含絕對(duì)值不等式的解法

1、 含絕對(duì)值不等式的解法一、復(fù)習(xí)目標(biāo)掌握解含絕對(duì)值的不等式的方法、步驟與技巧.二、重點(diǎn)解析 1.絕對(duì)值等式與不等式具有的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解絕對(duì)值不等式的依據(jù). 2.解含有絕對(duì)值的不等式的方法關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào), 基本方法有如下幾種: (1)分段討論: 根據(jù) |f(x)|= 去掉絕對(duì)值符號(hào). -f(x), f(x)0, f(x), f(x)0, (2)利用等價(jià)不等式:|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x). |f(x)|g(x)f(x)-g(x) 或 f(x)g(x). 兩端同時(shí)平方: 即運(yùn)用移項(xiàng)法則, 使不等式兩邊都變?yōu)榉秦?fù)數(shù), 再平方, 從而去掉絕對(duì)值符號(hào). 三、知識(shí)要點(diǎn)2.|f(x

2、)|0)-af(x)a; 1.|x|0; |x|= x, x0, -x, xa(a0)f(x)a; |f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x); |f(x)|g(x)|f2(x)g2(x). 3.形如 |x-a|+|x-b|c(ab) 的絕對(duì)值不等式的解法有二: 零點(diǎn)分區(qū)間討論法; 運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義. 4.重要絕對(duì)值不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|. 使用時(shí)(特別是求最值)要注意等號(hào)成立的條件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab0; |a-b|=|a|+|b|ab0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)0. 注

3、: |a|-|b|=|a+b|a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)0. 典型例題 1 解不等式 |x+1|+|x-3|5. 解: 原不等式的解集是下面三個(gè)不等式組解集的并集: 滿足 的 x 不存在; x5. -1x3, x+1+3-x5. 或 x3, x+1+x-35. 或 由 得, x . 72x . 7232原不等式的解集為 (-, - )( , +). 7232典型例題 1 解不等式 |x+1|+|x-3|5. 另解: 如圖: 數(shù)軸上表示數(shù) -1, 3 的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為 4, 點(diǎn) - ,

4、到 -1, 3 兩點(diǎn)間的距離之和 |x+1|+|x-3|=5. 3272故不難看出, 當(dāng) x 落在 - 左側(cè)或 右側(cè)時(shí)正好滿足 |x+1|+|x-3|5. 3272原不等式的解集為 (-, - )( , +). 723223-1 0 1 2 3 -27x學(xué)一學(xué), 練一練 不等式 |x-4|+|x-3|a 有解, 求 a 的取值范圍.解: 不等式 |x-4|+|x-3|x-4|+|x-3| 成立, a 大于數(shù)軸上表示數(shù) 3 與 4 的兩點(diǎn)間的距離 1, 故 a 的取值范圍是 (1, +). 或先考慮無(wú)解時(shí) a 的范圍. 典型例題 2 解法一 零點(diǎn)分區(qū)間討論 解不等式 |x+3|-|x-3|3.

5、原不等式等價(jià)于: x3, -3x3, |x+3+x-3|3, x3, |x+3-x+3|3. 或 或 即 x-3 或 -3x- 或 3. 3232x . 3232原不等式的解集為 (-, - )( , +). 3232解法二 兩邊平方 原不等式等價(jià)于 (|x+3|-|x-3|)29. 即 2x2+92|x2-9| ( 2x2+9)2(2|x2-9|)2. 即 4x2-90. x . 3232原不等式的解集為 (-, - )( , +). 3232典型例題 2 解法三 利用絕對(duì)值不等式性質(zhì) 解不等式 |x+3|-|x-3|3. 33. x . 3232原不等式的解集為 (-, - )( , +)

6、. 3232學(xué)一學(xué), 練一練 解: |x2-3|x|-3|1-1x2-3|x|-31. 解不等式 |x2-3|x|-3|1. x2-3|x|-40. x2-3|x|-20, |x|2-3|x|-40. |x|2-3|x|-20, |x|4, |x| . 3+ 17 2 -4x4, x- 或 x . 3+ 17 2 3+ 17 2 原不等式的解集為 -4, - , 4. 3+ 17 2 3+ 17 2 -4x- 或 x4. 3+ 17 2 3+ 17 2 或 |x|4. 3+ 17 2 典型例題 3 x-4 或 -1x1 或 x4. 原不等式的解集為 (-, -4-1, 14, +). 解不等式

7、 | |1. x2-4 3x 解法一 | |1-1 1 x2-4 3x x2-4 3x x2-4 3x -1, x2-4 3x 1. x2-4 x2+3x-4 0, 0. x2-4 x2-3x-4 (x+4)(x+2)(x-1)(x-2)0(x2), (x+2)(x+1)(x-2)(x-4)0(x2). x-4 或 -22, x-2 或 -1x0, 3-x 3+x 2-x x+2 | |. 解法一 | | . 3-x 3+x 2-x x+2 2-x x+2 x-3 3+x 3-x 3+x 0 x(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)(2-x)(3+x). x0, -x2+x+6x2+x-

8、6, -x2+x+6-x2-x+6, x0, x0, x20, 3-x 3+x 2-x x+2 | |. 解法二 | | 或 3-x 3+x 2-x x+2 x2, 3-x 3+x x-2 x+2 . 0 x , 或 0 x(2-x)(3+x),x2, (3-x)(x+2)(x-2)(3+x). 或 0 x-x2-x+6, x2, -x2+x+6x2+x-6. 或 0 x0,x2, x26. 0 x2 或 2x 6 .0 x 6 .原不等式組的解集為 (0, 6 ).備選題 1解不等式 (1) 3; (2) |x+2|-|x-3|4.1+|x| |x|-1 (2) |x+2|-|x-3|4 等

9、價(jià)于解: (1) 3 01+|x| |x|-1 1+|x|-3(|x|-1) |x|-1 2|x|-4 |x|-1 0 1|x|2. -2x-1 或 1x2. 故原不等式的解集為 -2, -1)(1, 2. x-2, -x-2+x-34, -2x3, x+2+x-33, x+2-x+34. 或 或 x-2 或 -2x .52即 x . 52原不等式的解集為 (-, ). 52備選題 2解: mR, 可討論如下: 1-2m3x-22m-1. 解關(guān)于 x 的不等式 |3x-2|0 即 m 時(shí), 原不等式等價(jià)于 12解得 - x 時(shí), 原不等式的解集為 (- , ).2m-3 3 2m+1 3 12

10、12備選題 3解: 依題意當(dāng) x3 時(shí), 不等式 |x2-4x+p|+|x-3|5 恒不成立.當(dāng) x3 時(shí), |x2-4x+p|+|x-3|5 恒成立. 即當(dāng) x3 時(shí), |x2-4x+p|8-x 恒成立. 即 x2-4x+p8-x 或 x2-4x+px-8 對(duì) 38 時(shí), |x2-4x+p|8-x 恒成立, 只要當(dāng) 38-x 恒成立即可. 由式對(duì) 3x8 恒成立得 p8; 由式對(duì) 3x8 恒成立得 p-32. p-x2+3x+8=-(x- )2+ , 32441或 p-x2+5x-8=-(x- )2- , 5274但當(dāng) x=3 時(shí) |x2-4x+p|+|x-3|5 要成立, 即 |p-3|5

11、-2p8. 故由 、 知 p=8. 備選題 4 解: (1)f(0)=f(1), b=1+a+b. a=-1.f(x)=x3-x+b. =x22+x1x2+x12-1.x1, x2-1, 1 且 x1x2, 0 x22+x1x2+x123.即 |k|2.(2)0 x1x21, 已知函數(shù) f(x)=x3+ax+b 定義在區(qū)間 -1, 1 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其圖象上任意兩點(diǎn)(x1x2). (1)設(shè)直線PQ 的斜率為k, 求證: |k|2; (2)若 0 x1x21, 求證: |y1-y2|1.則 k= = (x23-x2+b)-(x13

12、-x1+b)x2-x1 y2-y1 x2-x11= (x23-x13)-(x2-x1)x2-x11-1x22+x1x2+x12-12.|x22+x1x2+x12-1|2.由(1)知 |y2-y1|2|x2-x1|=2(x2-x1). 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| |f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2 即 |y2-y1|2(x1-x2)+2. +得, 2|y1-y2|2. |y1-y2|1. 備選題 5 解不等式 4x2+4mx+m2 x-m(xR).解: 原不等式

13、等價(jià)于 |2x+m|x-m -(x-m)2x+m0 且 x-2m. 當(dāng) m0 時(shí), x 不存在;當(dāng) m0 時(shí), 0 x-2m.故當(dāng) m0 時(shí), 原不等式的解集為 ;當(dāng) ma.解: 顯然當(dāng) aax2+2x-3a 或 x2+2x-30, 其兩不等根為:即 a0 時(shí), x2+2x-3-a0 , 或 x2+2x-3+a0 . x1=-1- 4+a , x2=-1+ 4+a . x-1+ 4+a . 由 , 方程 x2+2x-3+a=0 中, =16-4a, 當(dāng) a4 時(shí), 0, x 不存在; 當(dāng) 0a0, 方程 x2+2x-3+a=0 的兩不等根為: x3=-1- 4-a , x4=-1+ 4-a .

14、 -1- 4-a x-1+ 4-a . 綜上所述, 當(dāng) a0 時(shí), 原不等式的解集為 R; 當(dāng) 0a3a+1 即 a 時(shí), B=3a+1, 2, 由 AB 得: 132a3a+1 且 a2+12. 解得 a=-1. 當(dāng) 2 時(shí), B=2, 3a+1, 由 AB 得: 132a2 且 a2+13a+1. 解得 1a3. 綜上所述, 使 AB 的 a 的取值范圍是 -11, 3. 備選題 8 解不等式 |logax|loga(ax2)|-2(0a1).解: 令 t=logax, 則原不等式等價(jià)于 |t|1+2t|-2|t|+2|1+2t|(|t|+2)2(1+2t)2t2+4|t|+44t2+4t

15、+1|4t|3t2+4t-3-(3t2+4t-3)4t0 且 3t2-30.解得 t1.即 logax1.0aa-3 或 0 xa. 原不等式的解集為 (0, a)(a-3, +).備選題 9 解: 原不等式等價(jià)于解不等式 | 2x-1 -x |2.2x-1 -x -2. 2x-1 x-2 2x-10, x+20, 2x-10. x-20, 2x-1(x-2)2, 2x-10,x-20. 或x2, x2-6x+50, 或 x2. 12x2, 1x5, 或 x2. 12 x2 或 2x512 x5.12 x5.12原不等式的解集為 , 5).122x-1 x-2. 備選題 10 解法1 原不等式

16、等價(jià)于 x-x2-2x2-3x-4 或 x-x2-2-(x2-3x-4). x2-2x-1-6.解不等式 |x-x2-2|x2-3x-4.原不等式的解集為 (-3, +).即 x-3.1- 2x-3.解法2 |x-x2-2|=|x2-x+2|, 而 x2-x+20 恒成立, 原不等式等價(jià)于 x2-x+2x2-3x-4. 即 2x-6.x-3.原不等式的解集為 (-3, +).備選題 11 解: (1)由 |x-1|+a-10 得 |x-1|1-a, 當(dāng) 1-a1 時(shí), xR; 設(shè)全集 U=R, (1)解關(guān)于 x 的不等式|x-1|+a-10; (2)記 A 為(1)中不等式的解集, 集合 B=

17、 x | sin(x- )+ 3 cos(x- )=0 . 若 (CUA)B 恰有三個(gè)元素, 求 a 的取值范圍.3 3 當(dāng) 1-a0 即 a1 時(shí), x2-a. 故當(dāng) a1 時(shí), 原不等式的解集為 R;當(dāng) a1 時(shí), 原不等式的解集為 (-, a)(2-a, +).(2)由題設(shè), 當(dāng) a1 時(shí), CUA=; 當(dāng) a1 時(shí), CUA=x|ax2-a.sin(x- )+ 3 cos(x- ) =2sin(x- )cos +cos(x- )sin 3 3 3 3 3 3 =2sinx.由 2sinx=0 得 x=k(kZ), 即 x=kZ, B=Z.當(dāng) (CUA)B 恰有三個(gè)元素時(shí), a 應(yīng)滿足:

18、 a1 且 22-2a4. 解得 -10, 當(dāng) -1x1 時(shí), g(x) 的最大值為 2, 求 f(x).|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|f(1)|+|c|1+1=2.|g(-1)|2 且 |g(1)|2. 當(dāng) -1x1 時(shí), |g(x)|2. 備選題 12 已知 a, b, c 是實(shí)數(shù), 函數(shù) f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 當(dāng) -1x 1 時(shí), |f(x)|1. (1)證明: |c|1; (2)證明: 當(dāng) -1x1 時(shí), |g(x)|2; (3)設(shè) a0, 當(dāng) -1x1 時(shí), g(x) 的最大值為 2, 求 f(x).(2)另證: 由 x= , 可得:(x+1)2-(x-1)2 4 g(x)=ax+b=a( )