專題五 第2講 概率、隨機變量及其分布

1、15/15第2講概率、隨機變量及其分布考情分析1.考查古典概型、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗等內(nèi)容，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低等難度.2.離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行考查，中高等難度考點一古典概型核心提煉古典概型的概率公式P(A)eq f(m,n)eq f(事件A中所含的基本事件數(shù),試驗的基本事件總數(shù)).例1(1)(2020寧夏六盤山高級中學模擬)2020年春節(jié)突如其來的新型冠狀病毒肺炎在某省爆發(fā)，一方有難八方支援，全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線，某醫(yī)院抽調(diào)甲、乙、丙三名醫(yī)生，抽調(diào)A，B，C三名護士支援某市第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加該

2、市疫情狙擊戰(zhàn)其中選一名護士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其他都在第二醫(yī)院工作，則醫(yī)生甲和護士A被選去第一醫(yī)院工作的概率為()A.eq f(1,12) B.eq f(1,6) C.eq f(1,5) D.eq f(1,9)答案D解析根據(jù)題意，選一名護士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，有：甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，9種情況，而醫(yī)生甲和護士A被選去第一醫(yī)院工作有1種情況，所以概率為Peq f(1,9).(2)河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六共宗，為水居北；二七同道，為火

3、居南；三八為朋，為木居東；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取四個數(shù)，則能成為兩組的概率是()A.eq f(1,5) B.eq f(1,10) C.eq f(1,21) D.eq f(1,252)答案C解析現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取4個數(shù)，基本事件總數(shù)nCeq oal(4,10)，能成為兩組的基本事件個數(shù)mCeq oal(2,5)，則能成為兩組的概率是Peq f(m,n)eq f(Coal(2,5),Coal(4,10)eq f(1,21).規(guī)律方法古典概型求解的關鍵點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常常用到排列、組合的有關知識(2)對于較復雜的題目

4、計數(shù)時要正確分類，分類時應不重不漏跟蹤演練1(1)(2018全國)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.eq f(1,12) B.eq f(1,14) C.eq f(1,15) D.eq f(1,18)答案C解析不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有Ceq oal(2,10)45(種)情況，而和為30的有723,1119,1317這3種情況，所以所求概率為eq

5、f(3,45)eq f(1,15).(2)用0與1兩個數(shù)字隨機填入如圖所示的5個格子里，每個格子填一個數(shù)字，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總是1的個數(shù)不少于0的個數(shù)，則這樣填法的概率為()A.eq f(5,32) B.eq f(5,16) C.eq f(11,32) D.eq f(11,16)答案B解析由題意可知，填寫的可能結果共有如下32種：00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111，01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111，10000,10001,10010,10011,10100

6、,10101,10110,10111，11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，其中滿足題意的有10種：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率計算公式可得滿足題意的概率值Peq f(10,32)eq f(5,16).考點二隨機變量的分布列核心提煉1超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM),Coal(n,N)，k0,1,2，m，其中mminM，

7、n，且nN，MN，n，M，NN*.2二項分布一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Ceq oal(k,n)pk(1p)nk，k0,1,2，n.考向一超幾何分布例2(2020天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬)4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學生只能參加一個讀書小組)學生中抽取12名學生參加問卷調(diào)查各組人數(shù)統(tǒng)計如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調(diào)查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；

8、(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2個，用X表示抽得甲組學生的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值解(1)由題意得，問卷調(diào)查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3，從參加問卷調(diào)查的12名學生中隨機抽取兩人的取法共有Ceq oal(2,12)66(種)，抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有Ceq oal(2,4)2Ceq oal(2,3)Ceq oal(2,2)13(種)，所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為Peq f(13,66).(2)由(1)知，在參加問卷調(diào)查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數(shù)分別為4,2，所以抽取的兩個人中是甲組學生的人數(shù)X的可能取值為0,1,2

9、，因為P(X0)eq f(Coal(0,4)Coal(2,2),Coal(2,6)eq f(1,15)，P(X1)eq f(Coal(1,4)Coal(1,2),Coal(2,6)eq f(8,15)，P(X2)eq f(Coal(2,4)Coal(0,2),Coal(2,6)eq f(2,5).所以隨機變量X的分布列為X012Peq f(1,15)eq f(8,15)eq f(2,5)所以隨機變量X的均值為E(X)0eq f(1,15)1eq f(8,15)2eq f(2,5)eq f(4,3).跟蹤演練2PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)

10、行國家標準GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標從某自然保護區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列解(1)記“從這

11、10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則P(A)eq f(Coal(1,3)Coal(2,7),Coal(3,10)eq f(21,40).(2)由條件知，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)eq f(Coal(k,3)Coal(3k,7),Coal(3,10)(k0,1,2,3)P(0)eq f(Coal(0,3)Coal(3,7),Coal(3,10)eq f(7,24)，P(1)eq f(Coal(1,3)Coal(2,7),Coal(3,10)eq f(21,40)，P(2)eq f(Co

12、al(2,3)Coal(1,7),Coal(3,10)eq f(7,40)，P(3)eq f(Coal(3,3)Coal(0,7),Coal(3,10)eq f(1,120).故的分布列為0123Peq f(7,24)eq f(21,40)eq f(7,40)eq f(1,120)考向二二項分布例3(2020陜西安康中學模擬)“互聯(lián)網(wǎng)”是“智慧城市”的重要內(nèi)容，A市在智慧城市的建設中，為方便市民使用互聯(lián)網(wǎng)，在主城區(qū)覆蓋了免費WiFi，為了解免費WiFi在A市的使用情況，調(diào)查機構借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表(單位：人)：經(jīng)常使用免費WiF

13、i偶爾或不用免費WiFi總計45歲及以下703010045歲以上6040100總計13070200(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認為A市使用免費WiFi的情況與年齡有關；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市45歲以上的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次記被抽取3人中“偶爾或不用免費WiFi”的人數(shù)為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)附：K2eq f(nadbc2,abcdacbd)，其中nabcd.P(K2k0)0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024解(1)由列聯(lián)表可知K2eq f(2007040

14、603022.198，因為2.1980，即0a2 000時，選擇方案二更合算，當E(Y1)E(Y2)840eq f(21a,50)0，即a2 000時，選擇方案一、方案二均可；當E(Y1)E(Y2)840eq f(21a,50)2 000時，選擇方案一更合算專題強化練一、單項選擇題1.某路公交在某段路上有4個站點(如圖)，分別記為A0，A1，A2，A3，現(xiàn)有甲、乙兩人同時從A0站點上車，且他們中的每個人在站點Ai(i1,2,3)下車是等可能的，則甲、乙兩人不在同一站點下車的概率為()A.eq f(2,3) B.eq f(3,4) C.eq f(3,5) D.eq f(

15、1,2)答案A解析設事件A表示“甲、乙兩人不在同一站點下車”甲、乙兩人同在站點A1下車的概率為eq f(1,3)eq f(1,3)；甲、乙兩人同在站點A2下車的概率為eq f(1,3)eq f(1,3)；甲、乙兩人同在站點A3下車的概率為eq f(1,3)eq f(1,3).所以甲、乙兩人在同一站點下車的概率為3eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)，則P(A)1eq f(1,3)eq f(2,3).2設離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4，P(Xk)akb，若X的均值E(X)3，則ab等于()A.eq f(1,10) B0 Ceq f(1,10) D.eq f(1,5)

16、答案A解析離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4，P(Xk)akb，(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，又X的均值E(X)3，則(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3，aeq f(1,10)，b0，abeq f(1,10).3如圖，電路從A到B上共連接著6個燈泡，每個燈泡斷路的概率是eq f(1,3)，整個電路的連通與否取決于燈泡是否斷路，則從A到B連通的概率是()A.eq f(10,27) B.eq f(448,729) C.eq f(100,243) D.eq f(40,81)答案B解析由題圖可知，A，C之間未連通的概率是eq blc(r

17、c)(avs4alco1(f(1,3)2eq f(1,9)，連通的概率是1eq f(1,9)eq f(8,9).E，F(xiàn)之間連通的概率是eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2eq f(4,9)，未連通的概率是1eq f(4,9)eq f(5,9)，故D，B之間未連通的概率是eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,9)2eq f(25,81)，D，B之間連通的概率是1eq f(25,81)eq f(56,81)，故A，B之間連通的概率是eq f(8,9)eq f(56,81)eq f(448,729).4先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,4,5,6六個點)

18、，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，記事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()A.eq f(1,2) B.eq f(1,3) C.eq f(1,4) D.eq f(2,5)答案B解析正面朝上的點數(shù)(x，y)的不同結果共有Ceq oal(1,6)Ceq oal(1,6)36(種)，事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個互斥事件，其中P(A1)eq f(Coal(1,3)Coal(1,3),36)eq f(1,4)，P(A2)eq f(Coal(1,3)Coal(1,3),36)eq f(1,

19、4)，所以P(A)P(A1)P(A2)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2).事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，所以P(AB)eq f(Coal(1,3)Coal(1,3)3,36)eq f(1,6)，由條件概率的計算公式，得P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(1,3).5(2020山東棗莊市八中月考)某校有1 000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布N(105，2)(0)，試卷滿分150分，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總人數(shù)的eq f(1,5)，則此次數(shù)學考試成績在90分到105分(含90

20、分和105分)之間的人數(shù)約為()A150 B200C300 D400答案C解析因為P(X120)eq f(1,5)，P(90X120)1eq f(2,5)eq f(3,5)，所以P(90X105)eq f(1,2)P(90X120)eq f(3,10)，所以此次數(shù)學考試成績在90分到105分(含90分和105分)之間的人數(shù)約為1 000eq f(3,10)300.6某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項有且只有一個選項是正確的，A學生對12個選擇題中每個題的四個選擇項都沒有把握，最后選擇題的得分為X分，B學生對12個選擇題中每個題的四個選項都能判斷其中有一個選項是

21、錯誤的，對其它三個選項都沒有把握，選擇題的得分為Y分，則D(Y)D(X)等于()A.eq f(125,12) B.eq f(35,12) C.eq f(27,4) D.eq f(23,4)答案A解析設A學生答對題的個數(shù)為m，則得分X5m，mBeq blc(rc)(avs4alco1(12，f(1,4)，D(m)12eq f(1,4)eq f(3,4)eq f(9,4)，所以D(X)25eq f(9,4)eq f(225,4)；同理設B學生答對題的個數(shù)為n，則得分Y5n，nBeq blc(rc)(avs4alco1(12，f(1,3)，D(n)12eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(8

22、,3)，所以D(Y)eq f(8,3)25eq f(200,3)，所以D(Y)D(X)eq f(200,3)eq f(225,4)eq f(125,12).二、多項選擇題7已知隨機變量i滿足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2eq f(1,2)，則下列結論正確的是()AE(1)E(2)CD(1)D(2)答案AC解析E(1)p1，E(2)p2，E(1)E(2)，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，D(1)D(2)(p1p2)(1p1p2)0，即D(1)D(2)8某國產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被

23、淘汰已知某個軟件在四輪考核中能夠準確殺毒的概率依次是eq f(5,6)，eq f(3,5)，eq f(3,4)，eq f(1,3)，且各輪考核能否通過互不影響，則()A該軟件通過考核的概率為eq f(1,8)B該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為eq f(1,8)C該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為eq f(2,3)D在此次比賽中該軟件平均考核了eq f(65,24)輪答案ABD解析設事件Ai(i1,2,3,4)表示“該軟件能通過第i輪考核”，則P(A1)eq f(5,6)，P(A2)eq f(3,5)，P(A3)eq f(3,4)，P(A4)eq f(1,3).該軟件通過考核的概率為P(A1A2

24、A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)eq f(5,6)eq f(3,5)eq f(3,4)eq f(1,3)eq f(1,8)，選項A正確；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為P(A1A2eq xto(A3)P(A1)P(A2)P(eq xto(A3)eq f(5,6)eq f(3,5)eq f(1,4)eq f(1,8)，選項B正確；該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為1P(eq xto(A1)P(A1eq xto(A2)1eq f(1,6)eq f(5,6)eq f(2,5)eq f(1,2)，選項C不正確；設在此次比賽中，該軟件考核了Y輪，Y的可能取值為1,2,3,4，P(Y1)

25、P(eq xto(A1)eq f(1,6)，P(Y2)P(A1eq xto(A2)eq f(5,6)eq f(2,5)eq f(1,3)，P(Y3)P(A1A2eq xto(A3)eq f(1,8)，P(Y4)P(A1A2A3)eq f(5,6)eq f(3,5)eq f(3,4)eq f(3,8)，E(Y)1eq f(1,6)2eq f(1,3)3eq f(1,8)4eq f(3,8)eq f(65,24)，故選項D正確三、填空題9某校高一新生健康檢查的統(tǒng)計結果顯示：體重超重者占40%，血壓異常者占15%，兩者都有的占8%，今任選一該校高一新生，已知此人體重超重，則他血壓異常的概率為_答案0

26、.2解析記事件A表示此人體重超重，事件B表示此人血壓異常，則P(A)0.4，P(AB)0.08，P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(0.08,0.4)0.2.10出租車司機從飯店到火車站途中經(jīng)過六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是eq f(1,3)，則這位司機遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為_答案eq f(4,27)解析因為這位司機在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈之間是相互獨立的，且遇到紅燈的概率都是eq f(1,3)，所以未遇到紅燈的概率都是1eq f(1,3)eq f(2,3)，所以遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為

27、eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(4,27).11(2020臨沂模擬)易經(jīng)是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_答案eq f(3,14)解析觀察八卦圖可知，含三根陰線的共有一卦，含三根陽線的共有一卦，含兩根陽線一根陰線的共有三卦，含一根陽線兩根陰線的共有三卦，所以從八卦中任取兩卦有Ceq oal(2,8)28(種)情況其中抽取的兩卦中六根線恰有兩根陽線，四根陰線的所有情況是一卦含有三根陰線，另一卦含有

28、兩根陽線一根陰線，或者兩卦都含有一根陽線兩根陰線，即Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,3)6(種)情況故所求概率為Peq f(6,28)eq f(3,14).12(2020浙江)盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2 個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則P(0)_，E()_.答案eq f(1,3)1解析方法一1個紅球，1個綠球，2個黃球，共有Aeq oal(2,4)12(種)排列紅球前面沒有黃球，有Aeq oal(1,3)14(種)，P(0)eq f(4,12)eq f(1,3)；紅球前面有1個黃球，有Aeq oal(1,2)A

29、eq oal(1,2)4(種)，P(1)eq f(4,12)eq f(1,3)；紅球前面有2個黃球，有1Aeq oal(1,3)4(種)，P(2)eq f(4,12)eq f(1,3).E()0eq f(1,3)1eq f(1,3)2eq f(1,3)1.方法二第1次就取到紅球：P(紅)eq f(1,4)；第2次取到紅球：P(黃，紅)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,6)，P(綠，紅)eq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,12)；第3次取到紅球：P(黃，黃，紅)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,12)，P(黃，綠，紅)eq f(2,

30、4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,12)，P(綠，黃，紅)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,12)；第4次取到紅球：P(黃，黃，綠，紅)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,12)，P(黃，綠，黃，紅)eq f(2,4)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,12)，P(綠，黃，黃，紅)eq f(1,4)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,12).故P(0)P(紅)P(綠，紅)eq f(1,4)eq f(1,12)eq f(1,3)，P(1)P(黃，紅)P(黃，綠，紅)P(綠，黃，紅)e

31、q f(1,6)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,3)，P(2)P(黃，黃，紅)P(黃，黃，綠，紅)P(黃，綠，黃，紅)P(綠，黃，黃，紅)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,12)eq f(1,3).則E()0eq f(1,3)1eq f(1,3)2eq f(1,3)1.四、解答題13某大學在一次公益活動中聘用了10名志愿者，他們分別來自于A，B，C三個不同的專業(yè)，其中A專業(yè)2人，B專業(yè)3人，C專業(yè)5人，現(xiàn)從這10人中任意選取3人參加一個訪談節(jié)目(1)求3個人來自兩個不同專業(yè)的概率；(2)設X表示取到B專業(yè)的人數(shù)，求X的分布列與均值解

32、(1)令事件A表示“3個人來自于兩個不同專業(yè)”，事件A1表示“3個人來自于同一個專業(yè)”，事件A2表示“3個人來自于三個不同專業(yè)”，P(A1)eq f(Coal(3,3)Coal(3,5),Coal(3,10)eq f(11,120)，P(A2)eq f(Coal(1,2)Coal(1,3)Coal(1,5),Coal(3,10)eq f(30,120)eq f(1,4)，3個人來自兩個不同專業(yè)的概率P(A)1P(A1)P(A2)1eq f(11,120)eq f(30,120)eq f(79,120).(2)隨機變量X的取值為0,1,2,3，P(X0)eq f(Coal(0,3)Coal(3,7),Coal(3,10)eq f(35,120)eq f(7,24)，P(X1)eq f(Coal(1,3)Coal(2,7),Coal(3,10)eq f(63,120)eq f(21