電子測量技術(shù)課件：第2章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、2章測量誤差及數(shù)據(jù)處理 2.1 測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征2.2 測量誤差的估計和處理 2.3 測量不確定度 2.4 測量數(shù)據(jù)處理 2.1 測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征2.1.1 測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義: 在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩

2、擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。2.1.1 測量誤差的分類（續(xù)）例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律， 但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律。可通過數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術(shù)平均值隨機誤差定義：測量結(jié)果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差 2.1.1 測量誤差的分類（續(xù)）2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。

3、例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因:儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即2.1.1 測量誤差的分類（續(xù)）3.粗大誤差： 粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：測量操作疏忽和失誤 如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。測量方法不當或錯誤 如用普通萬用表電壓檔直接測高

4、內(nèi)阻電源的開路電壓測量環(huán)境條件的突然變化 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應剔除掉。 2.1.1 測量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達式在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化 2.1.2 測量結(jié)果的表征準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素

5、使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示準確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖 準確度： 高 低 高精密度： 低 高 高2.1.2 測量結(jié)果的表征（續(xù)）測量值 是粗大誤差2.2 測量誤差的估計和處理2.2.1 隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量

6、結(jié)果的影響。2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機變量的數(shù)字特征 數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：X為連續(xù)型隨機變量： 1. 隨機誤差的分布規(guī)律2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） 方差和標準偏差 方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。 設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)，則X的方差定義為：D(X)= E(XE(X)2 標準偏差定義為： 標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)

7、被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：隨機誤差的數(shù)學期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學期望E(X) ，方差D(X)2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布時概率密度曲線 隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：對稱性 單峰性 有界性 抵償性 2.2.1隨機誤差的

8、統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。 概率密度:均值: 當 時,標準偏差: 當 時，2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） 2. 有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值 求被測量

9、的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當 則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2,n) 次數(shù)都計為1 ,當 時，則（1）有限次測量的數(shù)學期望的估計值算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學期望，就是當測量次數(shù) 時，各次測量值的算術(shù)平均值 2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。即： 算術(shù)平均值是數(shù)學期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？ 2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （2）算術(shù)平均值的標準偏差 故：算術(shù)平

10、均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小 倍。原因是隨機誤差的抵償性 。 *算術(shù)平均值：2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值殘差（剩余誤差）：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標準偏差的估計值 ：2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） 【例3.1】 用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：平均值 用公式 計算各測量值殘差列于上表中實驗偏差 標準偏差2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)3. 測量結(jié)果的置信問題置信概率：描述誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度的量

11、。置信區(qū)間：對應置信度的極限誤差范圍，用標準差的倍數(shù)K表示（K為正系數(shù)，稱為置信系數(shù)）。2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)3. 測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間： 置信區(qū)間 內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。 置信限： k置信系數(shù)（或置信因子） 置信概率是圖中陰影部分面積2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （2）正態(tài)分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定 正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大在置信區(qū)間M(x)- , M(x)+內(nèi)置信度P|i|=0.6826在置信區(qū)間M(x)-2 , M(x)+2

12、內(nèi)置信度P|i|2=0.954在置信區(qū)間M(x)-3 , M(x)+3內(nèi)置信度P|i|3=0.9973 稱為極限誤差或最大誤差當測量次數(shù)較多時，用 和 代替M(x)和M(x)-3M(x)+3M(x)-2M(x)+2M(x)-M(x)+2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （3） 有限次測量時的置信問題有限次測量時，只能根據(jù)貝塞爾公式求出來的標準差 估計值來考慮當測量值服從正態(tài)分布時， 服從t分布t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當n20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。 給定置信概

13、率P和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。 自由度：v=n-12.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)） （4）非正態(tài)分布的置信因子由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限 ，即誤差的置信區(qū)間為 置信概率為100。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布 有 故:2.2.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 1. 系統(tǒng)誤差的特征：不易發(fā)現(xiàn)，也不具有抵償性，因而分析、估計和修正系統(tǒng)誤差很重要。 多次測量求平均不能減少系差。 2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 2. 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法 （1）不

14、變的系統(tǒng)誤差： 校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差殘差（剩余誤差）觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。 存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）馬利科夫判據(jù)：判斷是否存在線性系統(tǒng)誤差1）求出殘差；2）將殘差分為前后兩部分求和，再求其差值D當n為偶數(shù)時， 當n為奇數(shù)時， 當DVimax，則認為存在線性系統(tǒng)誤差 2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）阿貝赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。 1）求殘差； 2）將殘差倆倆相乘，然后取和的絕對值； 3）求出標準差的估計值

15、4）如果 則認為存在周期性系統(tǒng)誤差2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 3. 系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法 （1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。 注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。 盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應提高測量人員業(yè)務技術(shù)水平和工作責任心，改進設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差修正值誤差=（測量值真值） 實際值測量值修正值2.2.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）（3）采用一些專門的測量方法 零示法 替代法 微差法 系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是：系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤

16、差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。2.2.3 粗大（疏失）誤差及其判斷準則 粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。1. 粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法 粗大誤差的產(chǎn)生原因 測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄； 客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 2. 粗大誤差的判別準則統(tǒng)計學的方法的基本思想：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗

17、大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法 格拉布斯檢驗法 s：實驗標準偏差；G為格拉布斯系數(shù)，按重復測量次數(shù)n及置信概率Pc確定 2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 應注意的問題所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應逐個剔除。在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。2.2.3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 解： 計算得 s=0.033計算殘差填入表37， 最大， 是可疑數(shù)據(jù)。 用萊特檢驗法 3 s=30.033=0.099

18、故可判斷 是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計算得： s= 0.016 3s= 0.048各測量值的殘差V填入表37，殘差均小于3 s故14個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】 對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結(jié)果列于表37，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。2.2.4 測量結(jié)果的處理步驟 對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；求出算術(shù)平均值列出殘差 ，并驗證按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值按萊特準則 ，或格拉布斯準則 檢查和剔除粗大誤差；判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；計算算術(shù)平均值的標準偏差 ；寫出最后結(jié)果的表達式，即 （單位）。2.2.4

19、 測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例34】 對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達式。2.2.4 測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.2.4 測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.2.4 測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）等精度測量與不等精度測量 等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標準偏差的平方成反比 。權(quán)值 測量結(jié)果為加權(quán)平均值 2.2.4 測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.

20、2.5 誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.2.5 誤差的合成分析（續(xù)）2.2.5 誤差的合成分析（續(xù)）在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定. 2.3 測量不確定度 2.3.1 不確定度的概念由于測量誤差的存在而對測得值不能肯定的程度。

21、表示被測量的分散程度； 1.術(shù)語（1）標準不確定度： 用概率分布的標準偏差表示的不確定度 A類標準不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。 B類標準不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度 2.3.1 不確定度的概念（續(xù)） （2）合成標準不確定度*由各不確定度分量合成的標準不確定度。*因為測量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。 （3）擴展不確定度*合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區(qū)間半寬度。 *包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。 *通常測量結(jié)果的不確定度都用擴展不確定度表示 2.3.1 不確定度的概念（續(xù)） 2.不確定度的分類 2.3.1 不確定度的

22、概念（續(xù)） 3. 不確定度的來源被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術(shù)水平等影響。計量標準和標準物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。2.3.2 誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被

23、測量和影響量及測量過程的認識有關(guān)。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應關(guān)系。須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度2.4 測量數(shù)據(jù)處理2.4.1 有效數(shù)字的處理1. 數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時

24、，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1） 小于5舍去末位不變。（2） 大于5進1在末位增1。（3） 等于5時，取偶數(shù)當末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150123.12需要注意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯誤做法是： 0.694990.69500.6950.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶

25、數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負誤差的概率近似相等。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2. 有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142四位有效數(shù)字，極限誤差0.00058.700四位有效數(shù)字，極限誤差0.0005 8.7103二位有效數(shù)字，極限誤差0.05103 0.0807三位有效數(shù)字，極限誤差0.005 2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。 測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較小），而有效數(shù)字又比

26、較少的測量數(shù)據(jù)，應采用科學計數(shù)法，即a10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u0.4，測量結(jié)果表示為63.40.4。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運算法則保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準確度最差的那一項。（1）加法運算以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準），其余各數(shù)可多取一位。例如：（2）減法運算：當兩數(shù)相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩

27、數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。 2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準，其余參與運算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如： 也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。 例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2772.8(115)21.3221042.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1. 列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗

28、公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.12.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2 .圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等3. 經(jīng)驗公式法經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學表達式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學模型。類型有些一元非線性回歸可采用

29、變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。2.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)1111方次1111y=a+bx 2.4.3 建立經(jīng)驗公式的步驟 已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi i=1,2,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即測量值作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。2.4.3 建立經(jīng)驗公式的步驟 （續(xù)）( 4 ) 檢驗所確定的方程的準確性。用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y 計算擬合殘差 計算擬合曲線的標準偏差 式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標準偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應建立另外形式公式重做。 2章 總 結(jié)1 隨機誤差隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，無法避免和控制，不能消除隨機誤差。但應采用數(shù)