稱矩陣對角化）基礎(chǔ)：特征值與特征向量對角化步驟方法二次型正交變換為標(biāo)準(zhǔn)形不同的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)相似性質(zhì)：相似矩陣特征值相同辦法：每一個特征值對應(yīng)一個特征向量對稱矩陣A滿足正交變換P的存在且不同的特征值對應(yīng)的特征向量正交求n個特征值每個特征向量求基礎(chǔ)