高中數(shù)學(xué)排列組合習(xí)題及解析

1、排列組合問題在實際應(yīng)用中是非常廣泛的，并且在實際中的解題方法也是比較復(fù)雜的，下 面就通過一些實例來總結(jié)實際應(yīng)用中的解題技巧。.排列的定義：從n個不同元素中，任取 m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個排列。.組合的定義：從n個不同元素中，任取 m個元素，并成一組，叫做從 n個不同元素中取 出m個元素的一個組合。.排列數(shù)公式：.組合數(shù)公式：5.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：與順序有關(guān)的為排列問題，與順序無關(guān)的為組合問題。例1學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。8個學(xué)生，4個老師，要求老師在學(xué)生 中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題

2、涉及到的是不相鄰問題，并且是對老師有特殊的要求，因此老師是特殊元素， 在解決時就要特殊對待。所涉及問題是排列問題。解 先排學(xué)生共有種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個空檔可插，選其中的4個空檔，共有種選法。根據(jù)乘法原理，共有的不同坐法為種。結(jié)論1插入法：對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題，可以用插入法。即先排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例2、5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？分析 此題涉及到的是排隊問題，對于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且 要求她們要相鄰，因此可以將她們看成是一個元

3、素來解決問題。解因為女生要排在一起，所以可以將3個女生看成是一個人，與 5個男生作全排列，有種排法，其中女生內(nèi)部也有種排法，根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法。結(jié)論2捆綁法：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題。即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作 排列。例3高二年級8個班，組織一個12個人的年級學(xué)生分會，每班要求至少1人，名額分配方案有多少種？分析此題若直接去考慮的話，就會比較復(fù)雜。但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題， 就會顯得比較清楚，方法簡單，結(jié)果容易理解。解 此題可以轉(zhuǎn)化為：將12個相同的白球分成 8份，有多少種不同的

4、分法問題，因此須把 這12個白球排成一排，在 11個空檔中放上7個相同的黑球，每個空檔最多放一個，即可將白 球分成8份，顯然有種不同的放法，所以名額分配方案有種。結(jié)論3轉(zhuǎn)化法：對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。例4 袋中有5分硬幣23個，1角硬幣10個，如果從袋中取出 2元錢，有多少種取法？分析此題是一個組合問題，若是直接考慮取錢的問題的話，情況比較多，也顯得比較凌 亂，難以理出頭緒來。但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話，就會很容易解決問題。解把所有的硬幣全部取出來，將得到X 23+X10=元，所以比2元多元，所以剩下元即剩下3

5、個5分或1個5分與1個1角，所以共有種取法。結(jié)論4 剩余法：在組合問題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對應(yīng)的， 因此，當(dāng)求取法困難時，可轉(zhuǎn)化為求剩法。例5期中安排考試科目9門，語文要在數(shù)學(xué)之前考，有多少種不同的安排順序？分析 對于任何一個排列問題，就其中的兩個元素來講的話，他們的排列順序只有兩種情 況，并且在整個排列中，他們出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，因此要求其中的某一種情況，能夠得到全 體，那么問題就可以解決了。并且也避免了問題的復(fù)雜性。解 不加任何限制條件，整個排法有種，“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)安排在 語文之前考”的排法是相等的，所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種。結(jié)論5 對

6、等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對等的，各占全體的二分之一。在求解中只要求出全體，就可以得到所求。例6 我們班里有43位同學(xué)，從中任抽 5人，正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi) 的抽法有多少種？分析 此題若是直接去考慮的話，就要將問題分成好幾種情況，這樣解題的話，容易造成 各種情況遺漏或者重復(fù)的情況。而如果從此問題相反的方面去考慮的話，不但容易理解，而且 在計算中也是非常的簡便。這樣就可以簡化計算過程。解 43人中任抽5人的方法有種，正副班長，團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種，所以正副班長，團(tuán)支部書記至少有 1人在內(nèi)的抽法有種。結(jié)論6 排異法：有些問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的

7、反面往往比較簡捷，可以先 求出它的反面，再從整體中排除。練習(xí)1某人射擊8槍，命中4槍，那么命中的4槍中恰有3槍是連中的情形有幾種 ？練習(xí)2 一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種？練習(xí)3馬路上有編號為1, 2, 3,10的十只路燈，為節(jié)約電而不影響照明，可以把其 中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉馬路兩端的燈，問滿足條 件的關(guān)燈方法有多少種 ？練習(xí)4A、B、C、D E五人站成一排，如果 B必須站在A的右邊，那么不同的站法有多少 種？練習(xí)5某電路有5個串聯(lián)的電子元件，求發(fā)生故障的不同情形數(shù)目？小結(jié)：解決排列組合應(yīng)用題的一些解題技巧，具體有插入法，捆

8、綁法，轉(zhuǎn)化法，剩余法，對等法,排異法；對于不同的題目，根據(jù)它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來解決問題。對于一些比較復(fù)雜的問題，我們可以將幾種技巧結(jié)合起來應(yīng)用，便于我們迅速準(zhǔn)確地解題。在這些技巧 中所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法，例如：分類討論思想，變換思想，特殊化思想等等，要在應(yīng)用中 汪思掌握。典例精析 題型一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用例1在1到20這20個整數(shù)中，任取兩個數(shù)相加，使其和大于20,共有 種取法.【解析】當(dāng)一個加數(shù)是1時，另一個加數(shù)只能是 20,有1種取法；當(dāng)一個加數(shù)是2時，另一個加數(shù)可以是 19,20 ,有2種取法；當(dāng)一個加數(shù)是3時，另一個加數(shù)可以是 18,19,20 ,有3種取法；當(dāng)

9、一個加數(shù)是10時，另一個加數(shù)可以是11,12 , , 19,20 ,有10種取法；當(dāng)一個加數(shù)是11時，另一個加數(shù)可以是12,13 , , 19,20 ,有9種取法;當(dāng)一個加數(shù)是19時，另一個加數(shù)只能是 20,有1種取法.由分類加法計數(shù)原理可得共有1+2+3+-+10+9+8+-+1=100種取法.【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數(shù)，再利用“和大于 20”確定另一個加數(shù).【變式訓(xùn)練11 （2010濟(jì)南市模擬）從集合1,2,3 , , 10中任意選出三個不同的數(shù)，使 這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為（）【解析】當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8;當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可

10、為1,3,9;當(dāng)公比為32時，等比數(shù)列可為 4,6,9.同理，公比為12、13、23時，也有4個.故選D.題型二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用例2從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每個旅 游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且 6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則 不同的選擇方案共有種.【解析】能去張家界的有 4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計數(shù)原理得不同的選擇方案有4X5X4X 3=240種.【點撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能 完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏【變式訓(xùn)練2】

11、（2010湘潭市調(diào)研）要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人, 每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成 .第一天有5人可選有5種方法，第二天不 能用第一天的人有 4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有 5X4X4X4X4=1 280 種方法.題型三分類和分步計數(shù)原理綜合應(yīng)用例3 （2011長郡中學(xué)）如圖，用4種不同的顏色對圖中 5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用）， 要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有.【解析】方法一：由題意知，有且僅

12、有兩個區(qū)域涂相同的顏色，分為 4類：1與5同;2與 5同;3與5同;1與3同.對于每一類有 A44種涂法，共有4A44=96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域 1 ,有4種方法；第二步：涂區(qū)域2,有3種方法；第三步：涂區(qū) 域4,有2種方法（此前三步已經(jīng)用去三種顏色 ）；第四步：涂區(qū)域3,分兩類：第一類，3與1 同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有 3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有 4X3X2X（1 X1 + 1X 3）=96 種.【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題.本題能運用兩個基本原理求解，要注意的

13、是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓(xùn)練3 （2009深圳市調(diào)研）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為 1,2, , 9的9 個小正方形，使得任意相鄰 （有公共邊）小正方形所涂顏色都不相同，且 1,5,9號小正方形涂相 同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法；第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6 種涂法；第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有 6種涂法.由分步乘法原理知共有 3X6X6=108種涂法.總結(jié)提高分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種

14、數(shù) 的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任 何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事；分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個步 驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這 兩個基本計數(shù)原理的基礎(chǔ).排列與組合典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計算【例 1】 計算：(1)8!+A66A28- A410; C33+C34+ - +C310.【解析】(1)原式=8X7X6X5X4X3X2X1+6X5X4X3X2X 18X7-10X9X8X

15、7=57X6X5X4X3X256X( -89)=-5 130623.(2)原式=C44+C34+C35+ +C310=C45+C35+ +C310=C46+C36+ +C310=0411 =330.【點撥】在使用排列數(shù)公式 Amn=n!(n-m)!進(jìn)行計算時，要注意公式成立的條件：成n C N+, mem另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運用.【變式訓(xùn)練1解不等式6 .【解析】原不等式即 9!(9- x)!6 X9!(11 -x)!,也就是1(9-x)!,化簡得 x2-21x+1040 ,解得x13,又因為2WxW9,且xCN*,所以原不等式的解集為2,345,6,7.題型二有限制條件的排列問題【

16、例2 3男3女共6個同學(xué)排成一行. TOC o 1-5 h z (1)女生都排在一起，有多少種排法？(2)女生與男生相間，有多少種排法？(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？(4)3名男生不排在一起，有多少種排法 ？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是 4個元素的全排列，有 A44種排法.又3名女生內(nèi) 部可有A33種排法，所以共有 A44?A33=144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33?A33=72種排法.(3)女生先排，女生之間及

17、首尾共有4個空隙，任取其中 3個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A33?A34=144種.(4)直接分類較復(fù)雜，可用間接法 .即從6個人的排列總數(shù)中，減去 3名男生排在一起的排 法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66-A33A44=576種.(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間，有 A23種排法.又甲、乙之間還有 A22種排法.這 樣就有A23?A22種排法.然后把他們4人看成一個元素(相當(dāng)于一個男生)，這一元素及另1名男 生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22=24種.【點撥】排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”

18、問題，有限制條件的排列問題的限制主 要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰” .對于這類問題，在分析時，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2把123,4,5 這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大 的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列.(1)43 251是這個數(shù)列的第幾項？(2)這個數(shù)列的第97項是多少？【解析】(1)不大于43 251的五位數(shù) A55-(A44+A33+A22)=88個，即為此數(shù)列的第 88項.(2

19、)此數(shù)列共有120項，而以5開頭的五位數(shù)恰好有 A44=24個，所以以5開頭的五位數(shù)中 最小的一個就是該數(shù)列的第97項，即51 234.題型三 有限制條件的組合問題【例3】 要從12人中選出5人去參加一項活動. TOC o 1-5 h z (1)A , B, C三人必須入選有多少種不同選法？(2)A , B, C三人都不能入選有多少種不同選法？(3)A , B, C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4)A , B, C三人至少一人入選有多少種不同選法？(5)A , B, C三人至多二人入選有多少種不同選法？【解析】(1)只須從A, B, C之外的9人中選擇2人，C29=36種不同選法.(2)

20、由A, B, C三人都不能入選只須從余下 9人中選擇5人,即有C59=C49=126種選法.(3)可分兩步，先從 A, B, C三人中選出1人，有C13種選法，再從余下的 9人中選4人， 有C49種選 法，所以共有 C13?C49=378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A, B, C三人都不入選的情況 C59,共有 C512-C59=666 種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A, B, C三人都入選的情況 C29 種，所以共有 C512-C29=756種選法.【點撥】遇到至多、至少的有關(guān)計數(shù)問題，可以用間接法求解.對于有限制條件

21、的問題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3四面體的頂點和各棱中點共有10個點.(1)在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？(2)在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個點共面的取法可分三類.第一類：在同一個面上取，共有4c46種；第二類: 在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有 6種；第三類：在六條棱的六個中點中取， 取兩對對棱的4個中點，共有 C23=3種.故有69種.(2)用間接法.共0410-69=141種.總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1)正確選擇原理，確定分類或分步計數(shù)；(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3)再考慮其余元素或其

22、余位置.二項式定理典例精析題型一二項展開式的通項公式及應(yīng)用【例11已知 的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列(1)求證：展開式中沒有常數(shù)項 ；(2)求展開式中所有的有理項.【解析】由題意得 2cl n? =1+C2n?( )2 ,IP n2-9n+8=0 ,所以 n=8, n=1(舍去).所以 Tr+1=?()?=(-)r?=(-1)r?(0 r8, r Z).(1)若 Tr+1 是常數(shù)項，則 16-3r4=0 ,即 16-3r=0 ,因為r e Z,這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項.(2)若Tr+1是有理項，當(dāng)且僅當(dāng) 16-3r4為整數(shù)，又 0WrW8, r C Z,所以0,4,8

23、,即展開式中有三項有理項，分別是T1=x4, T5=358 x , T9=1256 x-2.【點撥】(1)把握住二項展開式的通項公式，是掌握二項式定理的關(guān)鍵.除通項公式外，還應(yīng)熟練掌握二項式的指數(shù)、項數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；(2)應(yīng)用通項公式求二項展開式的特定項，如求某一項，含 x某次哥的項，常數(shù)項，有理項，系數(shù)最大的項等，一般是應(yīng)用通項公式根據(jù)題意列方程，在求得n或后，再求所需的項(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系);(3)注意區(qū)分展開式“第r+1項的二項式系數(shù)”與“第 r+1項的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練11若(xx+)n的展開式的前3項系數(shù)和為129,則這個展開式中是否含有常 數(shù)項，一次

24、項？如果有，求出該項，如果沒有，請說明理由 .【解析】由題知 C0n+C1n?2+C2n?22=1?9所以n=8,所以通項為 Tr+1=Cr8(xx)8-r =,故 r=6 時，T7=26C28x=1 792x ,所以不存在常數(shù)項，而存在一次項，為 1 792x.題型二運用賦值法求值例 2 (1)已知(1+x)+(1+x)2+ +(1 +x)n=aO+a1 x+a2x2+ +anxn,且 a1+a2+ +2門-1=29-n，貝U n= ;(2)已知(1-x)n=a0+a1x+a2 x2+anxn,若 5a1+2a2=0,則 a0-a1+a2- a3+(-1)nan=【解析】 易知an=1,令x

25、=0得a0=n,所以a0+a1+- +an=30.又令 x=1 ,有 2+22+- - +2n=a0+a1 + , - +an=30,即 2n+1-2=30 ,所以 n=4.(2)由二項式定理得，a1=-C1n=-n , a2=C2n=n(n-1)2 ,代入已知得-5n+n(n-1)=0 ,所以n=6,令 x=-1 得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6 ,即 a0-a1 +a2-a3+a4-a5+a6=64.【點撥】運用賦值法求值時應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng) 的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練 2】設(shè)(3x- 1)8=a0+a1x+a2x2+a7x7+a8x8.

26、求 a0+a2+a4+a6+a8 的值.【解析】令f(x)=(3x-1)8,因為 f(1)=a0+a1+a2+ -+a8=28,f(-1)=a0-a1 +a2- a3+- - -a7+a8=48 ,所以 a0+a2+a4+a6+a8=f(1 )+f(- 1)2=27 x (1 +28).題型三二項式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：4X6n+5 n+1-9能被20整除.【解析】4 x 6n+5n+1 -9=4(6n-1 )+5(5n-1 )=4(5+1 )n-1 +5(4+1)n-1 =20(5n-1 +C1 n5n-2+ - +Cn-1 n)+(4n-1+C1n4n- 2+ - +Cn-1n),是

27、 20 的倍數(shù)，所以 4X6n+5n+1-9 能被 20 整除.【點撥】用二項式定理證明整除問題時，首先需注意 (a+b)n中，a, b中有一個是除數(shù)的 倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī)律，余項是什么，必須清楚【變式訓(xùn)練3求的近似值，使誤差小于.【解析】=6=1+6X1+15X2+6 .因為 T3=C262=152= 06=;(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的編號.試求抽到6號或10號的概率.【解析】優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲 10 45 55乙 20 30 50總計 30 75 105(2)計算K2的一個觀

28、測值k=.因為 n+5 ,得n15或n1 , n N),從而有a+bc,即n2,所以 ABC的最小邊為2,要使 ABC是銳角三角形，只需 ABC的最大角C是銳角，cos C=(n-1 )2+n2-(n+1 )22(n-1 )n=n-42(n-1 )0,所以 n4,所以，要使 ABC是銳角三角形， ABC的最小邊為4.另一方面，從2,3,4 ,，9中， “任取三個連續(xù)正整數(shù)”共有 6種基本情況， ABC是銳角三角形”包含 4種情況，故所求 的概率為46=23.題型二 有放回抽樣與不放回抽樣【例2現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品.(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)

29、 3次取出的都是正品的概率；(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x , y, z)記錄結(jié)果，則x, y, z都有10種 可能，所以試驗結(jié)果有 10X10X10=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本 事件共有8X8X8=83種，因此， P(A)=.(2)方法一：可以看作不放回抽樣 3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x , y, z),則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為10X9X8=720 #.設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為 8X7X6=336, 所以P(

30、B)=336720.方法二：可以看作不放回 3次無順序抽樣，先按抽取順序 (x, y, z)記錄結(jié)果，則x有10 種可能，y 有 9 種可能，z 有 8 種可能，但(x , y, z) , (x , z, y) , (y , x, z) , (y , z, x),億， x, y),億，y, x)是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有 10X9X8+6=120.按同樣的方法，事件 B 包含的基本事件個數(shù)為 8X7X6-6=56,因此 P(B)=56120.【點撥】關(guān)于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是 無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否

31、則會導(dǎo)致錯誤.【變式訓(xùn)練2有5張卡片，上面分別寫有0/23,4 中的1個數(shù).求：(1)從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率；(2)從中任取兩次卡片，每次取一張，第一次取出卡片，記下數(shù)字后放回，再取第二次， 兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率.【解析】(1)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P=410=25;(2)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種，任取兩張卡片共有 25種，所以概率為P=525=15.題型三古典概型問題的綜合應(yīng)用【例3】 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白

32、球.從甲、乙兩袋中各任取2個球.(1)若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率；(2)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為 34,求n.【解析】(1)記“取到的4個球全是紅球”為事件 A,P(A)=C22C24?C22C25=W110=160.(2)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件 B, “取到的4個球只有1個紅球”為事件 B1, “取到的4個球全是白球”為事件B2.由題意，得 P(B)=1-34=14.P(B1)=C12C12c24?C2nC2n+2+C22c24?C12C1 nC2n+2=2n23(n+2)(n+),P(B2)=C22C24?C2nC2n+2=n(n-1 )6(n+2

33、)(n+1).所以 P(B)=P(B1)+P(B2)=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)=14,化簡得 7n2-11n-6=0 ,解得n=2或n=-37(舍去)，故n=2. TOC o 1-5 h z 【變式訓(xùn)練3甲、乙二人參加普法知識競賽，共有 10道不同的題目，其中選擇題6道,判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題.(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少？【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C16個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C14,故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為C16XC14=

34、24又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有 C11 OX C19=9Q所以概率為2490=415.(2)甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10X9=90.方法一：(分類計數(shù)原理)只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6 X 4=24;只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6X4=24;甲、乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是：6X5=30.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是24+24+3090=1315.方法二：(利用對立事件)事件“甲、乙二人至少有一個抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立 事件.事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個數(shù)是4X3=12.故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率

35、是1 -1290=1-215=1315.總結(jié)提高.對古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點：對于每個隨機(jī)試驗來說，所有可能出現(xiàn)的 試驗結(jié)果數(shù)n必須是有限個；出現(xiàn)的各個不同的試驗結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的.只有在同時滿足、的條件下，運用的古典概型計算公式P(A尸mn得出的結(jié)果才是正確的.使用公式P(A尸mn計算時，確定m n的數(shù)值是關(guān)鍵所在.對于n個互斥事件A1, A2, , An,其加法公式為 P(A1 +A2+ - +An)=P(A1 )+P(A2)+ -+P(An).分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想.在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個復(fù)雜事件分解為若干個互相排斥

36、或相互獨立、既不重 復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的 重要環(huán)節(jié).幾何概型典例精析題型一長度問題【例1】如圖，Z AOB=60 , OA=2 OB=5在線段 OB上任取一點 C,試求：AOa鈍角三角形的概率；AOa銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當(dāng) ADLOB時，OD=1;當(dāng) O屋 AE時，OE=4 BE=1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段OD或BE上時， AOE鈍角三角形.記“ A08鈍角三角形”為事件 M則P(M)=0D+EB0B=1 + 15R4 AOC為鈍角三角形的 概率為.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段DE上時， AOa銳角三角形

37、.記“ AO8銳角三角”為事件 N,則P(N)=DEOB=35=即4 AOC為銳角三角形的概率為.【點撥】我們把每一個事件理解為從某個特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被 取到的機(jī)會都一樣，而一個事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個指定的區(qū)域內(nèi)的點，這 樣的概率模型就可以用幾何概型求解 .【變式訓(xùn)練1】點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機(jī)取一點B,則劣弧AB的長度小于1的概率為【解析】如圖可設(shè)=1 ,則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3,則其概率是23.題型二面積問題【例2】 兩個CB對講機(jī)(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都 為卡爾

38、貨運公司工作，他們的對講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3: 00時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午 3: 00時正在基地正北距基地 40公里以 內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午 3: 00時他們能夠通過對講機(jī)交談的概率有多大 ？【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是 0WxW30,0WyW4S他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點對(x , y),這里x, y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為基本事件組對應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都 代表莉莉和霍伊的一個特定的位置，他們可以通過對講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25

39、公里時發(fā)生(如下圖)，因此構(gòu)成該事件的點由滿足不等式x2+y2W25的數(shù)對組成，此不等式等價于x2+y2W625,右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為 1 200平方公里，而事件的面積為(14) X兀X (25)2=625兀4,于是有 P=625X 兀 41 200=625 % 4 800 .【點撥】解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實驗為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出【變式訓(xùn)練2如圖，以正方形 ABCDW邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率【解析】飛鏢落在正方形

40、區(qū)域內(nèi)的機(jī)會是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A,設(shè)正方形邊長為 2r,則P( A)=S 花瓣 SABCD=12r2 X4 - (2r)2(2r)2= 兀-22.所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為Tt-22.題型三體積問題【例3在線段0,1上任意投三個點，設(shè) O至三點的三線段長為 x、y、z,研究方法表 明：x, y, z能構(gòu)成三角形只要點(x , y, z)落在棱長為1的正方體T的內(nèi)部由 ADQ ADB BDQ AAOQ AAO BOC所圍成的區(qū)域 G中(如圖)，則x, y, z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成 三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大？【解析】V(T)=1 , V(G)=13-

41、 3X13X12X13=12,所以 P=V(G)V(T)=12.由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大【點撥】因為任意投的三點x, y, z是隨機(jī)的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關(guān).【變式訓(xùn)練3】已知正方體 ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球 O,則在正方體 ABCB-A1B1C1D1 內(nèi)任取點M點M在球0內(nèi)的概率是()A. % 4 B. % 8 C. 7t 6 D. % 12【解析】設(shè)正方體的棱長為 a,則點M在球O內(nèi)的概率P=V球V正方體=43兀(a2)3a3=兀6, 選C.總結(jié)提高.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是

42、有限個.其特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大 小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個單點，其測度為0,則它出現(xiàn)的概率為 0,但它不是不可能事件.如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，其測度為1,則它出現(xiàn)的概率為1,但它不是必然事件.若試驗的全部結(jié)果是一個包含無限個點的區(qū)域(長度，面積，體積),一個基本事件是區(qū)域中的一個點.此時用點數(shù)度量事件 A包含的基本事件的多少就毫無意義.“等可能性”可以理 解成“對任意兩個區(qū)域，當(dāng)它們的測度(長度，面積，體積，)相等時，事件A對應(yīng)點落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關(guān)”.幾何概型并不限于向平面

43、 (或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機(jī)試驗有無限多個等 可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面 (或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結(jié)果 對應(yīng)于一個區(qū)域 Q,這時，與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決條件概率與事件的獨立性典例精析題型一條件概率的求法【例1】一張儲蓄卡的密碼共 6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從 。9中任選一個.某人在銀行自動 提款機(jī)上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.【解析】設(shè)第i次按對密碼為 事件Ai(i=1,2),則A=A1 U (A2)表示不超過2次就按

44、對密碼.(1)因為事件A1與事件A2互斥，由概率的加法公式得 P(A)=P(A1)+P( A2)=110+9 X110X9=15.(2)用B表示最后一位是偶數(shù)的事件，則P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)=15+4 X15X 4=25.【點撥】此類問題解題時應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運用相應(yīng)的公式求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動物從出生算起活到20歲以上的概率為，活到25歲以上的概率為.現(xiàn)有一只20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是【解析】設(shè)此種動物活到20歲為事件A,活到25歲為事件B,所求概率為P(B|A),由于B? A,則 P(AB)=P(

45、B),所以 P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.40.8=12.題型二相互獨立事件的概率【例2】三人獨立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為15, 14, 13,且他們是否破譯出密碼互不影響.(1)求恰有二人破譯出密碼的概率；(2) “密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件 A, B, C,依題意知A, B, C相互獨立，記事件D:恰有二人破譯密碼，則 P(D)=P(AB )+P(A C)+P( BC)=15X 14X(1 -13)+15X(1 - 14) X 13+(1 -15)X 14X 13=9

46、60=320.(2)記事件E:密碼被破譯，：密碼未被破譯，貝U P( )=P( )=(1-15) X(1 -14)X(1 -13)=2460=25 ,所以 P(E)=1-P( )=35 ,所以 P(E)P().故密碼被破譯的概率大.【點撥】解決事件的概率問題的一般步驟：記取事件；揭示事件的關(guān)系；計算事件的概率.【變式訓(xùn)練2甲、乙、丙三個口袋內(nèi)都分別裝有 6個只有顏色不相同的球，并且每個口 袋內(nèi)的6個球均有1個紅球，2個黑球，3個無色透明的球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中依次隨 機(jī)各摸出1個球，求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個的概率.【解析】由于各個袋中球的情況一樣，而且從每一個袋中摸出紅球、黑球

47、、無色球的概率 均分別為 16, 13, 12,可得 P=A330,故P1RP2,即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大【點撥】本題首先以相互獨立事件為背景，考查兩種方案的概率，然后比較概率的大小， 要求運用a, b, c 0,1這一隱含條件.【變式訓(xùn)練3】甲，乙，丙三人分別獨立地進(jìn)行某項體能測試，已知甲能通過測試的概率 是25,甲，乙，丙三人都能通過測試的概率是320,甲，乙，丙三人都不能通過測試的概率是 TOC o 1-5 h z 340,且乙通過的概率比丙大.(1)求乙，丙兩人各自通過測試的概率分別是多少？(2)測試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人通過的情況？【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通

48、過的概率分別為x, y,依題意得即或(舍去)，所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為34, 12.(2)因為三人都不能通過測試的概率為P0=340,三人都能通過測試的概率為P3=320=640,三人中恰有一人通過測試的概率：P1 =25X(1 -34) X(1 -12)+(1- 25) X 34X(1 -12)+(1- 25) X (1 -34) X 12=720=144Q三人恰有兩人通過測試的概率：P2=1-(P0+P1+P3)=1740 ,所以測試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)兩人通過的情況總結(jié)提高.互斥事件、對立事件、相互獨立事件的區(qū)別：對于事件A、B,在一次試驗中，A、B如果不能同時發(fā)生，則稱 A、B

49、互斥.一次試驗中， 如果A、B互斥且A、B中必有一個發(fā)生，則稱 A、B對立.顯然，A+為必然事件，A、B互斥則 不能同時發(fā)生，但可能同時不發(fā)生.兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件的發(fā)生 的概率沒有影響.事實上：A、B 互斥,則 P(AB)=0;A、B 對立,則 P(AB)=0 且 P(A)+P(B)=1;A、B 相互獨立，則 P(AB)=P(A)P(B).它們是不相同的.由于當(dāng)事件 A、B相互獨立時，P(AB)=P(A)P(B),因此式子1-P(A)P(B)表示相互獨立事 件A、B中至少有一個不發(fā)生的概率.對于n個隨機(jī)事件A1, A2,，An,有P(A1+A2+- +An)=1 -

50、P( n nn ),此稱為概率的和與積的互補(bǔ)公式離散型隨機(jī)變量及其分布列典例精析題型一離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布列為X0 1 2 34P求：(1)2X+ 1的分布列；(2)|X-1|的分布列.【解析】首先列表如下：X0 1 2 342X+1 1 3579|X-1110 12 3從而由上表得兩個分布列如下：2X+1的分布列：2X+1 1 3579|X-1|的分布列：|X-110123P【點撥】由于X的不同的值，Y=f(X)會取到相同的值，這時要考慮所有使f(X)=Y成立的X1, X2, , Xi 的值，則 P(Y)=P(f(X)=P(X1)+P(X2)+ +P(Xi

51、),在第 (2)小題中充分體現(xiàn)了這 -占 八、【變式訓(xùn)練11某地有A、B、C D四人先后感染了甲型 H1N1流感，其中只有A到過渡區(qū)，B肯定是受A感染的，對于 C,因為難以斷定他是受 A還是受B感染的，于是假定他受 A和受B 感染的概率都是12,同樣也假定 D受A、B、C感染的概率都為13,在這種假定之下，B、C、D 中受A感染的人數(shù)X就是一個隨機(jī)變量，寫出 X分布列，并求均值.【解析】依題知X可取1、2、3,P(X=1)=1X(1 -12) X(1 -13)=13 ,P(X=2)=1 X (1 -12)X13+1X12X(1 -13)=12 ,P(X=3)=1X 12X13=16,所以X的分

52、布列為X 1 2 3P均值 E(X)=1 X +2 X +3 X =.題型二兩點分布【例2在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗中，令 E =如果針尖向上的概率為p,試寫出隨機(jī)變量E的分布列.【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是1-p.于是，隨機(jī)變量的分布列是E 0 1P 1-p p【點撥】本題將兩點分布與概率分布列的性質(zhì)相結(jié)合，加深了兩點分布的概念的理解.【變式訓(xùn)練2】若離散型隨機(jī)變量衛(wèi)二的分布列為：E 0 1P 9c2-c 3-8c(1)求出c;E是否服從兩點分布？若是，成功概率是多少？【解析】(1)由(9c2-c)+(3-8c)=1,解得 c=13 或 23.又靠2-(0,3-8(0,所以 c=1

53、3.(2)是兩點分布.成功概率為3-8c=13.題型三超幾何分布【例3】 有10件產(chǎn)品，其中3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取 5件，求抽得次品數(shù) X的 分布列.【解析】X的所有可能取值為 0,123 , X=0表示取出的5件產(chǎn)品全是正品，P(X=0)=C03C57C510=21252=112;X=1表示取出的5件產(chǎn)品有1件次品4件正品，P(X=1)=C13C47C510=105252=512;X=2表示取出的5件產(chǎn)品有2件次品3件正品，P(X=2)=C23C37C510=105252=512;X=3表示取出的5件產(chǎn)品有3件次品2件正品，P(X=3)=C33C27C510=21252=112.所以

54、X的分布列為X0 1 2 3P【點撥】在取出的5件產(chǎn)品中，次品數(shù) X服從超幾何分布，只要代入公式就可求出相應(yīng)的 概率，關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有取值.超幾何分布是一個重要分布，要掌握它的特點【變式訓(xùn)練3】一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用， 用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù) X是一個隨機(jī)變量，其分布列為 P(X),則P(X=4)的值為 ( )【解析】由題意取出的 3個球必為2個舊球1個新球，故P(X=4)=C23cl9c312=27220.選 C.總結(jié)提高.求離散型隨機(jī)變量分布列的問題，需要綜合運用排列、組合、概率等知識和方法.求離散型隨機(jī)變量衛(wèi)的分布列的步驟：(

55、1)求出隨機(jī)變量 七的所有可能取值xi(i=1,2,3, );(2)求出各取值的概率 P(七=xi)=pi;(3)列出表格.獨立重復(fù)試驗與二項分布典例精析題型一 相互獨立事件同時發(fā)生的概率例1甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等 品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為14 ,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零 TOC o 1-5 h z 件不是一等品的概率為112,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為29.(1)分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率【解析】(1)設(shè)

56、A、日C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.由題設(shè)條件有即由解得P(C)=23 ,將P(C)=23分別代入可得 P(A)=13 , P(B)=14 ,即甲、乙、丙三 臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是13, 14, 23.(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，則 P(D)=1-P( )=1 -1 -P(A)1 -P(B)1 -P(C)=1 -23X 34X 13=56.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為56.【點撥】相互獨立事件是發(fā)生的概率互不影響的兩個或多個事件.兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率滿足 P(

57、AB)=P(A)P(B),對于求與“至少”、“至多”有關(guān)事件的概率，通常轉(zhuǎn)化為 求其對立事件的概率.【變式訓(xùn)練11甲、乙兩人各進(jìn)行 3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為12,乙每次擊中目標(biāo)的概率為23.(1)求乙至多擊中目標(biāo) 2次的概率；(2)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.【解析】 乙至多擊中目標(biāo) 2次的概率為1-033(23)3=1927.(2)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰擊中目標(biāo) 2次且乙恰擊中目標(biāo) 。次為事件B1,甲恰擊中目標(biāo) 3次且乙恰擊中目標(biāo) 1次為事件B2,則A=B1+B2 B1、B2為互斥事件.P(A)=P(B1)+P(B2)=38 X 127+18X29=124.所以

58、，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為124.題型二獨立重復(fù)試驗例2 (2010天津)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是23 ,且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊 5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊 5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外 2次未擊中目標(biāo)的概率.【解析】(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則XB(5, 23).在5次射擊中，恰有 2 次擊中目標(biāo)的概率 P(X=2)=C25X (23)2 X (1 -23)3=40243.(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件 Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在 5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為

59、事件 A,則P(A)=P(A1A2A3 )+P( A2A3A4 )+P( A3A4A5)=(23)3 X (13)2+13 X (23)3 X 13+(13)2 X (23)3=881.【點撥】獨立重復(fù)試驗是同一試驗的n次重復(fù)，每次試驗成功的概率都相同，恰有 k次試驗成功的概率為 Pn(k)=Cknpk(1 -p)n-k.【變式訓(xùn)練2袋子A中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是13.從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為 E ,求P( 2).【解析】(1)P=C24X(13)2 X (23

60、)2 X 13=881.(2)P(=2)=C25X (13)2 X(1 -13)3=80243 ,P( E =3)=C35X (13)3 X (1 -13)2=40243 ,貝U P( E 2)=P( E =2)+P( E =3)=4081.題型三二項分布【例3】一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率為13.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次遇到紅燈前經(jīng)過的路口數(shù)，求 Y的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率【解析】(1)依題意知XB(6, 13),P(X=k)