2.2.1綜合法與分析法 (7)

1、2.3 數(shù)學歸納法 我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全歸納猜：四毛！完全歸納？1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.（重點、難點）探究點 數(shù)學歸納法的原理與定義問題1:口袋中有4個吃的東西，如何證明它們都是糖？ 把研究對象一一都考察到，而推出結論的歸納法.完全歸納法（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？猜想數(shù)列的通項公式為：解:不完全歸納法從一類對象中的部分對象都具有某種性質(zhì)推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法驗證:逐一驗證，不可能！能否通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？數(shù)學歸納法與多

2、米諾骨牌有怎樣的相似之處呢？多米諾骨牌數(shù)學歸納法的第一步：先證明n取第一個值時命題成立.相當于多米諾骨牌開始倒的第一張.數(shù)學歸納法的第二步：假設當n=k時命題成立，并證明當n=k+1時命題也成立.相當于多米諾骨牌第k張倒后第k+1張是否也會跟著倒.1.第幾塊骨牌，數(shù)列第幾項都是與正整數(shù)有關的問題.2.共同點是任意前一個的情況都可以推出后一個的情況. 多米諾骨牌與我們要解決的問題2有相似性嗎？相似性體現(xiàn)在哪些方面呢？ 上述2，事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第k塊倒下，則相鄰的第k+1塊也倒下. 你能類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明上述問題2猜想的結論嗎？猜想數(shù)列的通項公式為證明:(1

3、)當猜想成立.(2)那么,當根據(jù)(1)和(2)，猜想對于任何 都成立. 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：1.（歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立.2.（歸納遞推）假設當n=k(kn0，kN*)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.若n = k ( k n0) 時命題成立，證明n=k+1時命題也成立. 驗證n=n0時命題成立.命題對從n0開始所有的正整數(shù)n 都成立.歸納奠基歸納遞推數(shù)學歸納法：兩個步驟 一個結論缺一不可例1 用數(shù)學歸納法證明證明：（1

4、）當n=1時，左邊=12=1,右邊=1等式成立(2)假設當n=k( )時等式成立,即那么,當n=k+1時即當n=k+1時等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.即n=k+1時等式成立.所以等式對一切自然數(shù) 均成立.【總結提升】問題1：甲同學猜想 用數(shù)學歸納法證明步驟如下：證明：假設n=k時等式成立，即那么上述證法是正確的嗎？為什么？結論1：第一步是遞推的基礎，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認為第一步是一個簡單的驗證，可有可無.問題2：乙同學用數(shù)學歸納法證明如采用下面證法，對嗎？為什么？結論2：在第二步中,證明n=k+1命題成立時,必須用到n=k命題成立這一歸納假設,否則就打破

5、數(shù)學歸納法步驟之間的邏輯嚴密關系,造成推理無效. 計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明.例2 已知數(shù)列，解： 可以看到，上面表示四個結果的分數(shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n+1,于是可以猜想 下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時，猜想成立.(2)假設n=k 時,猜想成立，即那么所以，當n=k+1時,猜想也成立.1.已知三角形內(nèi)角和為180，四邊形的內(nèi)角和為360，五邊形的內(nèi)角和為540，于是有：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180，若用數(shù)學歸納法證明，第一步驗證n取第一個正整數(shù)時命題成立，則第一個正整數(shù)取值為 _ 32.

6、用數(shù)學歸納法證明 （a1），在驗證n=1等式成立時 ，左邊應取的項是_.3.用數(shù)學歸納法證明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)時，在證明n=k+1時：左邊代數(shù)式為 ，共有 項，從k到k+1左邊需要增乘的代數(shù)式為_. (k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)k+1證明: (1)當n=1時,左邊= , (2)假設n=k(kN*)時原等式成立 ，即右邊= 此時，原等式成立. 那么n=k+1時,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.由 (1)(2)知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確. 1.數(shù)學歸納法的一般步驟：若n = k ( k n0) 時命題成立，證明n=k+1時命題也成立. 驗證n=n0時命題成立.命題對從n0開始所有的正整數(shù)n 都成立.歸納奠基歸納遞推兩個步驟 一個結論缺一不可2.應用數(shù)學歸納法要注意以下幾點：（1）第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的.（2）第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法.（3）n