空間直線與平面地方程及其位置關(guān)系

1、空間直線與平面的方程以及位置關(guān)系高天儀 20101105295數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)10級漢二班指導(dǎo)教師李樹霞摘 要 解析幾何中，在建立平面與空間直線的方程與討論他們的性質(zhì)時，充分運用了向量這一工具，通過向量來處理這類問題的好處是與坐標(biāo)的選取是無關(guān)的。平面與空間直線方程的建立，就使得有關(guān)平面與空間直線的幾何問題轉(zhuǎn)化為這些稽核對象的方程的代數(shù)問題了。關(guān)鍵詞 空間直線、方向向量、參數(shù)方程、方向數(shù)1空間直線的方程1.1直線的對稱式（點向式）方程空間給定了一點M。與一個非零向量V,那么通過點M。且與向量V平行的直 線l就被唯一確定，向量V叫直線l的方向向量.任何一個與直線l平行的非零向量都可以

2、作為直線l的方向向量.直線l過點M 0（X0, y0,Z0）,方向向量V = X,Y,Z.設(shè)M （x,y,z）為l上任意一(1.1-1 )點，OM0 = R , OM =r ,由于MM與v （非零向量）共線, 則 r 一 r0 =tv 即 r =r0 +tv叫做直線l的向量式參數(shù)方程，（其中t為參數(shù)）。如果設(shè)r0二d以2 ,= x,y,z又設(shè)V = X,Y,Z,那么(1.1-1 )式得(1.1-2 )x = xo Xt y = y0 +Yt z = Z0 + Zt(1.1-1 )叫做直線l的坐標(biāo)式參數(shù)方程。消參數(shù)t即得x -x0 二 y - yo _ z - Zo(1.1-3)則(1.1-3)

3、叫做直線l的對稱式方程或稱直線l準(zhǔn)方程。例1 求通過空間兩點M1(x1, y1,z1) , M 2(x2, y2, z2)的直 線方程。解 WV = MiM2作為直線l的方向向量，設(shè)M(x,y,z)為 直線l上的任意點(如右圖)，那么 r - OM - r2 - ri - X2 - X1 , y2 -yi,z2 - Z1,所以直線l的向量式參數(shù)方程為：r = r1 t(r2 -r1)；|x = X1 t(x2 - X1 ) y = y =(y2 y1) “=4 +t(Z2 乙)x -x1二 y - y _ Z-Z1x2 - x1y2 - y1Z2 一 乙坐標(biāo)式參數(shù)方程為對稱式方程為(1.1-4

4、 )(1.1-5 )(1.1-6 )方程(1.4-4 ) (1.4-5 ) (1.4-6 )都叫做直線l的兩點式方程。1.1.1直線的方向數(shù)取直線l的方向向量為Vo =cosu,cosP,cos”,則直線的方程為r = ro +tv0 (參數(shù)方程)x = x0 + t cos 或y = yo +t cos P、z = Zo + t cos ?(1.1-7 )標(biāo)準(zhǔn)方程x -x _ y - yo _ z - Zocos： cos : cos(1.1-8 )由此可見參數(shù)t的幾何意義：t為直線l上點M與點M o之間的距離.直線的幾個問題I .直線的方向角與方向余弦：直線的方向向量的方向角與方向.H .

5、直線的方向數(shù)：直線的方向向量的分量X,Y,Z或與之成比例的一組數(shù)l,m,n 田.直線的方向余弦coscos P,cos?與方向數(shù)l,m,n之間的關(guān)系1mncos =二,cos,cos 222222222,1 m n, 1 m n1 m n空間直線的一般方程空間直線可以看作兩個平面的交線。如果兩個相交平面的方程分別為Ax+Biy+C1Z+D1 =0和 A2x+B2y+C2z + D2 =0 ( Ai、 Bi、 Ci與 A2、 B2、 C2 不成比例），則它們的交線是空間直線。該直線上任何一點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個平 面方程，而不在該直線上的點的坐標(biāo)不能同時滿足這兩個方程。所以方程組Ax + B1

6、y + C1z + D1 =0A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0(1.2-1 )就是這兩個平面交線的方程。方程（1.2-1 ）稱為空間苴線的二股方一程？.直線的射影式方程由于直線的表示法不唯一，通常取簡單的兩平面來表示直線.x = az + c如 將一般方程（特殊的一般方程）化為，（直線的射影式方程）.j = bz + d直線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程.（方向數(shù)不全為零）一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程般方程JAx By CzD1A2x B2y C2zD2=0（1）確定直線的兩平面法向量 n1，n2的向量積n1父1為直線的一個方向（2）取方程組的一組/I解得直線l上一點

7、M 0（x0, y, z）化得直線標(biāo)準(zhǔn)方程x -x0B1C1B2C2y - y0 _ z - zC1C2A2A A B1A2B22空間平面的方程2.1空間平面的一般方程一個平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一個點 M唯一決定的。設(shè)n=(A,B,C)(不為零向量)表不垂直 I的方向，稱n為I的法向量由于n為平面I的法向量，M(x o,y o,z )為I上一點，則對于空間中任意點M (x,y,z ), M在I上當(dāng)且僅當(dāng)MM n=0或OM n =OM n用坐標(biāo)來表示，化為A(x -Xo) B( y - y0) C(z - 4)= 0令D = -(Ax。+By +Czo),則得到平面的方程Ax B

8、y Cz D =0這樣，任何一張平面都可以用一個三元一次方程來表示。(3.1.2 1)(3.1.2 2)反之，對于任何一個三元一次方程Ax+By+Cz + D=0 A,B,C 不全為 0,不妨設(shè)A0 ,則該方程又可寫成A(x D) By Cz =0A作過點(-D,0,0),垂直于方向(A,B,C)的平面，則這個平面的方程就是所給出的 A方程，即一個三元一次方程表示一個平面。由此可以看出，經(jīng)由坐標(biāo)系，空間中的平面與一個四元數(shù)組(A,B,C,D)相對應(yīng)。但是，這種對應(yīng)不是一對一的，對于所有的k#0, (kA,kB,kC,kD)對應(yīng)同一平面。由(3.1.2 2)表示的方程稱為平面的一般方程。3.2

9、空間平面的法式方程1把(3.1.2 1)式兩邊同時與 九=或九= n1 , 一 相乘，符號的選取使得k(OM0 n)至0。這樣為從原點指向平面I的單位向量p = (OMo n) -0為原點O與平面I的距離。此時可以得到I的另一種方程表示OMo n。= p , n0 =1 , 0Mp稱為平面的法式方程，選取的 人稱為法化因子。它的幾何意義是：平面I是由所 有的滿足OM在垂直于I的直線上投影向量為pn。的點M構(gòu)成的。若以給平面I 的方程為Ax By Cz D =0則I的法式方程可以表示成 (Ax By Cz D) =01.一,一 一 一.、其中法化因子兒=, 一九正負號的選取要使得 W0O法式方程

10、常A2 B2 C2用來處理和點與平面的距離有關(guān)的問題空間平面的參數(shù)方程A(3.1.4 1)(3.1.4 2)從圖(3.1.4 -2)中可以看出，平面I是由I上一點M0與兩個不共線的與I平行的向量a,b (或者說是I上兩個不共線的向量)所決定的。設(shè) M0 (x0, y0,Z0) I , a =(a1，a2, a3), b =(”電0)，a,b 與 I 平行且 a* b #0。則空 問中任意一點M(x,y,z)在I上，當(dāng)且僅當(dāng)M；M ,a,b三向量共面。從而有實數(shù)k, m,使得M0M =ka+mb 或者 OM =OM0+ka + mb使用分量來表示，則可得到j(luò)x = x0 ka1 mb1 y =

11、y0+ka2 + mb2(3.1.4 3)z = z0 +ka3 + mb3我們稱(3.1.4 -3)為平面的參數(shù)方程，其中參數(shù)為k和mi從(3.1.4 -3)中消去參數(shù)k,田可以得到關(guān)于x,y,z的三元一次方程x -xo y-yo z-zo a1a2a3=0bib2b3空間平面的截距式方程對于由方程Ax By Cz D = 0所表示白平面I。假設(shè)I過原點O,即(0,0,0)在I上當(dāng)且僅當(dāng)D = 0。若D=0,則平面I可用方程二+丫+孑=1(3.4 1)a b c表示，其中(a,0,0), (0,b,0) , (0,0,c)分別為I與三個坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)。則我們稱(3.4 1)為平面的截距式方

12、程。3空間中直線與平面的位置關(guān)系已知直線l和平面a的方程為x xy yz -z0l :=,l m n二：Ax By Cz D =0.現(xiàn)在我們來討論l，a ,l /a , l在1a上的充要條件。因為直線l的方向向量S=(l,m,n)與直線l平行，平面口的法向量N =(A, B,C)與平面垂直，所以有l(wèi) _ 二 u SN = - m -.ABCl / ： m S N = lA mB nC = 0.如果S _L N時，l和a又有公共點,則l就整個落在a上了.因此有4t1A+mB+nC=0l在0（上u 3Ax0+By0+Cz0 + D=03.1空間直線與平面的交角設(shè)直線l和平面口的交角為8.當(dāng)1口時，日=0;當(dāng)l _Lot時，9 =土；其他2情況下，日等于l與它在a上的射影直線l所交的銳角.設(shè)中是l的方向向量S與a的法向量N之間的夾角，則有cos邛=cos（ 一9） =sin 0 或cos邛=cos（十日）= sine.因此在這兩種情況下，都有sin9 = cosl =S NSN .已知直線l和平面口的方程為l：=4.Xl m n:Ax By Cz D = 0設(shè)l和u的交角為日，則sinS N Al Bm