廣西專(zhuān)用2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練45立體幾何中的向量方法含解析新人教A版理2

1、PAGE PAGE 16考點(diǎn)規(guī)范練45立體幾何中的向量方法基礎(chǔ)鞏固1.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量為n=(2,x2+x,-x).若直線l平面,則x的值為()A.-2B.-2C.2D.22.(2021江西景德鎮(zhèn)一中月考)如圖,在四棱錐A-BCDE中,DECB,BE平面ABC,BE=3,AB=CB=AC=2DE=2,則異面直線DC與AE所成角的余弦值為()A.13013B.21313C.1313D.130263.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM平面BD

2、E,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,14.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為()A.12B.22C.13D.165.如圖,過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,作PA平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.(2021湖南衡陽(yáng)八中考前預(yù)測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0),且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y

3、0,z0)且方向向量為n=(,v,)(v0)的直線l的方程為x-x0=y-y0v=z-z0.根據(jù)上面的材料解決下面的問(wèn)題:現(xiàn)給出平面的方程為x-y+2z-7=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0,0)的直線l1的方程為x-3=y5=z2,則直線l1與平面所成的角為()A.60B.120C.30D.457.如圖,在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為.8.在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,ABC=90,ADBC,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值是.9.如圖,在長(zhǎng)方體A

4、BCD-A1B1C1D1中,AA1=A1B1=2,BC=2.(1)若E為線段CC1的中點(diǎn),求證:平面A1BE平面B1CD;(2)若點(diǎn)P為側(cè)面A1ABB1(包含邊界)內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且C1P平面A1BE,求線段C1P長(zhǎng)度的最小值.10.(2021陜西西安八校聯(lián)考)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AB=2,AA1=4,M為側(cè)棱DD1的中點(diǎn),P為棱C1D1上一點(diǎn),O為下底面ABCDEF的中心.(1)求證:MO平面ABD1E1;(2)若直線DP與平面ABB1A1所成角的正弦值為36,求tanDPD1的值.11.已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為正方形,且PA底面ABCD,過(guò)AB的

5、平面與側(cè)面PCD的交線為EF,且滿足SPEFS四邊形CDEF=13.(1)證明:PB平面ACE;(2)若二面角C-AF-D的余弦值為55,求PAAB的值.能力提升12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則()A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面13.三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在A1B1上,且滿足A1P=A1B1,直線PN與平面ABC所成角的正弦值取最大值時(shí),的值為()A.12B.22C.

6、32D.25514.(2021廣西貴港模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1D上不含端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),則直線B1E與CC1所成的角的余弦值不可能是()A.12B.13C.33D.2415.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ABCD,且CD=2,AB=1,BC=22,PA=1,ABBC,N為PD的中點(diǎn).(1)求證:AN平面PBC;(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為2626?若存在,求出DMDP的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.高考預(yù)測(cè)16.(2021湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖,在直三棱柱

7、ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D為BB1的中點(diǎn).(1)若E為AB1上的一點(diǎn),且EB1AB1=14,求證:DECD;(2)在(1)的條件下,若異面直線AB1與CD所成的角為45,求直線AC與平面AB1C1所成角的余弦值.答案：1.D解析當(dāng)線面平行時(shí),直線的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.A解析如圖所示,取BC的中點(diǎn)F,連接AF,DF,可得DFBE.因?yàn)锽E平面ABC,所以DF平面ABC,又由AB=CB=AC且F為BC的中點(diǎn),所以AFBC.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),以AF,BF,DF所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

8、如圖所示,則A(3,0,0),E(0,1,3),C(0,-1,0),D(0,0,3),故CD=(0,1,3),AE=(-3,1,3),則cos=CDAE|CD|AE|=101013=13013.3.C解析設(shè)M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),則AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1).設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=(a,b,c),則nBD,nBE,即2a-2b=0,-2b+c=0.解得a=b,c=2b.令b=1,則n=(1,1,2).又AM平面BDE,所以nAM=0,即2(x-2)+2=0,得x=

9、22.所以M22,22,1.4.C解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).從而D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1),設(shè)平面ACD1的法向量為n=(a,b,c),則nAC=0,nAD1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c.令a=2,則n=(2,1,2).所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h=|D1En|n|=2+1-23=13.5.B解析(方法一)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量

10、分別為n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為n1n2|n1|n2|=22,故所求的二面角的大小是45.圖圖(方法二)將其補(bǔ)成正方體.如圖,不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小為45.6.C解析因?yàn)槠矫娴姆匠虨閤-y+2x-7=0,所以其的一個(gè)法向量為m1=(1,-1,2).因?yàn)橹本€l1的方程為x-3=y5=z2,所以其的一個(gè)方向向量為n1=(-3,5,2),故直線l1與平面所成角的正弦值為-3-5+2436=12,所以直線l1與平面所成的角為30.7.30解析如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直

11、角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-a2,a2.則CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,a2,CB=(a,a,0).設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),則cos=CBn|CB|n|=a2a22=12.=60,直線BC與平面PAC所成的角為90-60=30.8.63解析依題意建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=12,0,0是平面SAB的一個(gè)法向量.設(shè)平面SCD的法向量n=(x,y,z),因?yàn)镾D=12,0,-1,DC=12,1,0,所

12、以nSD=0,nDC=0,即x2-z=0,x2+y=0.令x=2,則y=-1,z=1,所以n=(2,-1,1).設(shè)平面SCD與平面SAB所成的銳二面角為,則cos=|ADn|AD|n|=122+0(-1)+0112222+(-1)2+12=63.9.解由題意知DA,DC,DD1兩兩垂直,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0).(1)證明:E是線段CC1的中點(diǎn),E(0,2,1).DB1=(2,2,2),DC=(0

13、,2,0),BA1=(0,-2,2),BE=(-2,0,1).設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面B1CD的法向量,則DB1m=2x1+2y1+2z1=0,DCm=2y1=0,解得x1=-2z1,y1=0,故可取m=(-2,0,1).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面A1BE的法向量,則BA1n=-2y2+2z2=0,BEn=-2x2+z2=0,解得y2=2x2,z2=2x2,故可取n=(1,2,2).mn=-21+02+12=0,mn,平面A1BE平面B1CD.(2)P為側(cè)面A1ABB1(包含邊界)內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)P(2,a,b),且0a2,0b2,則C1P=(2,a-2,b-2).C1P平面A1

14、BE,C1Pn,C1Pn=2+2(a-2)+2(b-2)=0,解得a=3-b,故1b2,|C1P|=2+(a-2)2+(b-2)2=2+(1-b)2+(b-2)2=2b2-6b+7=2b-322+52.1b2,當(dāng)b=32時(shí),|C1P|取得最小值102.故線段C1P長(zhǎng)度的最小值為102.10.解取BC的中點(diǎn)G,連接OG,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OG,OD所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則O(0,0,0),M(0,2,2),A(0,-2,0),B(3,-1,0),D1(0,2,4),D(0,2,0),C(3,1,0).(1)證明:設(shè)平面ABD1E1的法向量為m=(x1,y1,z1)

15、,AB=(3,1,0),BD1=(-3,3,4),由mAB=3x1+y1=0,mBD1=-3x1+3y1+4z1=0,取y1=-3,可得m=(1,-3,3).又OM=(0,2,2),OMm=-23+23=0,則mOM.OM平面ABD1E1,因此,OM平面ABD1E1.(2)設(shè)平面AA1B1B的法向量為n=(x2,y2,z2),AB=(3,1,0),AA1=(0,0,4),由nAB=3x2+y2=0,nAA1=4z2=0,取x2=1,可得n=(1,-3,0).設(shè)D1P=D1C1=DC=(3,-1,0)=(3,-,0),其中01.則DP=DD1+D1P=(0,0,4)+(3,-,0)=(3,-,4

16、),由已知可得|cos|=|nDP|n|DP|=23242+16=36,解得=22,從而可得D1P=22D1C1=2,所以tanDPD1=DD1D1P=22.11.(1)證明已知四邊形ABCD為正方形,ABCD.又CD平面PCD,AB平面PCD,AB平面PCD.又AB平面ABFE,平面ABFE平面PCD=EF,EFAB.EFCD.由SPEFS四邊形CDEF=13,知F,E分別為PC,PD的中點(diǎn).連接BD交AC于點(diǎn)G,則G為BD的中點(diǎn).連接GE,在PBD中,EG為中位線,EGPB.又EG平面ACE,PB平面ACE,PB平面ACE.(2)解底面ABCD為正方形,且PA底面ABCD,PA,AB,AD

17、兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)AB=AD=2a,AP=2b,則A(0,0,0),D(0,2a,0),C(2a,2a,0),G(a,a,0),P(0,0,2b),F(a,a,b).PA底面ABCD,DG底面ABCD,DGPA.四邊形ABCD為正方形,ACBD,即DGAC.又ACPA=A,AC,PA平面CAF,DG平面CAF.平面CAF的一個(gè)法向量為DG=(a,-a,0).設(shè)平面AFD的法向量為m=(x,y,z),AD=(0,2a,0),AF=(a,a,b),mAD=2ay=0,mAF=ax+ay+bz=0,取z=-a,可得平面AFD的一個(gè)法向量為m=(b,0,-a).設(shè)二面角

18、C-AF-D的大小為,則cos=DGm|DG|m|=aba2+a2a2+b2=55,得ba=63.又PA=2b,AB=2a,PAAB=ba=63.當(dāng)二面角C-AF-D的余弦值為55時(shí),PAAB=63.12.B解析以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13B

19、D1,A1DEF=ACEF=0,從而EFBD1,EFA1D,EFAC.故選B.13.A解析分別以AB,AC,AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖所示.由題意知P(,0,1),N12,12,0,則PN=12-,12,-1.易得平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1).則直線PN與平面ABC所成的角滿足sin=|cos|=1-122+54,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題.又因?yàn)?,2,當(dāng)最大時(shí),sin最大,所以當(dāng)=12時(shí),sin最大為255,同時(shí)直線PN與平面ABC所成的角取得最大值.故選A.14.C解析如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則B1(1,0,1

20、),設(shè)E(0,a,1-a),B1E=(-1,a,-a)(0a1),CC1=AA1=(0,0,1).直線B1E與CC1所成的角為銳角或直角,|cos|=CC1B1E|CC1|B1E|=-a2a2+1.令f(x)=x2x2+1=12+1x2(0 x1),所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,易知f(x)0,33,則直線B1E與CC1所成的角的余弦值的范圍為0,33,其中120,33,130,33,240,33,330,33.15.解過(guò)點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E,則DE=1.以A為原點(diǎn),AE,AB,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),E

21、(22,0,0),D(22,-1,0),C(22,1,0),P(0,0,1).N為PD的中點(diǎn),N2,-12,12.(1)證明:AN=2,-12,12,BP=(0,-1,1),BC=(22,0,0).設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則mBP=-y+z=0,mBC=22x=0,可取m=(0,1,1),ANm=-12+12=0,即ANm,又AN平面PBC,AN平面PBC.(2)AP=(0,0,1),AD=(22,-1,0),設(shè)平面PAD的法向量為n=(a,b,c),則nAP=c=0,nAD=22a-b=0,可取n=(1,22,0).cos=mn|m|n|=2223=23.故平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為23.(3)假設(shè)在線段PD上存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為2626.令DM=DP,0,1,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(22-22,-1,).CM=(-22,-2,).由(1)知,平面PBC的一個(gè)法向量為m=(0,1,1),直線CM與平面PBC所成角的正弦值為2626,2626=CMm|CM|m|=|