電磁場(chǎng)與電磁波-矢量分析

1、第一章 矢量(shling)分析本章主要(zhyo)介紹與電磁場(chǎng)理論有關(guān)的矢量分析方法及定理主要內(nèi)容：矢量分析基礎(chǔ)標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)梯度矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系亥姆霍茲定理共一百零二頁(yè)1.1 矢量分析(fnx)基礎(chǔ)標(biāo)量與矢量矢量的表示(biosh)與運(yùn)算法則標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線共一百零二頁(yè)1.1.1 標(biāo)量(bioling)與矢量標(biāo)量：只用大小就能夠完整描述的物理量稱標(biāo)量。例：溫度、質(zhì)量(zhling)、電量。矢量：既有大小、又有方向的物理量。 例：力、速度、力矩、磁場(chǎng)強(qiáng)度、加速 度等。共一百零二頁(yè)1.1.2 標(biāo)量和矢量的表示(biosh)（

2、約定）標(biāo)量用白體表示 例如： S 、 V矢量用黑體表示 例如： F 、 V矢量的大小(dxio)用相應(yīng)的白體表示 例如:用A表示A的大小則稱 A 為 A 的模值記為： A =|A| 或 A = |A|eA=AeAeA為單位矢量，表征矢量的方向。共一百零二頁(yè)矢量的圖形表示：線段的長(zhǎng)度代表(dibio)矢量的大小、線段的方向代表(dibio)矢量的方向。矢量大小矢量的方向A矢量的手寫表示(biosh)：常用字符上加一個(gè)箭頭表示(biosh)。A共一百零二頁(yè)一個(gè)大小為零的矢量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）。 一個(gè)大小為1的矢量稱為單位(dnwi)矢量（Unit V

3、ector），常用小寫字母e表示。 在直角坐標(biāo)系中， 用單位矢量ex、 ey、 ez表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。 共一百零二頁(yè)1.1.3 矢量的運(yùn)算(yn sun)法制矢量的加法(jif)運(yùn)算矢量的減法運(yùn)算共一百零二頁(yè)兩個(gè)(lin )矢量的乘積兩個(gè)矢量(shling)的乘積有兩個(gè)定義：點(diǎn)積叉積運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果標(biāo)量矢量運(yùn)算結(jié)果標(biāo)積矢積共一百零二頁(yè)兩個(gè)(lin )矢量的點(diǎn)積：寫成其值為： 點(diǎn)積的性質(zhì)(xngzh)：交換律分配律按乘數(shù)比例共一百零二頁(yè)兩個(gè)(lin )矢量的叉積：寫成其值為：共一百零二頁(yè)叉積的性質(zhì)(xngzh)：不服從(fcng)交換律但服從分配按乘數(shù)比例共一百零二頁(yè)例A1

4、-1 若是否(sh fu)意味著總是(zn sh)等于呢？解：因?yàn)榭蓪懗捎谑堑贸鋈缦陆Y(jié)論：(a)都滿足或或(b)(c)共一百零二頁(yè)1.1.4 標(biāo)量(bioling)場(chǎng)與矢量場(chǎng)常矢矢量的大?。＃┖头较蚨疾话l(fā)生變化（保持不變）例如：無(wú)限大極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度； 地面(dmin)某點(diǎn)的物體所受的重力變矢矢量的大?。＃┖头较蚧騼烧咧粫?huì)發(fā)生變化的矢量例如：環(huán)繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星的速度 圓形軌道：速度大小不變，速度方向變 橢圓軌道：速度的大小和方向都在變共一百零二頁(yè)標(biāo)量函數(shù)：當(dāng)某個(gè)量(比如溫度 T )隨著(su zhe)另一個(gè)量(比如時(shí)間 t )而變，我們就說(shuō)T是t的函數(shù)，這是標(biāo)量函數(shù)表示為： T

5、= T( t )對(duì)于矢量也存在(cnzi)相應(yīng)的函數(shù)，稱為矢性函數(shù)例如：衛(wèi)星的速度是時(shí)間 t 的矢性函數(shù)共一百零二頁(yè)場(chǎng)的定義(dngy)： 如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。若該物理量為標(biāo)量，則稱標(biāo)量場(chǎng), 可用標(biāo)量函數(shù)表示f(x,y,z)；若該物理量為矢量，則稱矢量場(chǎng), 可用矢性函數(shù)表示F(x,y,z)；若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)； 若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。 F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)共一百零二頁(yè)笛卡爾坐標(biāo)系我們的標(biāo)量(bioling)函數(shù)（標(biāo)量場(chǎng)）通常用笛卡爾坐標(biāo)系表示，

6、我們的矢性函數(shù)也可以用笛卡爾坐標(biāo)系來(lái)表示根據(jù)矢量的運(yùn)算規(guī)則，多個(gè)矢量可以進(jìn)行矢量相加，反過(guò)來(lái)，一個(gè)矢量以可以分解為多個(gè)矢量的和共一百零二頁(yè) 空間的一點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定， 如圖所示。 從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量(shling) r 稱為位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐標(biāo)系中分解成3個(gè)分量之和 式中， X、 Y、 Z是位置矢量 r 在x、 y、 z 軸上的投影(tuyng)。 代表x、y、z方向上模為1的單位矢量共一百零二頁(yè) 這樣一來(lái)，任何一個(gè)(y )矢性函數(shù)都可以用3個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示：用這種方式表示矢量(shling)，使得對(duì)矢性

7、函數(shù)的各種運(yùn)算就轉(zhuǎn)變?yōu)榉謩e對(duì)3個(gè)標(biāo)量函數(shù)的運(yùn)算。共一百零二頁(yè)例如(lr)：這樣(zhyng)只要分別求標(biāo)量函數(shù)的極限即可。共一百零二頁(yè)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：共一百零二頁(yè)任意(rny)兩矢量的標(biāo)量積， 用矢量的三個(gè)分量表示為任意兩矢量(shling)的矢量(shling)積， 用矢量(shling)的三個(gè)分量表示為共一百零二頁(yè)1.1.5 標(biāo)量(bioling)場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線標(biāo)量場(chǎng)的等值面 一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。 在直角坐標(biāo)系中， 可將表示為 = (x, y, z) 由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成(guchng)的面（線），稱為等值面

8、（線），其方程為： (x, y, z)=const隨著const的取值不同， 得到一系列不同的等值面。 對(duì)于由二維函數(shù)v=v(x, y)所給定的平面標(biāo)量場(chǎng)， 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值線。 共一百零二頁(yè)例：r =(x2+y2+z2)1/2 所代表的為一球面，當(dāng)r分別取不同(b tn)的值a、b時(shí)，得到不同的等值面方程： (x2+y2+z2)1/2 =a (x2+y2+z2)1/2 =b 分別代表半徑為a、b的球面。若想求通過(guò)(tnggu)M（1，0，1）的球面，可先將M代入r =(x2+y2+z2)1/2 求出球面半徑r： r =(12+02+12)1/2 =2 1/2 則通

9、過(guò)M（1，0，1）的球面方程為：x2+y2+z2 =2共一百零二頁(yè)其方程為:（1）標(biāo)量(bioling)場(chǎng)-等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具場(chǎng)線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？h(x, y,z)=const共一百零二頁(yè)密稀共一百零二頁(yè)（2）矢量(shling)場(chǎng)的矢量(shling)線所謂(suwi)矢量線(ector Line)， 是這樣一些曲線： 在曲線上的每一點(diǎn)處， 場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。 例：電力線、磁力線、流速場(chǎng)中的流線等。 圖 1-1 矢量場(chǎng)的矢量線 共一百零二頁(yè)一根長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)線用鐵粉的圖形(txng)描繪。 共一百零二頁(yè)矢量線方程的表達(dá)式： 設(shè)P為矢量

10、線上任一點(diǎn)， 其矢徑為r， 則根據(jù)矢量線的定義， 必有 （1-1a） 在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中， 矢徑r的表達(dá)式為 （1-1b） 將其代入式（1-1a）即得矢量場(chǎng)的矢量線滿足的微分方程為（1-1）共一百零二頁(yè) 例1-1 求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2-z通過(guò)(tnggu)點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為 或 共一百零二頁(yè)例1-2 求矢量(shling)場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 從而(cng r)有 解之即

11、得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 共一百零二頁(yè)1.2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)(do sh)和梯度1.2.1 標(biāo)量場(chǎng)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù) 圖 1-2 方向?qū)?shù)的定義 方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中，某點(diǎn)處場(chǎng)值沿各個(gè)方向變化的規(guī)律。方向?qū)?shù)的定義：共一百零二頁(yè) 設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)=(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l, 在l上M0的鄰近取一點(diǎn)M，MM0=，如圖所示。若當(dāng)M趨于M0時(shí)(即趨于零時(shí))， 的極限存在，則稱此極限為函數(shù)(M)在點(diǎn)M0處沿l方向(fngxing)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)，記為 共一百零二頁(yè) 若函數(shù)=(x, y, z)在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)處可微，co

12、s、cos、cos為l方向的方向余弦，則函數(shù)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定(bdng)存在，且為 證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)(zubio)為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函數(shù)在M0處可微，故 共一百零二頁(yè)兩邊(lingbin)除以，可得 當(dāng)趨于零時(shí)(ln sh)對(duì)上式取極限，可得 記??！共一百零二頁(yè)方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)的物理意義：標(biāo)量(bioling)場(chǎng)在M0處沿l方向的增加率。：標(biāo)量場(chǎng)在M0處沿l方向的減小率。：標(biāo)量場(chǎng)在M0處沿l方向?yàn)榈戎得娣较颍o(wú)改變）。共一百零二頁(yè) 例1-3 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿方向 的方向?qū)?shù)(do sh)。 解：l方向的方向余弦為 共一

13、百零二頁(yè)而 在點(diǎn)M處沿l方向(fngxing)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù) 點(diǎn)M(1, 1, 2)數(shù)量場(chǎng)在 方向的方向?qū)?shù)為 共一百零二頁(yè)1.2.2 標(biāo)量(bioling)場(chǎng)的梯度 在直角坐標(biāo)系中，令 則沿 方向(fngxing)的單位矢量為： 標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)在 方向上的方向?qū)?shù)為 共一百零二頁(yè)其中(qzhng)：共一百零二頁(yè) 由（1-4）知，當(dāng) 與 的方向一致(yzh)時(shí)，即 時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為 梯度(t d)的意義：1、標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)。2、標(biāo)量場(chǎng)的梯度的幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率。3、標(biāo)量場(chǎng)的梯

14、度方向垂直于等值面，為標(biāo)量場(chǎng)增加最快的方向。4、標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在此方向上的投影。共一百零二頁(yè) 設(shè)c為一常數(shù)(chngsh)，u(M)和v(M)為標(biāo)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。 共一百零二頁(yè)梯度的重要(zhngyo)性質(zhì)證明(zhngmng)：共一百零二頁(yè) 例1-4 設(shè)標(biāo)量(bioling)函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)的矢量的模， 即 ， 證明： 證： 因?yàn)?yn wi) 共一百零二頁(yè)所以(suy) 共一百零二頁(yè)求方向?qū)?shù)(do sh)的方法：共一百零二頁(yè)例1-5 求 在M(1，0，1)處沿方向(fngxing)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)。解： 由例

15、1-2知r的梯度為 點(diǎn)M處的坐標(biāo)(zubio)為x=1, y=0, z=1, 所以r在M點(diǎn)處的梯度為: 共一百零二頁(yè)而 所以(suy) r在M點(diǎn)沿l方向(fngxing)的方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)為 :共一百零二頁(yè) 例1-6 已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位為 ，其中(qzhng)矢徑 為 ，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E= -，求電場(chǎng)強(qiáng)度E。 解： 共一百零二頁(yè)作業(yè)(zuy)：1.1 1.2 1.3共一百零二頁(yè)1.3 矢量(shling)場(chǎng)的通量和散度 1.3.1 矢量(shling)場(chǎng)的通量 1、面元及法線：將曲面的一個(gè)面元用矢量 來(lái)表示，其方向取為面元的法線

16、方向， 其大小為 ，即 是面元法線方向的單位矢量。共一百零二頁(yè)圖 1-3 法線方向(fngxing)的取法 的指向有兩種情況：對(duì)開曲面上的面元，遵守右手螺旋法則，如圖1-3(a)所示； 對(duì)閉曲面，取外法線方向。共一百零二頁(yè)2、通量：若矢量場(chǎng) 分布于空間中，在空間中存在任意(rny)曲面S，則定義： 如果(rgu)曲面是一個(gè)封閉曲面，則 為矢量 沿曲面 的通量。 例：設(shè)河水的流速是v m/s，河道橫截面積為S m2，則河水的流量是：共一百零二頁(yè)下面(xi mian)兩個(gè)方形容器哪個(gè)單位時(shí)間里接的雨水多?左圖右圖共一百零二頁(yè)3、通過(guò)閉合面S的通量的物理(wl)意義：若0：則閉合面內(nèi)有發(fā)出(fch)

17、矢量線的正源。若 0 (有正源) l時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為 解： 在球面(qimin)坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子的表達(dá)式為 求其電場(chǎng)強(qiáng)度共一百零二頁(yè)因?yàn)?yn wi) 共一百零二頁(yè)說(shuō)明：矢量場(chǎng)可分解為一個(gè)有源無(wú)旋場(chǎng)和有旋無(wú)源場(chǎng)之和，即:若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域V中處處有:則 由其在邊界上的場(chǎng)分布確定。（注意：若整個(gè)空間散度和旋度都為0，則此矢量場(chǎng)不存在。）1.6 亥姆霍茲定理 在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度、旋度和邊界條件唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和， 即 1.6.1 亥姆霍茲定理共一百零二頁(yè)1、無(wú)旋場(chǎng)：若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域V內(nèi)，處處(chch) ，但在某些位

18、置或整個(gè)區(qū)域內(nèi)有 ，則稱該區(qū)域內(nèi)，場(chǎng) 為無(wú)旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)的重要性質(zhì)：1.6.2 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)(sn chng) 討論：標(biāo)量場(chǎng)梯度的重要性質(zhì)：無(wú)旋場(chǎng)的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表示無(wú)旋場(chǎng)，即： 標(biāo)量函數(shù) 稱無(wú)旋場(chǎng) d 的標(biāo)量位函數(shù)，稱標(biāo)量位。共一百零二頁(yè)2、無(wú)散場(chǎng)：若矢量(shling)場(chǎng) 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)區(qū)域內(nèi)有 ，則稱該區(qū)域內(nèi)，場(chǎng) 為無(wú)散場(chǎng)。無(wú)散場(chǎng)的重要(zhngyo)性質(zhì)：式中J為旋渦源密度。 討論：矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無(wú)散場(chǎng)，即： 矢量函數(shù) 稱無(wú)散場(chǎng) 的矢量位函數(shù)，稱矢量位。共一百零二頁(yè)亥姆霍茲定律是研究(ynji)電磁場(chǎng)的主線：1.6.2 亥姆霍茲定律在電磁理論(lln)中的意義已知：在電磁場(chǎng)中矢量 的通量源密度矢量 的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量 惟一地確定）電荷密度電流密度場(chǎng)域邊界條件共一百零二頁(yè)小 結(jié)作業(yè)(zuy)：1.5