（新教材）2021-2022學(xué)年下學(xué)期高一暑假鞏固練習(xí)4 立體幾何（一）

1、暑假練習(xí)04立體幾何（一）一、單選題.下列說法中正確的個(gè)數(shù)為（）各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐. TOC o 1-5 h z 4B. 3C. 2D. 1一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為10,底面邊長(zhǎng)為6國，該四棱錐截去一個(gè)小四棱錐后得到一個(gè)正四棱臺(tái)，正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為5,則正四棱臺(tái)的高為（）5B. 4C. 3D. 2如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖A!BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且OD = 2,則原平面圖形的周長(zhǎng)為（）A. 42+4B. 4x/6+4 TOC o 1-5

2、h z C. 82D. 8己知某圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面圓的半徑為2,則圓錐的表面積為（）A. 10B. 12C. 14D. 16/r如圖，圓錐PO的底面直徑和高均為4,過的中點(diǎn)0,作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的體積是（）【答案】【解析】按如圖所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形，截面形狀不可能為五邊形, 故答案為.【答案】空【解析】如圖所示，取中點(diǎn)。，連接AD,由于三棱錐S-ABCJ正三棱錐，故過點(diǎn)S作SF_L底面A8C,則F在AO上，且AF = 2FD,點(diǎn)。在SF上，連接。4, 0E,設(shè)三棱錐S-ABC外接球0半

3、徑為R,則OS = OA = R，由于底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，所以& = *!, AF = -AD = 923因?yàn)?SA = 2也,所以 SF = jAS2_AF2 =3, 設(shè)破=如貝SO = 3-h AO我AF2+OF2=4i，故3-人=3 +忡，解得/? = 1，所以 R = 3 1 = 2，由勾股定理得0E = JoA2 -AE?=4一：=斗，過點(diǎn)E作三棱錐S-ABC外接球。的截面圓，當(dāng)截面圓與0E垂直時(shí)，截面面積 最小，設(shè)截面圓半徑為r,則=摘OE2 =，,故截面面積的最小值為兀產(chǎn)=?兀, 故答案為四.四、解答題.【答案】(1) 3a/5 ； (2) 5cm.【解析】(1)三棱柱的側(cè)

4、面展開圖為一個(gè)矩形&40101,如圖所示,長(zhǎng) AiAi，=2x3=6,寬 AAi=3, 所以心=/相+由=丁9 + 36=3后， 即小蟲爬行的最短距離是3打.(2)作出三棱錐的側(cè)面展開圖，如圖，A, B兩點(diǎn)間最短繩長(zhǎng)就是線段的長(zhǎng)度.在AO8中，ZAQ8 = 30 x3 = 90。，O4 = 4cm, OB = 3cm,所以 AB = y/0A2+0B2 = 5(cm),所以此繩在A, B兩點(diǎn)間的最短繩長(zhǎng)為5cm.【答案】（1） 80 + 48J7；（2）9【解析】（1）設(shè)Q,。分別為正四棱臺(tái)上、下底面的中心，連接。Q,AC，AG，過弓作QE1AC于E,過E作EF1BC于幾連接C】F ,如圖，則

5、GEQO，C/為正四棱臺(tái)的斜高，依題意，在RtZC|CE中,/yZCC】E = 30。, CE = CO - EO = CO - CQ = -x(8 4)= 2扼，以=岳=2妤 在等腰RtACEF 中，EF = CEsin45o = 2“x巫=2,2在 RtZC|EF 中，斜高 QF = ylCiE2+EF2 =27于是得正四棱臺(tái)的側(cè)面積 =4xLx（4 + 8）x2/7 = 48/7， 而正四棱臺(tái)的上下底面面積分別為s，= 42 =16，S = 8? =64,所以正四棱臺(tái)的表面積$2 =S + S + S| =16+64+48a/7 = 80+48a/7 .(2)由(1)知S + S = 8

6、0， =4x：x(4 + 8)GF = 80，解得C(F = y 又EF = 2，因此，CE = yCiF2-EF2 =-，即四棱臺(tái)的高h(yuǎn) = -, 所以正四棱臺(tái)的體積 V = i(S, + 5 + Vs77s)/i = i(42+82+4x8)x- = 15.【答案】表面積為15i，體積為甌兀3【解析】如圖，連接CD，因?yàn)?。是切點(diǎn)，CD是半徑，所以CD_LAB，由已知可得 4 = 60。，AB = 4, BC = 2a/3, CD = AC sin60 = V3-BB陰影部分繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體，可以看作是一個(gè)圓錐挖去一個(gè) 半球所得的幾何體，圓錐的底面半徑為2,高為2也,挖去的

7、半球的半徑為(V5) +x22 一x(V5) =15)，(V5) +x22 一x(V5) =15)，該幾何體的表面包含一個(gè)圓錐側(cè)面，一個(gè)半球面和一個(gè)圓環(huán), 所以其表面積S = x2x2x4 + x x |體積 V = X7TX3體積 V = X7TX322x2 右-Lx 丑 x(右)3=甌33A. 10/rA. 10/rB.10C. 2tiD.In已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2,側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為右，則這個(gè)三棱錐的表面積為（）A. 4 + 30 +應(yīng)A. 4 + 30 +應(yīng)4 + 0 + 2而4 + 3 + J154 + 3 + J154 + 2V3 + V15

8、古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即在球的直 徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等時(shí)，球的體積是圓柱體積的2,且球的表面3積也是圓柱表面積的|.已知體積為的圓柱的軸截面為正方形.則該圓柱 內(nèi)切球的表面積為（）A. 12/rB. 6也兀C. 6兀D. 4也兀二、多選題.下列說法正確的是（）由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，稱作多面體一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)體的截面圖形都是圓圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形利用斜二測(cè)畫法得到的下列結(jié)論中正確的是（）A.三角形的直觀圖是三角形B.正方形的直觀圖是正方形C,菱形的直觀圖是菱形D.平行四邊形的直觀圖

9、是平行四邊形己知A，B， C三點(diǎn)均在球。的表面上，AB = BC = CA = 2且球心0到平面ABC的距離等于球半徑的！，則下列結(jié)論正確的是（）3A.球0的表面積為6B.球。的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C.球。的外切正方體的棱長(zhǎng)為蘭D.球。的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為23三、填空題.用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀可能是.（填序號(hào)）三角形；四邊形；五邊形；不可能為四邊形.已知正三棱錐S-ABC,底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC, SA = 2后，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作三棱錐S-ABC外接球。的截面，則截面面積的最 小值是.四、解答題.（1）如圖，三棱柱ABC-A4G的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱C

10、Ci底面，CCi = 3,有蟲從A沿三個(gè)側(cè)面爬到Ai,求小蟲爬行的最短距離.（2）以0為頂點(diǎn)的三棱錐中，過。的三條棱兩兩的夾角都是30。，在一條棱上 取A, 3兩點(diǎn)，Q4 = 4cm, OB = 3cm,以A, B為端點(diǎn)用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周（繩和側(cè)面無摩擦），求此繩在A, B兩點(diǎn)間的最短繩長(zhǎng).如圖所示，正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為4和8.(1)若其側(cè)棱所在直線與上、下底面中心的連線夾角為30。，求該四棱臺(tái)的表面積；(2)若其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求該四棱臺(tái)的體積.參考公式：上下底 面面積分別為s,s,高為h，v=L(s+s+J3)/zAB如圖，在43C中，ZC = 90% ZB =

11、30, AC = 2,以C為圓心的圓弧與 A8相切于點(diǎn)Z),將陰影部分繞gc所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求這個(gè) 旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.H答案與解析一、單選題.【答案】D【解析】對(duì)于，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，錯(cuò)誤；對(duì)于，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無法保證各個(gè)等腰三角形全等且 腰長(zhǎng)均為側(cè)棱長(zhǎng)，錯(cuò)誤；對(duì)于，各側(cè)面都是全等的等腰三角形,但無法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng), 錯(cuò)誤；對(duì)于，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面射影為 底面中心，滿足正棱錐定義，正確，故選D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，正四棱臺(tái)是由原正四棱錐過側(cè)棱的中點(diǎn)且與底面平面的平面 截得的

12、，如下圖所示：對(duì)原正四棱錐，BD = gc = 12,故其高 PO= J100-36=8,又 PO】B 。POB，其相似比為L(zhǎng)，故正四棱臺(tái)的高h(yuǎn) = -PO = 4,2故選B.【答案】B【解析】由題可知 OD = AfDf = 2，ZAfOfDf = 45 , OfAr = 22，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則 OD = 2OD = 4, OA = OfAr = 2y2, AB = DC = 2,=2妤=2妤.原平面圖形的周長(zhǎng)為46+4,故選B.【答案】A【解析】.圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面圓的半徑為2,底面周長(zhǎng)是2x 2 = 4tt，側(cè)面積是x 4- x 3 = 6/r，底面積是x 22 =

13、4/1 ,2.圓錐的表面積為S = 6+4萬= 10;r,故選A.【答案】B【解析】由題意知，因?yàn)镺為PO的中點(diǎn)，所以挖去圓柱的半徑為1,高為2,剩下幾何體的體積為圓錐的體積減去挖去小 圓柱的體積，所以 V = i-x22x4-7rxl2x2 = 故選 B.3【答案】C【解析】結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB = AC = AD = 2,CE = t，由題意 ABCAACD是等腰直角三角形，則BC = CD = 2V2 =4 +右+應(yīng)，故選c.【答案】A【解析】設(shè)圓柱底面圓半徑為r,則圓柱高為2r，圓柱體積兀rf = 6扁,解得r = 5/3 ,又圓柱內(nèi)切球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的

14、高相等，所以內(nèi)切球的表面積是圓柱表面積的2,圓柱表面積為322右勿x2a/5 + x(V5) x2 = 18,?所以內(nèi)切球的表面積為18= 12，故選A.3二、多選題.【答案】ABD【解析】根據(jù)多面體的定義知，選項(xiàng)A正確；根據(jù)旋轉(zhuǎn)面的定義知，選項(xiàng)B正確；截圓柱、圓錐、圓臺(tái)所得軸截面圖形分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；圓錐沿其母線剪開后，側(cè)面在平面上的展開圖是一個(gè)扇形，此說法正確，選項(xiàng)D正確，故選ABD.【答案】AD【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，平行于 尤軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半.對(duì)于A中，三角形的直觀圖中，三角形的高于底邊的夾角為45?；?35%長(zhǎng)度減少為原來的一半，依然是三角形，所以A正確；對(duì)于B中，正方形的直角，在直觀圖中變?yōu)?5?；?35。，不是正方形，所以B 錯(cuò)誤；對(duì)于C中，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，在直觀圖中對(duì)角線的夾角變?yōu)?5。，所 以菱形的直觀圖不是菱形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，根據(jù)平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D 正確，故選AD.【答案】AD【解析】設(shè)球的半徑為R,由己知可得ABC外接圓半徑為r = =