對(duì)一棵小兩篇文章的評(píng)論

1、對(duì)一棵小兩篇文章的評(píng)論雷 明（二一二年六月二十七七月二日）一、對(duì)對(duì)頂點(diǎn)換色的剖析一文的評(píng)論1、你說“聯(lián)合中心頂點(diǎn)所構(gòu)成的曲線向右畫還是向左畫，是有說道的。它關(guān)乎到哪個(gè)頂點(diǎn)在其內(nèi)，哪個(gè)頂點(diǎn)在其外部的問題。并不是如作者那樣不予區(qū)別！”請(qǐng)你能夠用具體的圖來說明。什么是“向右畫”，什么是“向左畫”。什么是“在其內(nèi)”，什么是“在其外部”等。2、你說“設(shè)曲線隔離了v2與v4，下一步也不是簡單地隨便可以換色的！只能是將2換成4，而非能反過來！這就遇到了與證明5色定理時(shí)不同的地方”。為什么不能把4換成2呢。難道兩個(gè)星點(diǎn)（不相鄰的頂點(diǎn)）v4和v5不能著成同一顏色2嗎。如果你那個(gè)圖是一個(gè)輪，那么把4換成2，頂點(diǎn)v

2、5自然也就換成了4色了，這有什么不可以呢。雖然沒有空出顏色給v，圖仍是原來類型的圖，但有了這一次經(jīng)驗(yàn)，下一次它一定會(huì)從頂點(diǎn)2進(jìn)行換色的，這不是明擺著的事實(shí)嗎。其實(shí)，這不用說，明眼人一看就知道該從那個(gè)頂點(diǎn)換色。在這個(gè)圖中，2色已用了兩次，最好不要再換掉2色。圖中頂點(diǎn)1和4 并不在同一連通分支上，那么把頂點(diǎn)1的1色（或頂點(diǎn)4的4色）換成4色（或1色）不也就可以大到目的了嗎。你自已畫畫圖。3、你說“接著的新問題又來了：兩個(gè)2色在先后換色的過程中，產(chǎn)生相互關(guān)聯(lián)的情形，這就是出現(xiàn)希伍德的反例圖?！蹦氵@里是不是指的從頂點(diǎn)4換色后，又產(chǎn)生了5個(gè)鄰點(diǎn)還著4色的情況呢（這就是我說的“如果你那個(gè)圖是一個(gè)輪，那么把

3、4換成2，頂點(diǎn)v5自然也就換成了4色了，這有什么不可以呢。雖然沒有空出顏色給v，圖仍是原來類型的圖”呢。這怎么能叫反例圖呢，難道它再不能能通過換色而空出顏色給v嗎。在把4換成2后，這個(gè)圖中，仍是2色用了兩次，最好不要再換掉2色，圖中頂點(diǎn)3和5并不在同一連通分支上，那么把頂點(diǎn)3的3色（或頂點(diǎn)5的4色）換成4色（或3色）不也就可以大到目的了嗎。你也可以自已畫畫圖。4、你說“當(dāng)5鄰點(diǎn)達(dá)到3著色（雖然這是不必要的）時(shí)”你畫了一個(gè)圖。請(qǐng)問：5 鄰點(diǎn)有你那樣v1（1）v2（2）v3（3）v4（3）v5（2）著色的嗎，既然v3和v4是相鄰的，都著成（3）色能行嗎。你還專門用括弧進(jìn)行了注釋“雖然這是不必要的”

4、，不必要你還畫它干什么，說它干什么。5、你說“與此同時(shí)還需要修正一下我們用的約當(dāng)曲線。事情是這樣的，約當(dāng)曲線確實(shí)有，其定理已眾所周知；但不能停留在字面上！然而我們?cè)谶@里其實(shí)用的是約當(dāng)折線（由邊構(gòu)成的回路）?！边@有必要嗎，是誰規(guī)定的邊一定要用直線來畫呢，把由折線構(gòu)成的回路不能畫成一條閉合曲線（約當(dāng)曲線）嗎，多此一舉。6、你說“頂點(diǎn)換色法不是到處可以適用的！”既然不是到處都適用的，那么你就應(yīng)給它指定一個(gè)適用范圍呀。你所說的所謂的不適用，都是些人們一眼就能看出該怎么做的問題，是枝節(jié)問題，不需要專門指出適用不適用，說得多了反而給人以復(fù)雜感。其實(shí)坎泊的換色方法（顏色交換技術(shù)）是很簡單的，是正確的，還是有

5、用的。不能把前人的一切都否定完了。雷 明二一二年六月二十七日于長安附：一棵小草的對(duì)頂點(diǎn)換色的剖析一文：對(duì)頂點(diǎn)換色的剖析近日大連學(xué)習(xí)歸來，又回想原來寫的博文用歸納法證明四色猜想的思考，那里介紹百度文庫“四色定理論證”，陜西屈氏的文章，他一直應(yīng)用（對(duì)頂點(diǎn)）歸納法證完四色定理。我當(dāng)時(shí)感覺歸納法有出路，但該文寫得特別繁瑣。這一次我歸納一下：作者反復(fù)使用5色定理給頂點(diǎn)換色的辦法（見“關(guān)于圖的運(yùn)算”），該方法的使用具有廣泛性、普遍性和認(rèn)可性。因此也有一定的權(quán)威性！但令業(yè)內(nèi)人士也感到它的神秘性，被【數(shù)學(xué)聊齋】的作者王樹和稱之為“絕招”。給頂點(diǎn)換色的方法到底是個(gè)什么方法，是否基于某個(gè)公理或者什么定理？今天就從

6、頭到腳給它剖析一番。（圖略）例如，圖中5鄰點(diǎn)著上1、2、3、4、5色。在G(V-v)中，任意不相鄰的兩頂點(diǎn)，如：v1、v3（著1、3兩色）有兩種情況。1）不在同一連通分支中或2)在同一連通分支；1）可換色，以達(dá)到5鄰點(diǎn)四著色目的，2）聯(lián)合v后構(gòu)成約當(dāng)曲線，隔離v2、v5（或v2、v4），如1）一樣都達(dá)到5鄰點(diǎn)四著色目的。目前，這一“絕招”被屈氏發(fā)展到5鄰點(diǎn)四著色。似乎上面那兩條成了一個(gè)規(guī)律，非此即彼。是這樣嗎？細(xì)心的讀者看下圖，（圖略）該圖用起來就沒有那么順利。比如v1、v3當(dāng)屬于同一連通分支時(shí)，聯(lián)合中心頂點(diǎn)所構(gòu)成的曲線向右畫還是向左畫，是有說道的。它關(guān)乎到哪個(gè)頂點(diǎn)在其內(nèi)，哪個(gè)頂點(diǎn)在其外部的問

7、題。并不是如作者那樣不予區(qū)別！這是其一?，F(xiàn)在往下進(jìn)行，嶄不做區(qū)別。設(shè)曲線隔離了v2與v4，下一步也不是簡單地隨便可以換色的！只能是將2換成4，而非能反過來！這就遇到了與證明5色定理時(shí)不同的地方，這是其二。若再考慮到曲線畫的方向問題，接著的新問題又來了：兩個(gè)2色在先后換色的過程中，產(chǎn)生相互關(guān)聯(lián)的情形，這就是出現(xiàn)希伍德的反例圖。有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的網(wǎng)友都能讀懂這一點(diǎn)。更有意思的是，當(dāng)5鄰點(diǎn)達(dá)到3著色（雖然這是不必要的）時(shí)，（圖略）（括號(hào)內(nèi)數(shù)字表示著色）照常再分析某兩點(diǎn)時(shí)，并不都具有（1）或（2）的屬性。如v1(1)、v4(3)在同一個(gè)連通分支中,是不會(huì)將頂點(diǎn)v5(2)與 v3(1)隔離開的！同樣，v5(2

8、) 與v3(1)也不能把v1(1)與v4(3)隔離開。因?yàn)関1(1)就在曲線上。與此同時(shí)還需要修正一下我們用的約當(dāng)曲線。事情是這樣的，約當(dāng)曲線確實(shí)有，其定理已眾所周知；但不能停留在字面上！然而我們?cè)谶@里其實(shí)用的是約當(dāng)折線（由邊構(gòu)成的回路）。剛才的例子尤為明確。終上剖析，已往的頂點(diǎn)換色法不是到處可以適用的！二、對(duì)華羅庚閃光的歸納法思想一文的評(píng)論很好！如果把畫線段的平面也看成是一個(gè)面，則公式（1）就變成為VFE2，或者寫成vfe2，這就是虧格為0的多面體或平面圖的歐拉公式。為什么VFE的結(jié)果是2，這里并沒有說明，所以說你引用的那個(gè)VFE1，并沒有什么根據(jù)，用VFEK（K為任意的正整數(shù)）對(duì)你舉出的那

9、些例子進(jìn)行驗(yàn)證也應(yīng)該都是正確的。在這種情況下，若規(guī)定K為不大于2的偶數(shù)（包括0和負(fù)偶數(shù)在內(nèi)）時(shí)，K（vfeK）或就成了不同虧格n（n0）下曲面上的歐拉示性數(shù)了，當(dāng)n0時(shí)，K2，當(dāng)n1時(shí)，K0，當(dāng)n2時(shí)，K2，當(dāng)n3時(shí)，K4，等等。2012，7，1,從你的五步證明中看，頂點(diǎn)、邊和面的變化量V、E和F雖然各不相同，但VFE的變化量卻始終均等于0，并沒有發(fā)生變化。當(dāng)然公式（1）VFE1也就不會(huì)有什么變化，其結(jié)果仍然是1。對(duì)于公式（1）其右邊的1實(shí)際上可以用任意數(shù)代替，變成VFEK，當(dāng)K2時(shí)，VFE2，這就是虧格為0的平面（或球面）上的圖和凸多面體的歐拉公式。若把多階曲面的虧格用n（n0）表示，并令K

10、2（1n），則上式就變成VFE2（1n），這就是多階曲面上的歐拉公式。用VFE2（1n）可以直接導(dǎo)出多階曲面上的赫渥特地圖著色公式n，當(dāng)n0時(shí)，n4,這就是四色猜測(cè)。2012,7,2附：引用一棵小草華羅庚閃光的歸納法思想一文中的一個(gè)例子。例5、平面上若干條線段連在一起組成一個(gè)幾何圖形，其中有頂點(diǎn)，有邊（兩端都是頂點(diǎn)的線段，并且線段中間再?zèng)]有別的頂點(diǎn)），有面（四周被線段所圍繞的部分，并且不是由兩個(gè)或者兩個(gè)以上的面合起來的）。如果用V、E和F分別表示頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)，求證： V-E+F=1 (1)證明：我們應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=1，就是有一條線段的時(shí)候，有2個(gè)點(diǎn)，1條線，無面。也就是 V1=2，

11、E1=1，F(xiàn)1=0所以結(jié)論是正確的。假設(shè)對(duì)由不多于k條線段組成的圖形，這個(gè)定理也成立。添上一條線可以又好幾種添法，但是這條線是與原來的圖形連在一起的，所以至少要有一端在原圖形上，根據(jù)這一點(diǎn)，我們來考慮一下各種可能情況。（1）一端在圖形外，另一端就是原來的頂點(diǎn)。這樣，點(diǎn)數(shù)加上1，線數(shù)加上1，面數(shù)不變。這就是要在原來的公式的右邊加上1-1+0=0.所以（1）式成立。（2）一端在圖形外，另一端在某一線段上。這樣，點(diǎn)數(shù)加上2，線數(shù)也加上2（除掉添上的一條線之外，原來的某一條線被分為兩段），面數(shù)不變。因?yàn)?-2+0=0，所以（1）式仍成立。（3）兩端恰好是原來的兩頂點(diǎn)。這時(shí)，這條線段把一個(gè)面一分為兩，即線、面數(shù)各加上1，而點(diǎn)數(shù)不變。因?yàn)?-1+1=0，所以（1）式仍成立。（4）一端是頂點(diǎn)，另一端在一條邊上。這時(shí)，