隨機(jī)變量及其分布教案

1、第二章隨機(jī)變量及其分布一.本章的教學(xué)目標(biāo)及基本要求（1）理解隨機(jī)變量的概念，理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解離散型和連續(xù) 型隨機(jī)變量的概率分布及其性質(zhì)，會運(yùn)用概率分布計(jì)算各種隨機(jī)事 件的概率；（2）熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分 布的分布律或密度函數(shù)及性質(zhì)； 二.本章的教學(xué)內(nèi)容隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量及其分布離散隨機(jī)變量及分布律、分布律的特征常用的離散型隨機(jī)變量常見分布（0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布）隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，公式連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)隨機(jī)變量及密度函數(shù)、密度函數(shù)的性質(zhì)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量常見分布（均勻分布、指數(shù)分布、正

2、態(tài)分布）及概率計(jì)算三.本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)a）隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)及性質(zhì)；b）離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布律或密度函數(shù)，如何用分布律或密度 函數(shù)求任何事件的概率；c）六個(gè)常見分布（二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數(shù)分布、 正態(tài)分布）；四.教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題a）注意分布函數(shù)F（x） PX x的特殊值及左連續(xù)性概念的理解；b）構(gòu)成離散隨機(jī)變量X的分布律的條件，它與分布函數(shù)F（刈之間的關(guān)系；c)構(gòu)成連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)的條件，它與分布函數(shù)F(x)之間的關(guān)系；d)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)關(guān)于x處處連續(xù)，且P(X x) ,其中x為任意實(shí)數(shù)，同時(shí)說明了 P(A) 不能

3、推導(dǎo)A oe)注意正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化以及計(jì)算查表問題；五.思考題和習(xí)題xcF(x)思考題：1,函數(shù)e , x xe ， x 是否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)?分布函數(shù)F(x)有兩種定義一一PX x or PX x,主要的區(qū)別是什么？均勻分布與幾何概率有何聯(lián)系？討論指數(shù)分布與泊松分布之間的關(guān)系。.列舉正態(tài)分布的應(yīng)用。 2.1 隨機(jī)變量與分布函數(shù)一、隨機(jī)變量的概念一般來說一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以分為兩種類型。例2-1 一次晚會組織抽獎，獎勵以獎金形式發(fā)放。已知一等獎有一個(gè)名額，獎金額度50元；二等獎有三個(gè)名額，獎金額度 10元；三等獎有5個(gè)名額，獎金額度 5元；紀(jì)念 獎10個(gè)名額，獎金額度10元。則此時(shí)抽

4、獎活動可以看做是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，作為獲獎金額的樣本點(diǎn)是以具體數(shù)值形式出現(xiàn)的。例2-2 學(xué)校體育課有籃球、網(wǎng)球、羽毛球、排球和瑜伽五個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)選擇。選擇方法是首選自主，若該項(xiàng)目名額已滿則系統(tǒng)隨機(jī)將未入選學(xué)生安排至另外報(bào)名未滿的項(xiàng)目。某學(xué)生首選羽毛球，結(jié)果學(xué)員已滿。此時(shí)第二次選擇可以看做一次隨機(jī)試驗(yàn)，所有可能的結(jié)果為籃球班、網(wǎng)球班、排球班和瑜伽班，此時(shí)樣本點(diǎn)不再是以具體數(shù)值出現(xiàn)。例2-1中的樣本點(diǎn)本身是以具體數(shù)量的形式出現(xiàn)的，稱為數(shù)量型。我們很方便的可以將樣本點(diǎn)對應(yīng)到其具體的數(shù)值上，從而得到一個(gè)由樣本空間到實(shí)數(shù)的函數(shù)X :X(),其中的X ()即樣本點(diǎn) 的取值。例2-2中的樣本點(diǎn)并不是以數(shù)量形式出

5、現(xiàn),型。類似數(shù)量型當(dāng)我們將籃球班、網(wǎng)球班、排球班和瑜伽班四個(gè)班分別以數(shù)字我們稱為非數(shù)量1,2,3, 4表示時(shí)，我們也得到了由樣本空間到實(shí)數(shù)的一個(gè)函數(shù).此時(shí)樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)作為函數(shù)的自變量，對應(yīng)到的具體數(shù)值即為函數(shù)的取值。由樣本點(diǎn)的隨機(jī)性這樣的函數(shù)X取值變化也具有隨機(jī)性，是一個(gè)隨機(jī)變化的變量，我們稱之為隨機(jī)變量。定義2-1設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，若對中的每個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)X ()與之對應(yīng)，則稱函數(shù)： TOC o 1-5 h z X :R, X:X()為定義在樣本空間上的一個(gè)隨機(jī)變量。一般用大寫字母X , Y , Z ;或者希臘字母，, 表示。X的函數(shù)值稱為隨機(jī)變量的取值，記為

6、x, y , z等。例2-3 小明去布吉島探險(xiǎn)，不幸落入食人族手中。食人族族長與小明約定由小明擲骰子決定他的生死。若點(diǎn)數(shù)為1、2 (小)，則小明成為食人族部落當(dāng)晚的夜宵；若點(diǎn)數(shù)為5、6 (大)，則可以給小明自由；若點(diǎn)數(shù)為3、4 (中)，則將小明關(guān)押起來等第二天再投骰子決定。此時(shí)隨機(jī)試驗(yàn)為小明擲骰子觀測結(jié)果，樣本空間為 1,2,3,4,5,6.若記1為生，1為死，0為生死未卜。則可得一隨機(jī)變量X:R, X :X(),其中X(1) X(2)1, X(3) X(4) 0, X(5) X(6) 1 .隨機(jī)變量的取值為 x11,X20 , X3 1 .這里我們看到樣本點(diǎn)和隨機(jī)變量X的取值雖然都是數(shù)字，但

7、它們并不相等。例2-4 一根樹枝長度為兩米，某人用一把刀隨機(jī)地將樹枝砍成兩段?，F(xiàn)在考慮較短的一段長度，則其樣本空間為0,1.這是一個(gè)數(shù)量型樣本空間，我們將樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)對應(yīng)到它的數(shù)量就得到了一個(gè)隨機(jī)變量X :R, X :X(),其中X()這里的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有不可列個(gè)，同樣隨機(jī)變量的取值也有不可列個(gè)。在第三節(jié)我們會詳細(xì)討論這樣的隨機(jī)變量。例2-5為調(diào)查某產(chǎn)品的市場推廣情況，調(diào)查小組隨機(jī)地在消費(fèi)者中選取了1000名志愿者進(jìn)行問卷調(diào)查。調(diào)查內(nèi)容分為有關(guān)志愿者的個(gè)人情況如年齡、性別，是否使用過本產(chǎn)品，以及滿意度等等。此時(shí)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為全部1000名志愿者。Xi().其中若記男性為1 ,女性為

8、0則可得到一隨機(jī)變量Xi :Xi( ) i,當(dāng)為男性，i 1；當(dāng)為女性，i 0。若將每個(gè)樣本點(diǎn)對應(yīng)到志愿者的年 齡則得到另一隨機(jī)變量 X2 :R,X2：X2().其中X2()為志愿者 的年齡；若將志愿者使用過該產(chǎn)品記為1,未使用過記為 0.則得到第三個(gè)隨機(jī)變量X3： R,1X3 :X3()，其中X3( ) 0；若將志愿者對廣品的滿意程度對應(yīng)到 1,1的每個(gè)實(shí)數(shù)，越大表示越滿意，0表示未使用過，則同樣得到一個(gè)隨機(jī)變量X4:R,X4:X4()，其中X4()的所有可能取值為1,1.由上面的例子可以看出， 對應(yīng)于同一個(gè)樣本空間， 進(jìn)行不同的隨機(jī)試驗(yàn)就得到了不同的 隨機(jī)變量，它們反映了同一個(gè)個(gè)體不同方面

9、的屬性。 這也是利用隨機(jī)變量研究隨機(jī)現(xiàn)象的一 個(gè)優(yōu)勢。類似集合表示的形式，對于具體的隨機(jī)事件我們可以將第一章中有關(guān)事件及其關(guān)系運(yùn)算 的內(nèi)容表示為隨機(jī)變量取值的形式如：一般的隨機(jī)事件A可對應(yīng)表示為：X D1；單樣本點(diǎn)概率 P()可表示為： PX x,其中 X( ) x ;若記 D1 X( ) | A, D2 X( ) | B則：事件概率P(A)可表示為：PX D1;積事件概率P(AB)可表 示為：PX D1,X D2;和事件概率P(A B)為：P( X D)U(X D2);條件概 率P(A|B)可表示為：PX D1 |X D2.類似地，讀者可以自己將第一章中概率的性質(zhì) 及條件概率的三大公式表示為

10、隨機(jī)變量形式。二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量只能反映樣本點(diǎn)和其取值之間的對應(yīng)關(guān)系，并不能反映隨機(jī)事件的概率性質(zhì)，因此我們還需要利用函數(shù)工具給出隨機(jī)變量和其概率性質(zhì)之間的關(guān)系。我們稱反映這樣對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。注意，分布函數(shù)是反映隨機(jī)變量不同取值對應(yīng)的概率性質(zhì)，因此其自變量是隨機(jī)變量取值， 而因變量則是對應(yīng)的某個(gè)隨機(jī)事件的概率值。因此, 我們定義分布函數(shù)如下:定義2-2 設(shè)X為隨機(jī)變量，對任意的X R,稱函數(shù)F(x) PX x, x為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記為 X F(x).如圖所示,分布函數(shù)表示隨機(jī)變量X取值不超過x的概率。圖2-1分布函數(shù)的意義由分布函數(shù)的定義不難得到分布

11、函數(shù)具有下列性質(zhì):性質(zhì) 若F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則(1)有界性：0 F(x) 1, x R；(2)單調(diào)不減性：xi x2F(x1) F%);F( ) 0, F( ) 1;(4)右連續(xù)性：F(x) F(x 0), x R.證明略。分布函數(shù)一定滿足以上四條性質(zhì)。反之，可以證明滿足以上四條性質(zhì)的函數(shù), 可以看做某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。利用分布函數(shù)我們很容易求出隨機(jī)事件的概率。一般地有:Pa X b F(b) F(a);PX a 1 F(a);(3) Pa X bF(b) F(a 0);例2-6 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)1412x211 x 00 x 1，求以下事件概率:1 x 2x

12、2P0.5 X 1.5 , P X 0.5 , P0 X解 P0.5 X 1.5 F(1.5) F(0.5)，、11PX0.5 1 F(0.5) 1 -2 2，、1P0X 3F(3) F(0 0) 1 -4P X 1 P 1 X 1 F(1) F(例2-7 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)3 , PX| 1.1.511，2243一 ,4,c、1 c1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 10)0. HYPERLINK l bookmark310 o Current Document 22A B arctan x ,求常數(shù) A , B .解由分布函數(shù)

13、的性質(zhì)有,F( ) A Barctan( ) A B 0,2F( ) A Barctan( ) A -B 1 , 2,.11故：A , B . 21例2-8 F (x) 2是否可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)？(1) X; ( 2)1 xx 0,其他場合適當(dāng)定義；(3) 0 x，其他場合適當(dāng)定義。解 (1)當(dāng) x 時(shí)，由于F( ) 0,但5() 0 1一，1 一 ，、，一，因此F (x) 2不可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù);x 0時(shí)，F(xiàn)()0, F(0 0) 1,1 x1故只需定義F *( x) 1 x21容易3證F*( x)滿足分布函數(shù)的四條基本性質(zhì)，因此 F *( x)可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的

14、分布函數(shù)。(3)當(dāng)0 x 時(shí)，F(xiàn)( ) 0 1,因此F(x)不能作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。注意我們現(xiàn)在涉及到與隨機(jī)試驗(yàn)有關(guān)的兩個(gè)函數(shù)：隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的分布函數(shù)，它們之間有聯(lián)系也有區(qū)別。隨機(jī)變量是由樣本點(diǎn)對應(yīng)到其取值一一用一個(gè)數(shù)字反映觀測對象的某方面屬性的，其自變量是樣本點(diǎn)而函數(shù)值是實(shí)數(shù)；而分布函數(shù)則反映隨機(jī)變量取值的概率因此取值范圍只能分布情況的，其自變量是隨機(jī)變量的取值而函數(shù)值是樣本點(diǎn)對應(yīng)的概率,是0,1.隨機(jī)變量X取值為x時(shí)所對應(yīng)的樣本點(diǎn)與分布函數(shù)F(x)在x點(diǎn)所對應(yīng)的樣本點(diǎn)是一致的。對于一些特殊的隨機(jī)變量，除了分布函數(shù)可以完整描述其概率分布外，還可以采用其他的工具來處理。隨機(jī)變量按

15、照處理工具不同可分為：離散型一一取值有限或者至多可列如例2-3.這類隨機(jī)變量可以采用用列表法將其取值概率一一列舉；連續(xù)型一一取值不可數(shù)但事件概率可看作是某個(gè)函數(shù)積分如例2-4,這類隨機(jī)變量可以采用解析法求積分處理；除了這兩類以外稱為奇異型隨機(jī)變量，這類隨機(jī)變量在實(shí)際中出現(xiàn)相對較少，只能采用分布函數(shù)法處理。在后續(xù)章節(jié)中我們主要討論離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量。 2.2離散型隨機(jī)變量一、離散型隨機(jī)變量的概率分布定義2-3 取值有限或可列的隨機(jī)變量X稱為離散型隨機(jī)變量。因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的取值為有限或可列，因此我們可以將其取值一一列舉出來，而把對應(yīng)的概率列舉在取值下方而形成列表的形式。我們稱這樣的列表

16、為離散型隨機(jī)變量的分布列。將列表表示為函數(shù)的形式稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布。定義2-4設(shè)X為離散型隨機(jī)變量， 其取值為Xi , i 1,2,., n,.,則稱PX Xi Pi 為X的概率分布；而稱XXix2.xn.PPiP2.Pn.為X的分布列。例2-9 小紅帽帶糕點(diǎn)去奶奶家。行至岔路口有三條支路，已知其中只有一條通往奶奶家。若將小紅帽可以到達(dá)奶奶家記為1,不可到達(dá)記為0,則可得取值為0、1的隨機(jī)變量X ,其分布列為：X01P2/31/3X表示該游戲玩家在刷出裝備例2-10設(shè)某大型網(wǎng)絡(luò)游戲中一件極品裝備在某副本中爆出的幾率為0.00001,有游戲玩家為獲得該裝備決定去刷能爆出該裝備的游戲副本

17、。若用前進(jìn)入游戲副本的次數(shù)，則顯然 X的可能取值為0, 1, 2, 3, ., n ,.；概率分布 為：PX i (1 0.00001) 0.00001 0.99999 0.00001, i 0,1,2,., n,.離散型隨機(jī)變量的分布列具有以下性質(zhì)：性質(zhì)P 1； 10 P 1 , i 1,2,., n,.離散型隨機(jī)變量的概率分布一定滿足以上兩個(gè)性質(zhì)，反之，滿足以上兩條性質(zhì)的數(shù)列，一定可以作為某離散型隨機(jī)變量的概率分布。例2-11離散型隨機(jī)變量 X的概率分布如下：2、PX i a(-) , i 1,2,3 ；32 ：PX i a(-)i, i 1,2,3，.3求未知量a .解注意到(1)中取值

18、為有限個(gè)，而(2)中為可列個(gè)。由離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)： TOC o 1-5 h z 32 12 92&21202a271/J、2/J、31 /J、23Pi a(-)a(Ra(Rat(-)(RG) 1，故a 至.13333333oPia(-)ia(勺1,故 a 1.1 i 13 i 1 32由離散型隨機(jī)變量的概率分布很容易可以得到一般隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式，事實(shí)上 PX IPi .xi 1例2-12離散型隨機(jī)變量 X的概率分布如例2.2.3 (1),求PX 1, PX 1,PX 2, PX 2.5 , PX 3, PX 4.27 2,i解 由于X的概率分布為：PX i -(-) , i 1,

19、2,3 ,故38 3PX 1=Pi 0 ,x 1 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document PX 1pipiXi 1 HYPERLINK l bookmark89 o Current Document PX2ppiX 2PX 2.5piX 2.5 xPX3rpi3 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document PX4pi4Xj 3例2-13 袋內(nèi)有5個(gè)黑球27 2919X為取到白球的數(shù)目，求隨機(jī)變量概率分布又如何？38 39,19pi 2p2 p3 1，pi 1 .,3個(gè)白球，每次抽取一個(gè),X的概率分布。若記p21

20、9 191519不放回，直到取得黑球?yàn)橹埂Ｓ沋為抽取的次數(shù)，則隨機(jī)變量 Y的解 X為取到白球的數(shù)目，故其取值為：0, 1, 2, 3.對應(yīng)概率:pop1p2p3PXPXPXPX015 157 56556，3=3156X0123P5/815/ 565/561/56故X的分布列為:Y為抽取的次數(shù)，則Y的可能取值為：1, 2, 3, 4 .而PYPYPYPY1234PXPXPXPX013 5 1556，故Y的分布列為:2=33=85656Y1234P5/815/ 565/561/56圖2-2離散型隨機(jī)變量概率分布離散型隨機(jī)變量概率分布圖像如下，形如一列豎立著的火柴棒。二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)對離

21、散型隨機(jī)變量來說，我們已經(jīng)有分布函數(shù)和概率分布兩個(gè)工具來全面描述其概率特征。那么這兩者之間有什么樣的關(guān)系呢？由分布函數(shù)的定義，立即可以得到離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x) PX xPiXj x而由分布函數(shù)的右連續(xù)性又可以得到Pi F(xJ F(Xi 0),因此隨機(jī)變量 X的概率分布為PX x Pi F(xi) F(x 0).例2-14已知隨機(jī)變量X的分布列為X135P0.50.20.3求X的分布函數(shù)。解 X的取值為1, 3, 5.當(dāng)x 5時(shí),F(x) PX x pPix x 為 5當(dāng)3 x 5時(shí)，PX 5 PX 3 PX 1 1;F(x) PX xPixi xPX 1 PX 3 0.7；

22、x 3時(shí),F(x) P XxPixPX 1 0.5；當(dāng)x 1時(shí),F (x) P XxxiPix0；故X的分布函數(shù)為:0.5 F(x)0.7函數(shù)圖像為:由上例可以看出離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖像為階梯形的分段函數(shù),在每個(gè)取值點(diǎn)分段，每段均為一條水平線段； 其高度差或者說跳躍的幅度為左端點(diǎn)取值的概率大小;由分布函數(shù)的右連續(xù)性，空心圓始終出現(xiàn)在線段的右端點(diǎn)；最左端與x軸重合，最右端與直線x 1重合。0.3例 2-15 設(shè) F (x)0.71x 1為某隨機(jī)變量X的分布函數(shù),x 2試做出分布函數(shù)的圖像，并求X的分布列。解 X的分布函數(shù)圖像為:分布函數(shù)分段點(diǎn)為隨機(jī)變量 X的取值，故X的取值為：1、1、2

23、;PX 1 0.3、分布函數(shù)每段的跳躍幅度即為分段點(diǎn)對應(yīng)取值的概率，故PX 1 0.7 0.3 0.4、PX 2 1 0.70.3 ;因此，X 的分布列為:X112P0.30.40.3三、常用離散型隨機(jī)變量的分布下面我們介紹幾種常用的離散型隨機(jī)變量的分布，請讀者注意它們的實(shí)際應(yīng)用背景或者對應(yīng)的實(shí)際概率模型。1.退化分布定義2-5 如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：PX x。 1 ,則稱該隨機(jī)變量服從退化分布。其布分布函數(shù)為F(x) 0 x x.1 x x0若X服從退化分布，X只去常數(shù)x,此時(shí)可以說 X的取值并不隨機(jī)，但我們寧可把它看作隨機(jī)變量的極端或退化情況，因此成為退化分布。0 1分布例2-16

24、期貨交易是在指定時(shí)間發(fā)生(實(shí)際交割)前以當(dāng)前價(jià)格買入或賣出某類貨物的 金融投資行為。當(dāng)某投資者認(rèn)為該貨物在指定交割時(shí)間價(jià)格要高于當(dāng)前價(jià)格則會考慮此時(shí)買 入，從而等到指定交割時(shí)間到來時(shí)賣出以獲得收益。稱為做多。反之若投資者認(rèn)為該貨物在指定交割時(shí)間價(jià)格要低于當(dāng)前價(jià)格則會考慮將手中的貨物按照當(dāng)前價(jià)格拋出，在實(shí)際交割時(shí)間時(shí)賺取利潤。稱為做空。設(shè)某投資者判斷正確則可獲利5000元，錯誤則損失 3000元。則可得一隨機(jī)變量取值為 5000和3000。因其取值只有兩個(gè)，我們稱之為兩點(diǎn)分布。上由一、曰 PX P，入、心、曰m一定義2-6 如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：,則稱該隨機(jī)變量服從PX x2 1 p0

25、x x1參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，不妨設(shè) x1 x2,則其分布函數(shù)為：F (x) p x1 x x2.1x x2特別地，如果x1 0和x2 1 ,即X的概率分布可表示為PX 0 pPX 1 1 p0 x 0則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為p的0 1分布。其分布函數(shù)為 F(x) p 0 x 1.1x 1第一章中我們介紹了貝努利試驗(yàn)，若記試驗(yàn)成功為1、失敗為0則一次貝努利試驗(yàn)所對應(yīng)的隨機(jī)變量即為0 1分布。n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布第一章中我們還介紹了古典概型，其樣本點(diǎn)有限且等概率。表示成隨機(jī)變量即可得到：1定義2-7 如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：PX x ，i 1,2,., n ,則稱該隨機(jī) n變量服從n個(gè)點(diǎn)x1

26、 , x2, ，xn上的均勻分布。之所以稱其為n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布，是因?yàn)殡S后在連續(xù)型隨機(jī)變量中我們會遇到均勻分布。那時(shí)候我們會發(fā)現(xiàn) n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布實(shí)際上是對連續(xù)均勻分布的離散化。4.二項(xiàng)分布在n重貝努利試驗(yàn)中考慮事件A發(fā)生的次數(shù) X,則X的所有可能取值為 0, 1,:k kn kn,由第一章定理1-3,試驗(yàn)恰好成功k次的概率為Cn p (1 p).定義2-8如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：PX k C：pk(1 p)nk, k 0,1,., n;則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 n , p的二項(xiàng)分布，記為 XB(n, p),并將第k項(xiàng)概率分布值記為 PX k C：pk(1 p)n k b(k;n,p

27、).其分布列為X01.k.nP(1 p)nnp(1 p)n 1.k k k / /、n kCn p (1 p).n p由二項(xiàng)定理不難驗(yàn)證，定義 2.2.6給出的概率分布滿足性質(zhì) 2.2.1,請讀者自己驗(yàn)證。例2-17 試判定下列哪些是二項(xiàng)分布，并確定參數(shù)。X12.nPnp(1 p)n 1c 22 n 2Cn p (1 p).n pX012.nP0 0/ 0 nCn (1p) pn(1 p)pn 1Cn2(1p)2 pn 2.(1 p)nX012.nPC：(1 p)nn n 1 /An n 1Cn p(1p)n 22n n 2Cnp (1 p).c0 nCn p解 (1)不是，取值不是從 0開始

28、。(2)是，根據(jù)定義服從 B(n,1 p).(3)是，因?yàn)镃nn k Ck ,故服從B(n,p).由上面例子可以看出，參數(shù)p和1 p在二項(xiàng)分布中地位是對等的，且組合系數(shù)C cnk,于是我們有如下定理：定理 2-1 若XB(n,p),記 Y n X,則YB(n,1 p).定理的意義如下表示。證明較簡單，留給讀者自己練習(xí)。Y n Xnn 1.n k.0X01.k.nP(1 p)nnp(1 p)n 1.ck k 、n kCn p (1 p).n p例2-18對某種藥物的療效進(jìn)行研究，假設(shè)這種藥物對某種疾病的治愈率p 0.8,現(xiàn)10名患者進(jìn)行試驗(yàn)，求患者同時(shí)服藥后至少有6人治愈的概率。解 設(shè)10名患者

29、中治愈的人數(shù)為隨機(jī)變量X ,則X B(10,0.8),于是有10PX 6C1k00.8k0.210 kk 6由于參數(shù)p 0.8較大，故可以考慮利用定理2.2.1轉(zhuǎn)化為Y n X處理。4Yb(10,0.2), PX 6 PY 4C*。.2k0.810 k 0.97.k 0例2-19某大學(xué)的校網(wǎng)球隊(duì)與該校某系網(wǎng)球隊(duì)舉行對抗賽。一般地，校隊(duì)實(shí)力略高于系隊(duì)，每個(gè)校隊(duì)隊(duì)員獲勝概率為p 0.55 .現(xiàn)雙方商討對抗賽的比賽方式，提出以下三種備選方案：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（1）雙方各出7人。勝出人數(shù)多的一方獲最終勝利。問系隊(duì)如何選擇較為有利？解 設(shè)系隊(duì)獲勝隊(duì)員人數(shù) X為，系隊(duì)隊(duì)員獲勝概率為

30、p 0.45 , 一般可認(rèn)為隊(duì)員間的比賽相互獨(dú)立，則 X服從二項(xiàng)分布。分別計(jì)算三種方案的獲勝概率: 3(1) PX 2C；0.45k0.553 k 0.425;k 25(1) PX 3C；0.45k0.555 k 0.406;k 37(1) PX 4C；0.45k0.557 k 0.391;k 4由此可知，第一種方案對系隊(duì)最為有利。這也比較容易理解，因?yàn)閰①惖年?duì)員人數(shù)越少，偶然性越大，系隊(duì)僥幸獲勝的概率也就越大。顯然雙方若都只出一人比賽則系隊(duì)獲勝概率達(dá)到最大為p 0.45 .5.幾何分布在貝努利試驗(yàn)序列中，考慮事件A第一次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù) X,則X的可能取值為1,2 ,n ,取值為k的概率為p

31、x k p（AAAa）p（A）p（A）.p（A）p（a） （1 p）k1p,k 1我們稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從幾何分布。定義2-9 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：PX k （1 p）k1p, k 1,2,., n,., 則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的幾何分布。記為 X G（p）.由于 PX k （1 p）k 1P p （1 p）k 1p-1-=1,k 1k 1k 11 （1 p）且（1 p）k 1 p 0 ,故幾何分布概率分布滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的兩條性質(zhì)。例2-20 血庫急需RH陰性血液，需從獻(xiàn)血者中獲得，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)， RH陰性血液出現(xiàn)概率為0.003,今對獻(xiàn)血者進(jìn)行化驗(yàn)，用 X表示在第一次

32、找到合格的RH陰性血液時(shí)，獻(xiàn)血者已經(jīng)化驗(yàn)的人數(shù)。求已知化驗(yàn)了 5人尚未出現(xiàn)RH陰性血液的概率，以及化驗(yàn)了 10人后再化驗(yàn) 5人仍未出現(xiàn)RH陰性血液的概率。解 依題意有隨機(jī)變量 XG(0.003),故所求概率分別為:5，、，、(1 0.003)5PX 5 PX k 0.003 - 0.9975 0.985,k 61 (1 0.003)PX 10 5|X 10PX 15,X 10 PX 15 0.985.PX10PX 10我們稱上面的性質(zhì)為幾何分布的無記憶性。它說明幾何分布在之前進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)對隨后再進(jìn)行試驗(yàn)的次數(shù)是沒有影響的。即:性質(zhì)若隨機(jī)變量XG(p),則PXn|XnPXm) , n,m 。證

33、明PX mk m(11k 1P) P(1mP) P1 (1 P)(1 P)故PXPX m n|XPX mPX nnn)m n|X n PXPXm n, XPX nnm n(1 P)mm).6.超幾何分布某學(xué)校有1000名學(xué)生，其中900男生、100女生，現(xiàn)學(xué)校隨機(jī)選取 10名同學(xué)參加一項(xiàng)公益活動，其中男生的人數(shù)恰好為8名的概率應(yīng)如何計(jì)算？上例中我們需要對一類總體進(jìn)行不放回的抽樣。般地若有N N1 N2個(gè)個(gè)體構(gòu)成的總體，N1個(gè)具有性質(zhì) A, N2個(gè)不具有性質(zhì) A,不放回抽取n個(gè)，其中具有性質(zhì) A的個(gè)體數(shù)目就構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這樣的隨機(jī)變量分布稱為服從超幾何分布。k n k C c C m定義2

34、.2.8如果隨機(jī)變量 X的概率分布為：PX k 一匕六 nCN，k 0,1,2,., n ,其中N N1 N2 ,則稱該隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n , N1 , N2的超幾何分布，記為X-H(nN,N2).Ck n kN1CN2 ，一由組合數(shù)的非負(fù)性顯然P X k 1 n 20 ,利用組合性質(zhì)cnnkn k nCN1CN2CM N2k 0nn k n kn可得： PX kk CNN&2kk 0k 0 Cn Cn k 0CN1 N2cnCNnC1,因此超幾何分布滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的兩條性質(zhì)。7.泊松分布(X P()定義2-10 如果隨機(jī)變量 X的概率分布為:PXkke k!0,1,2,.,

35、n,.,0,則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為:P().由指數(shù)函數(shù)的騫級數(shù)展開式k今有，當(dāng)取x k 0 k!pXk 0kk一e k!且由于 0,所以PX kk一e k!0 ,故泊松分布滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的兩個(gè)性質(zhì)。泊松分布在排隊(duì)問題中有著重要應(yīng)用。凡是涉及到一段時(shí)間內(nèi)的計(jì)數(shù)問題，最終都近似服從泊松分布，如單位時(shí)間內(nèi)的電話呼叫數(shù)等。由泊松分布的概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率是比較困難的。經(jīng)過人們長期努力，通過其他手段得到了泊松分布在不同參數(shù)和取值下的分布函數(shù)值,并編成了表格形式，稱為泊松分布表。隨后對服從泊松分布的隨機(jī)變量概率的計(jì)算，我們只需要查表取值就可以了。例2-21某商店根據(jù)過去

36、的銷售記錄知道某種商品每月的銷售量可以用參數(shù)為10的泊松分布來描述。 為了以95%以上的概率保證不脫銷， 問商店在月底應(yīng)存多少件該商品?(只在月底進(jìn)一次貨)解設(shè)X為該商店每月的銷售量，則 X - P(10),依題意要求，k滿足P X k 0.95 ,查參數(shù)為10的泊松分布表有PX1414旦10 0.9166 0.95,PX16 10i16 iTe10_0.9513 0.95,因此商店在月底應(yīng)存15件該商品才能保證以 95%以上的概率保證不脫銷。8,超幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的關(guān)系在超幾何分布中當(dāng) N非常大而抽樣個(gè)數(shù)相對較少時(shí)，可以近似地將不放回抽樣看作有放回抽樣，從而超幾何分布近似于二項(xiàng)分

37、布。類似地，當(dāng)n重貝努利試驗(yàn)次數(shù)較大而事件發(fā)生概率較小時(shí)，則我們可以將其看成近似計(jì)數(shù)問題而符合泊松分布。由此我們得到以下定理:4_ N1,定理2-2(1)若 Xn Hn(Q Ni,N2),若 lim 二p 時(shí)，則k n kCNiCN2lim k-NCk HYPERLINK l bookmark350 o Current Document 八k knCn P (1 P) 若 YnB(n, Pn),若 n , npn時(shí)，則k TOC o 1-5 h z limC：p；(1 Pn)nke .nk!(證明略。)定理2.2.2說明，一列服從超幾何分布的隨機(jī)變量，在一定條件下其極限分布為二項(xiàng)分布；而一列服

38、從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，在一定條件下其極限分布為泊松分布。這意味著當(dāng)N充分大而n相對較小時(shí)，我們可以將超幾何分布近似看作二項(xiàng)分布處理；而當(dāng)nH(n, N1,N2)P()充分大，p相對較小時(shí)，我們可以將二項(xiàng)分布近似看作泊松分布處理。即:N1 p B(n,p)n；pNCk n kN1CN2CnNN1-p Nk kn k nCnp (10npnk-e k!例2-22紡織廠女工照顧800個(gè)紡錠，每個(gè)紡錠在某一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生斷頭的概率為0.005 (設(shè)短時(shí)間內(nèi)只發(fā)生一次斷頭)。求在這段時(shí)間內(nèi)總共發(fā)生的斷頭次數(shù)不超過2的概率。解 設(shè)X為800個(gè)紡錠在該時(shí)段內(nèi)發(fā)生的斷頭次數(shù)，則XB(800,0,005),顯然n

39、充分大，而p相對較小，因此可以認(rèn)為近似服從泊松分布X P(4),依題意要求：2 4k 4P0 X 2e 4 0.2381,k 0 k!即這段時(shí)間內(nèi)總共發(fā)生的斷頭次數(shù)不超過2的概率為0.2381.例2-23 一大袋種子，發(fā)芽率為 0.9,從中任取出10粒，問播種后恰好有8粒發(fā)芽的概 率為多少？解設(shè)X為發(fā)芽種子數(shù)，一袋種子總數(shù)為 N ,則X服從超幾何分布PX 8C8.9NC0,1N10,CN由于N充分大，而10相對來說較小，因此 X可以近似看成服從二項(xiàng)分布B(10,0.9),即：8 2PX 80，9N100，1NC10 0.9 0.1 ,Cn由定理2.2.1轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量 Y 10 X的取值概率得

40、：PX 8 PY 2 01230,120,98 0,1839.這里我們同時(shí)得到了在開始介紹超幾何分布時(shí)提出的問題的答案，恰好為8名男同學(xué)的概率與本題一樣也為 0.1839.連續(xù)型隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨本節(jié)主要討論非離散型隨機(jī)變量中的一種可以利用積分處理的隨機(jī)變量, 機(jī)變量。它是非離散型隨機(jī)變量中實(shí)際應(yīng)用最廣泛的一類。一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)定義2-11若隨機(jī)變量X的取值不可數(shù)，但任意事件 a X b的概率可以通過一個(gè)b非負(fù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b的積分Pa X bf (x)dx來計(jì)算，則稱該隨機(jī)變量為連a續(xù)型隨機(jī)變量。我們稱 f (x)為該隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，記為： Xf (x).

41、該定義表明事件a X b發(fā)生的概率等于密度函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上形成曲邊梯形的面積。圖2-3密度函數(shù)的幾何意義類似于離散型隨機(jī)變量的概率分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)也具有以下兩條性質(zhì):性質(zhì) 密度函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì)：f (x)dx 1,f(x) 0, X .連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)一定滿足前面兩個(gè)性質(zhì)，反之滿足這兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f (x)同樣可以看做是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。離散型隨機(jī)變量的概率分布取值只能是0 Pi 1 ,而由上面的性質(zhì)我們立即可以發(fā)現(xiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)是可以大于1的。這是因?yàn)楦怕史植既≈当硎倦x散型隨機(jī)變量取某一值的概率，而密度函數(shù)則表示連續(xù)型隨機(jī)變

42、量在各點(diǎn)取值的“密集”程度，若f(x0)較大，則表明X在鄰域(x,)中取值的概率較大。當(dāng)積分上下限相等時(shí)積分值為零，因此我們有下列結(jié)論： aPX a f (x)dx 0a這說明連續(xù)型隨機(jī)變量在單點(diǎn)上取值的概率恒為0!我們介紹過幾何概型，其每一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率均為0,但并不是說樣本點(diǎn)不會出現(xiàn)。這說明概率為0的隨機(jī)事件也是有可能發(fā)生的，只不過發(fā)生的幾率非常的小而已。相對的，不可能事件是一定不會發(fā)生，因此其發(fā)生概率為零。讀者應(yīng)注意零概率事件和不可能事件的區(qū)別。另外，連續(xù)型隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率可以不為 0,由樣本點(diǎn)和事件之間的關(guān)系我們可以發(fā)現(xiàn)，無窮個(gè)概率為0的樣本點(diǎn)構(gòu)成的隨機(jī)事件其概率會不等于

43、 0 ,這是個(gè)有趣的現(xiàn)象。由于單點(diǎn)概率為0,因此一個(gè)事件是否包含其區(qū)間端點(diǎn)并不影響其概率的大小，即下列 事件的概率相等:bPa X b Pa X b Pa X b Pa X b a f (x)dx利用密度函數(shù)很容易計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在任意區(qū)間的概率，其概率值就是密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分，并且這一區(qū)間可以是有限區(qū)間，也可以是無窮區(qū)間。例2-24設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為f (x)ax b00 x2其他且 P1 X 3 0.25 ,求 a和 b,并求 P1.5 X.解 由密度函數(shù)性質(zhì)立，有2f (x)dx 0 (axb)dx 1 ,故(ax22bx)22a 2b 1 ,又 P1 X 03)31

44、f (x)dx21 (ax b)dx 0.25 ,故a 2gx2 bx)3a ,一 b 0.25,聯(lián)立求解得:2P1.5 X) 15 f(x)dx21.5(1 x 1)dx20.0625 .例 2-25確定常數(shù)A ,使f (x)成為某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)Ax2 f (x) Ax 02x3.其他解要使得f(x)成為密度函數(shù)，則必須有f(x)0,因此，A 0,22又 f (x)dx Ax dx3A!a2A1,A 929二、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)表示X的取值不超過x的概率，因此F (x) P X x)xf (t)dt,由變上限積分求導(dǎo)結(jié)論可知在f(x)的所有連續(xù)點(diǎn)上，有x

45、f(x) ( f(t)dt) F(x).這說明連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)之間是可以相互表示的,和離散型隨機(jī)變量類似，連續(xù)型隨機(jī)變量使用密度函數(shù)描述其概率分布情況更為方便。A例 2-26 設(shè) f (x)70其他布函數(shù)。解由密度函數(shù)性質(zhì)，有為某隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)，求常數(shù)A和X的分,1 Af (x)dx dx=2A、xx12A 0一 11,故 A 0 時(shí)，F(xiàn)(x) PX xf (t)dt0;x 1 時(shí)，F(xiàn)(x) PXx)xf(t)dt1 一 一dt Vx ;2、t1 時(shí)，F(xiàn)(x) PXx)f (t)dt 1;故分布函數(shù)為:F(x)例 2-27 設(shè) F(x)1 (1 x)e x00為連續(xù)型

46、隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)，求X的0密度函數(shù)，并求概率PX1).解當(dāng)x 0時(shí),f(x)F (x)=0 ;當(dāng) x 0時(shí)，f(x)F (x)=(1 (1 x)ex)x-xe ；綜上有:x xe f (x)0而PX1) F(1) 1 2e 1.性質(zhì)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則 X的分布函數(shù)F (x)是()上的連續(xù)函數(shù)。(證明略。)這也是連續(xù)型隨機(jī)變量名稱的由來。三、常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布卜面介紹幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布。讀者同樣需要注意它們所對應(yīng)的實(shí)際背 景和概率模型。1.均勻分布第一章我們曾經(jīng)介紹過幾何概型，其特點(diǎn)是樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不可數(shù)但發(fā)生可能性相等。當(dāng)樣 本空間中的樣本點(diǎn)可以對應(yīng)到實(shí)數(shù)軸的某個(gè)區(qū)間

47、時(shí)，所得到的隨機(jī)變量稱為服從均勻分布。,則稱X服從區(qū)定義2-12 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f (x) b a 0 其他間a,b上的均勻分布，記為 XU(a,b).0 x ax a通過積分可得此時(shí)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：F(x) a x b.均勻分布密b a1 x b度函數(shù)和分布函數(shù)圖像如下：圖2-4均勻分布密度函數(shù)圖2-5均勻分布分布函數(shù)例 2-28 設(shè) X U (0, 2),試計(jì)算 P X 1 , P X 1 , P0.75 X 1.25.1- 0 x 2 為解 f(x) 2，故0 其他0.51dx 2PX 1.5P0.75 X1.55dx1.251?41.25 1 dx0.75 2由此例

48、題可以看出，服從均勻分布的隨機(jī)變量落入a,b內(nèi)長度相同的子區(qū)間的概率相0.5P X 0.5 P 0.5 X 0.505 f(x)dx等。事實(shí)上，若 X U (a, b),則對于 c, d a, b , c d ,有dPc X d F(d) F(c)上述概率只于區(qū)間a,b的長度有關(guān)而與區(qū)間位置無關(guān)。 TOC o 1-5 h z 231例2-29 在0,1內(nèi)任取一點(diǎn)記為 X ,求PX2 - X 一 0. 482 3111解顯然 X U(0,1),而 X2 -X - (X -)(X 故11PX 2 PX N0 311 , ,1PX ZX 8 0 P(X 2)U(X 4)2.指數(shù)分布11 dx214

49、dx0定義2-13若隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為f (x)- xex0,其中0 x00為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為 XE().顯然f (x) 0 ,f (x)dx e xdxe x |0 1 0 1,故指數(shù)分布密度函數(shù)滿足一般密度函數(shù)的兩條性質(zhì)。通過積分可得其分布函數(shù)為:F(x)指數(shù)分布密度函數(shù)和分布函數(shù)圖像如下:圖2-7指數(shù)分布分布函數(shù)指數(shù)分布又稱為壽命分布， 一般涉及到時(shí)間長度問題多服從指數(shù)分布。特別是各類電子元器件使用壽命、服務(wù)系統(tǒng)兩次服務(wù)間隔時(shí)間、復(fù)雜系統(tǒng)中兩次故障出現(xiàn)時(shí)間等。例2-30某元件壽命服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布，（1）求這樣的兀件使用 1000小時(shí)的概率；（2）已知

50、元件使用1000500小時(shí)未損壞，問還可以繼續(xù)使用1000小時(shí)的概率。解依題意有記該原件壽命為1X則XE(),則1000 PX 10001-e 1000dx10001000 x1000 e1000 J也可代入分布函數(shù)直接得到:PX 1000 1 F(1000) 1 (1 e(2) PX 1500|X 500PX 1500, X 500P X 50031 F(1500) 1 (1 e2)11 - e1 F (500)1,已知工作了 x小時(shí)的)1 (1 e2)由上例可以看出，服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量(表示某產(chǎn)品壽命)條件下還能繼續(xù)工作 X0小時(shí)的概率，與無條件工作 X0小時(shí)的概率相等。似乎是服從指數(shù)

51、分布的隨機(jī)變量對之前發(fā)生過的內(nèi)容“失去了記憶”,因此稱此性質(zhì)為“無記憶性”性質(zhì)2.3.2 設(shè)X E(),則對于任意給定的x00和任意x0,均有下面結(jié)論成立:PX X x| X x PX x0.證明 設(shè)F (x)為指數(shù)分布的分布函數(shù)，對于 x 0 ,有PX x 1 P X x 1 F(x)所以，PX x x|X xP(Xx。xAX x)PXxP Xxx(x0 x)e 0PX xe x0PX x0.3.正態(tài)分布定義2-14若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)(x )2e片,為常數(shù),X服從參數(shù)為2 .的正態(tài)分布，記為 X-N(,2).其分布函數(shù)為：F(x)1-2=(t )2XV2e 2 dt.正態(tài)分布又

52、稱為高斯分布。般來說一個(gè)隨機(jī)模型如果包含大量小因素共同影響,這些小因素地位相近，其中不存在主導(dǎo)因素時(shí)，這一隨機(jī)模型就可以看做是服從正態(tài)分布了。如測量誤差、隨機(jī)身高、農(nóng)作物收獲等等。卜圖表不參數(shù)為的正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù):正態(tài)分布的密度函數(shù)具有以下特點(diǎn)：(1)密度函數(shù)f(x)呈鐘形，且對稱軸為 x ;, 1(2)當(dāng)X 時(shí)，密度函數(shù)達(dá)到最大值fmax(X) f ( ) t= ；2(3)正態(tài)分布密度函數(shù)在 X產(chǎn)生拐點(diǎn)；(4)正態(tài)分布密度函數(shù)恒有f (X) 0且以x軸為漸近線；(5)參數(shù)的意義：一般我們將正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)稱為位置參數(shù)，因?yàn)?確定了密度函數(shù)圖像的中心位置；當(dāng) 大于0時(shí)圖像對稱

53、軸在 y軸右側(cè)，當(dāng) 小于0時(shí)圖像對 稱軸在y軸左側(cè)；隨著 的增大函數(shù)沿著x軸向右平移。參數(shù) 稱為形狀參數(shù)。 越大函 數(shù)圖像越平坦、越矮，越小函數(shù)圖像越陡峭、越高；(6) 3原則：以x 為中心，X的取值落入鄰域(，)中的概率為0.6828,落入鄰域 （，2 ）中的概率為0.9546;落入鄰域 （，3 ）中的概率為0.9974.即PX 0.6826; P X 2 0.9546; P X 3 0.9974.以上結(jié)論稱為正態(tài)分布的 3原則，它表明服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值在3鄰域內(nèi)已經(jīng)非常接近1 了。圖2-11正態(tài)分布參數(shù)變化對圖像的影響圖2-12正態(tài)分布的3原則0、1時(shí)，稱之為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 X

54、- N （0,1）.一般我們用（X）來表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù):X2(x)用 （x）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)即:(X) 1容易看出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于y軸對稱，其最大值為 二一，分布函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn)（0,0.5）,這說明當(dāng)x 0時(shí)，其分布函數(shù)值為 0.5即PX 0 0.5.x2對于正態(tài)分布，無法通過直接積分計(jì)算分布函數(shù)，因?yàn)閥 e3的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表示。一般對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若 x 0 ,則可以通過查本書附錄的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到（x）。若x 0 ,則可以利用以下性質(zhì)轉(zhuǎn)化為取值x 0的（x）來處理。性質(zhì) （x） 1（x）.證明由密度函數(shù)的對稱性立即有:(x) PX x PX

55、x 1 P X x 1(x)命題得證。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)表中x取值只有x 0, 4.99,這是因?yàn)楫?dāng)x 4.89時(shí)，(x)已經(jīng)非常接近1了。也就是說隨機(jī)變量 X取值大于4.89的概率已經(jīng)非常非常小，幾乎可以忽略不計(jì)。例 2-31 已知 X N (0,1) , (1)求 PX 1.96, PX 1.96 , P X 1.96,P 1 X 2; (2)已知 PX a 0.7019 , PX b 0.9232,求 a, b.解 (1)查表可得：PX 1.96(1.96)0.9750 ,PX 1.96( 1.96)1(1.96) 1 0.97500.0250 ,(1.96)( 1.96)PX 1.96 P

56、1.96 X 1.96(1.96) (1(1.96)2 (1.96) 1 0.95,P 1 X 2(1)(2) (1(1)0.9773 0.8413 1 0.8186 ,(2)因?yàn)?PX a(a) 0.7019 ,查表可得 a 0.53 ;(b) 0.9616 即 b 1.77.因?yàn)镻X b 2 (b) 1 0.9232,查表可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布我們已經(jīng)可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來處理其概率的計(jì)算問題，那么對于一般正態(tài)分布應(yīng)該如何去處理它的概率計(jì)算問題呢？為此我們不加證明的給出下面兩個(gè)定理，其證明放在本章第四節(jié)討論。2、X定理 2-3 若 XN( , 2),那么 YN(0,1).定理 2-4 若 X

57、N(0,1),那么 Y X N( , 2).由上面兩個(gè)定理可知，一般正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可以通過變量替換相互轉(zhuǎn)化。這為X我們提供了一條通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布處理一般正態(tài)分布的途徑，即可以通過Y -的轉(zhuǎn)化將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來獲得一般正態(tài)分布的分布函數(shù)值。例 2-32 已知 XN(8,0.52), (1)求：F(9) , F(7) ; (2)求 P7.5 X 9,PX 8 1, PX 9 0.5.解 （1）(2)P XPXF(9)PXP7.51PX79 PX 8 9 8 0.5 -05)，7 8 0.9773 ,P(0.50.59 P7.5 80.5X 80.5P*

58、9 0.5 PP1P1以及概率PX0.由于PX1)2) 1(2) 0.0227 ;*1 0.8186 ,0.50.5PX5.9PXPX0 12-340.9546 ,0.51 0.530.5X 80.51 0.50.5 2),若 PXX1.6 P-5.91.65.9XP X 0 1 P-1.61(5)1.8求解得:0.73.83.833(1) 0.99870.036 , PX0.758故有:3.831( 1.27)0.84130.1574.5.90.758 ,試求0.036,且0.898.從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭乘火車有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（分鐘

59、）服從正態(tài)分布N（50,100）,第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(60,16).若(1)有70分鐘時(shí)間；（2）有65分鐘時(shí)間。問在上述兩種情況下分別應(yīng)該走哪條路線?解 顯然，路線選擇應(yīng)該以允許時(shí)間內(nèi)到達(dá)火車站概率較大為準(zhǔn)。設(shè)走第i條路所需時(shí)間為Xi, i 1,2 ,則,、65 50PX1 65(10 ) 0.9332,65 60、 _()0.8944,顯然走第一條路更好。4(1)有70分鐘時(shí)，走第一條路及時(shí)趕到的概率為:走第二條路及時(shí)趕到的概率為：PX2 70好。(2)有65分鐘時(shí)，走第一條路及時(shí)趕到概率為：走第二條路及時(shí)趕到概率為：PX2 65PXi

60、 70(70-0) 0.9772,1070 60、 小-(一-一)0.9938,顯然走第二條路更 2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布在第二節(jié)中我們曾經(jīng)利用變量替換Y n X將服從參數(shù)n , p的二項(xiàng)分布 X轉(zhuǎn)化為X服從參數(shù)n, 1 p的二項(xiàng)分布Y.同樣，在第二節(jié)我們利用變量替換 丫 將服從參數(shù)2 .,的正態(tài)分布 X轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 Y.事實(shí)上這兩個(gè)變化過程我們都可以將Y的取x值看彳是X取值分別代入函數(shù) y f (x) n x和y g(x) 中得到的，即Y是X的函數(shù)。隨機(jī)從一袋球中取一個(gè)，考察半徑，得隨機(jī)變量X ;若考察其體積，則得隨機(jī)變量 Y.顯然Y與X之有函數(shù)關(guān)系Y=4 X3。3一、離散型隨機(jī)變量函