極大似然估計例

1、案例色盲的遺傳學(xué)模型研究隨機調(diào)查1000人，按性別和是否色盲將這1000人分類。分類結(jié)果如下：男性正常、女 性正常、男性色盲和女性色盲各有442、514、38、6人。按遺傳學(xué)的理論，有如下結(jié)論：性別決定于兩個染色體，女性是XX，男性是XY，人群中女性和男性，也就是有 XX和XY染色體的人所占的比例都是1/2；染色體X與非色盲遺傳因子A，或與色盲遺傳因子a成對出現(xiàn)，而染色體Y不可 能與A，或與a成對出現(xiàn)。A和a與X成對出現(xiàn)的概率分別為P和q , P + q = 1；遺傳因子有顯性和隱性之分，非色盲遺傳因子A是顯性因子，色盲遺傳因子a是 隱性因子。因而，對男性來說，(XA)Y的情況沒有色盲，其概率

2、為P/2 ； (Xa)Y的情況有色盲，其概 率為q;2。對女性來說，(XA)(XA)、(XA)(Xa)和(Xa)(XA)三種情況都沒有色盲，它們的概 率之和為P2.；2 + pq ； (Xa)(Xa)的情況有色盲，其概率為q*2。即男性正常、女性正常、 男性色盲和女性色盲這四類人所占的比例分別為P/2、p*2+ pq、q2和q2,；2，其中p 未知，q =1p。將男性正常、女性正常、男性色盲和女性色盲這四類人分別記為，a4，并記類A. 所占的比例為Pj(i = 1，,4)。則P1 = P/2，p2 = p2 .2 + pq，p3 = q/2，p4 = q2 , 2.這些Pt都依賴一個未知參數(shù)P

3、。若上述模型是對的，試求類4所占比例Pj(i = 1，,4)的極大似然估計(相當(dāng)于求p的 極大似然估計)解：參數(shù)似然函數(shù)為q )38 ()6J)514 z + pqJ Ix p956(2 - p)514(1-p)50從而有對數(shù)似然方程a ln L( p) 956 51450 八=0dpp2 p 1 p即1520p2 3482p +1912 = 0。據(jù)此求得p的極大似然估計p - 0.91，從而得p.的極大似然估計 P. = Pi(P)，i = 1,4。它們分別為 0.455、0.49595、0.045 和 0.00405。（由此得各類的期望頻數(shù)的估計值np., i = 1, ,4。它們分別為4

4、55、495.95、45和4.05）使用Excel軟件，由數(shù)值迭代算法求得參數(shù)p的極大似然估計，使得似然函數(shù)，或使得 對數(shù)似然函數(shù)達到極大值。如何設(shè)定P的初始值是數(shù)值迭代算法能否正確求解的關(guān)鍵。對 本例來說，可通過以下一些途徑設(shè)定P的初始值。由于（XA）Y是男性沒有色盲，所以沒有 色盲的男性只有A，沒有a。由于在隨機調(diào)查1000人中沒有色盲的男性有442人，所以A 與X成對出現(xiàn)的概率p不可能小于0.442。其次由于在沒有色盲的人中才有A，色盲的人中 沒有A，并由于在隨機調(diào)查1000人中有442 + 514 = 956人沒有色盲，所以A與X成對出現(xiàn) 的概率p不可能大于0.956。故由調(diào)查數(shù)據(jù)知，

5、p的初始值應(yīng)設(shè)定在0.442與0.956之間。 另外，由于男性沒有色盲的概率為p 2，在隨機調(diào)查1000人中男性沒有色盲有442人，所 以p的初始值應(yīng)設(shè)定在0.442x2 = 0.884附近。類似地，由男性色盲、女性沒有色盲和女性 色盲的概率，以及在隨機調(diào)查的人中男性色盲、女性沒有色盲和女性色盲各有多少人，也可 以推得p的初始值應(yīng)設(shè)定在什么值附近。本例，我們?nèi)的初始值為0.85。下面介紹利用統(tǒng)計軟件Excel求參數(shù)的極大似然估計的方法。建立Excel工作表格：將p的初始值0.85輸入到例如A1單元格；將目標(biāo)函數(shù)，即對數(shù)似然函數(shù) “ =956*ln（。1） + 514*ln（2 一。1） +

6、50*ln（1 一。1） ” 輸入到例如 A3單元格；p滿足約束條件：0 p 1，為此將0和1分別輸入到例如B1和C1單元格；按下面的步驟求參數(shù)的極大似然估計：1.選擇Tools（X具）下拉菜單；.選擇Solver Parameters（規(guī)劃求解）選項；.在Solver Parameters（規(guī)劃求解參數(shù)）對話框中：在Set Target Cell（設(shè)置目標(biāo)單元格）欄中鍵入A3；在Equal to（等于）欄中選擇Max（最大值）；在By Changing Cells（可變單元格）欄中鍵入A 1；在Subject to the Constraints（約束）欄中選擇Add（添加）選項：.在Add Constraint（添加約束）對話框中：在Cell Reference（單元格引用位置）欄中鍵入A1；在Constraint （約束）欄中鍵入B1；在 =下拉菜單，選擇=;再一次選擇Add（添加）；5 .在Add Constraint（添加約束）對話框中：在Cell Reference（單元格引用位置）欄中鍵入A1；在Constraint （約束）欄中鍵入C1；在 =