高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)背景應(yīng)用題公開(kāi)課教案

1、高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案【課題】【教學(xué)目標(biāo)】三角函數(shù)應(yīng)用題的探究.經(jīng)歷圓周運(yùn)動(dòng)等模型的建模過(guò)程，感受數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；.通過(guò)對(duì)三角函數(shù)為背景的應(yīng)用題的探究，學(xué)會(huì)選取合適的變量進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，促進(jìn)分 析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的發(fā)展；.通過(guò)對(duì)兩類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的探究，提升思維品質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué) 學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：三角函數(shù)為背景的應(yīng)用題的研究思路；難點(diǎn)：三角函數(shù)為背景的應(yīng)用題的研究方法與技巧【教學(xué)過(guò)程】 一、引入設(shè)摩天輪的半徑為 R ,起始時(shí)0Po與Ox的夾角 BOP0 (圖中的 取負(fù)值).OP0 繞0按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩傩D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)， 其角速度為 (弧度/分).經(jīng)

2、過(guò)t分鐘后，0Po達(dá)到0P , 此時(shí) POP0 t ,而 BOP t , P的縱坐標(biāo)為y ,于是有y Rsin( t ).這一函數(shù)關(guān)系反映了點(diǎn) P縱向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.二、典型例題分析例1.如圖，摩天輪的半徑為 40m,摩天輪的圓心 O點(diǎn) 距地面的高度為50m,摩天輪逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn) P的起始位置在最低點(diǎn)處.已知 在時(shí)刻t (min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為f(t) Asin( t ) h(-),試確定A、h,并求出2019min時(shí)點(diǎn)P距離 地面的高度.設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷從建模到解模的過(guò)程，認(rèn)識(shí)該函數(shù)模型2一.所以2解：依題意A 40,h 50,T 3,則 ，且f (0

3、) 10 ,故32f(t) 40sin( -t -) 50(t 0).-2則 f(2019) 40sin(一 2019) 50 10.32跟進(jìn)練習(xí)：右圖表示一半徑為10米的水輪.水輪的圓心離水面 5米.高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案已知水輪逆時(shí)針做勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)4圈.設(shè)水輪上的點(diǎn)P到水面距離d (米)，時(shí)間為t (分鐘).(1)如果P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，寫(xiě)出 P點(diǎn)位于水面上方時(shí)，d(t)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(2) P點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？ TOC o 1-5 h z 設(shè)計(jì)意圖：鞏固圓周運(yùn)動(dòng)的建模與解模，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系解：(1)由題意設(shè) d asin( t ) b,其中 一

4、 一，則 a 10, a b 15, HYPERLINK l bookmark90 o Current Document 221 .2則 b 5,又 T -min ,則 一 8 ,4T1因此 d(t) 10sin(8 t ) 5,又 d(0) 0 ,故 sin ,且 一 一，則 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 2226一、一 k 3k 2故 d(t) 10sin(8 t -) 5.又 d(t) 0,因此一t (k N). HYPERLINK l bookmark65 o Current Document 6412(2)設(shè)P點(diǎn)在時(shí)間t達(dá)到最高點(diǎn)

5、時(shí)，d(t) 10sin(8 t -) 5 15 ,解得 6* 3k 1ZIt (k N),121._當(dāng)k 0時(shí)，P點(diǎn)第一次達(dá)到最局點(diǎn)，此時(shí) t min ,因此P點(diǎn)第一次達(dá)到最局點(diǎn)需要12 1min時(shí)間. 12例2 .在幻燈機(jī)的正前面墻上掛一塊矩形屏幕，其上、下邊緣分別在經(jīng)過(guò)幻燈機(jī)頭的水平面的上方a米，b米(a b).問(wèn)幻燈機(jī)頭距墻面多遠(yuǎn)時(shí)對(duì)于屏幕的上下視角 (影響圖像清晰度的重要因素)最大？這個(gè)最大視角 是多少？設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷一般模型的建模過(guò)程，感受自變量的選取方法及解模過(guò)程中的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.解：如圖，設(shè)幺3燈機(jī)頭。距墻面距離OH x米，過(guò)H垂直于地面的直線與屏幕上下邊BOH ,則幻燈(0

6、b 口 .一，且 a b x20,則緣的交點(diǎn)依次是 A與B,則AH a米，BH b米.設(shè) AOH機(jī)頭對(duì)屏幕的上下視角為由于 tan a,tan xtan tan(tan tan1 tan tana bx x a b( a b abxc ab 2、 abx高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案ab 其中當(dāng)且僅當(dāng)x 即x 、；ab時(shí)，等號(hào)成立 x一a b人tan max （0 一） .2、ab2max,/ a barctan()2% ab答：幻燈機(jī)頭距墻面Jab米時(shí)對(duì)于屏幕的上下視角最大，最大視角為,/ a barctan( )2、ab解法2提不sin sin( ) sin cos(a b)xx4 (a2b2)x2a

7、2b2解法3提不cos sincos cos( ) cos cos2.x ab4 / 2 ,2. 22, 2x (a b )x a b解法4提示sin sin由于1 -OA OB sin2S AOB2ABsin(a b)x.(x2 a2)(x2 b2)又因?yàn)閒（ ） tan在（o）內(nèi)是增函數(shù)，則當(dāng)x JOB米時(shí), 2跟進(jìn)練習(xí):某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道Mi、M2 （寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知Mi與AB、AD分別相切于AB AC , AB AC AD 60 （單位：米），要求圓 點(diǎn)B、D,圓M2與AC、AD分別相切于點(diǎn)C、D.（1）若 BAD 60 ,求圓M1、M2的半徑（結(jié)果精確到0.1

8、米）；（2）若觀景步道M1與M 2的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元，如何設(shè)計(jì)圓 Mi、M2的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會(huì)一般模型中自變量選取的方法及解模過(guò)程中的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1解：(1)由題忌：BAD 60，因此 M1AD BAD 30 ,2高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案M1在 Rt DAM i中，DM i AD tan MiAD 60tan 3034.6 (米)；1.同理， DAC 30 ,因此 M2AD CAD 15 , 2在 Rt DAM 2 中，DM 2 AD tan M2AD 60tan1516.1 (米)(2)設(shè) DAM 1 BA

9、M 1CAM 2 ，其中 (0,),44在 Rt DAM1中，DM 1AD tan M1AD 60 tan在 Rt DAM 2 中，DM 2AD tan M2 AD 60tan(一4),設(shè)總造價(jià)為y千元，則y 0.8 212 8 tan 9 tan()124令 t 1 tan , t (1,2),60 tan 0.9 260 tan(-)428 tan tan 91 tan TOC o 1-5 h z 22c8(t 1)2 (t 1) 9仆8t2 17t 18 仆c1812-12 12(8t17)ttt12 (2,8 18 17) 84當(dāng)且僅當(dāng)8t18t3 , 一，一時(shí)，等號(hào)成立2，-1 一此

10、時(shí)tan ,則M1D 30, M 2D 20,此時(shí)最低總造價(jià)為263.9千兀,2三、課堂小結(jié)試題歸類(lèi):命題：源于課本解題：建模；解模；變式四、課后探究：.設(shè)摩天輪逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，24分鐘旋轉(zhuǎn)一周，輪上觀光箱所在圓的方程為JIx2 y2 1.已知時(shí)間t 0時(shí)，觀光箱A的坐標(biāo)為 J ），則當(dāng)0 t 24時(shí)（單位：分）, 2動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t的函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .某游樂(lè)園的摩天輪半徑為 40米，圓心。距地面的高度為43米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)， 每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，游客從摩天輪距地面最低處登上吊艙，若忽視吊艙的高度，小明在小強(qiáng)登上吊艙 4分鐘后登上吊艙，則小明登上吊艙t（

11、0 t 24）分鐘后,小強(qiáng)和小明距地面的高度差為高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案A.40cosjt -)B.40sin(t -) C.40cosjt -) D.40sin(t -)126126123123.某政府決定將一扇形(如圖)荒地改造成市民休閑中心，其中扇形內(nèi)接矩形區(qū)域?yàn)?市民健身活動(dòng)場(chǎng)所，其余區(qū)域(陰影部分)改造為景觀綠地(種植各種花草).已知該扇形OAB 的半徑為200m,圓心角 AOB 60，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M , N在OB上，點(diǎn)P在弧AB上, 設(shè) POB .(1)若矩形MNPQ為正方形，求tan的值；(2)為方便市民觀賞綠地景觀，從P點(diǎn)處向OA,OB修建兩條觀賞通道 PS和PT(寬度不計(jì))，使PS OA, PT OB,其中PT依PN而建，為讓市民有更多的時(shí)間 觀賞，希望PS PT最長(zhǎng)，試問(wèn)：此時(shí)點(diǎn) P應(yīng)在何處？說(shuō)明你的理由.如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段AB,AC和以BC為直徑的半圓弧組成,3km, BC 4km.現(xiàn)甲、乙兩其中AC為200m , AC BC , A ,若在半圓弧BC , 3線段AC ,線段AB上各建一個(gè)觀賞亭 D, E,F ,再修兩條棧道DE, DF ,使DE平行于AB , DF平行于AC ,記CBD (-).(1)試用 表示BD的長(zhǎng)；(2)試確定點(diǎn)E的位置，使兩條棧道長(zhǎng)度之和最大.如圖，A,B,C三地有直道相通， AB 5km, AC 警員同時(shí)從 A地