解線性方程組的迭代法課件

1、第五章 解線性方程組的迭代法 線性方程組雖有直接解法，但對大型組，對時(shí)間和空間要求嚴(yán)格。1*第1頁，共52頁。第五章 解線性方程組的迭代法 5.1 迭代法及其收斂性 5.2 向量和矩陣的范數(shù) 5.3 迭代過程的收斂性2*第2頁，共52頁。5.2 向量和矩陣的范數(shù)向量范數(shù)( vector norms )3*第3頁，共52頁。4*第4頁，共52頁。范數(shù)的等價(jià)性：5*第5頁，共52頁。向量序列的極限（依分量收斂）（依范數(shù) 收斂）6*第6頁，共52頁。矩陣范數(shù)、譜半徑7*第7頁，共52頁。8*第8頁，共52頁。證明:由范數(shù)等價(jià)性,僅就某一從屬范數(shù)證明即可.9*第9頁，共52頁。命題3 對任意從屬范數(shù)有

2、：見數(shù)值計(jì)算原理，李慶揚(yáng)，關(guān)治P19310*第10頁，共52頁。5.1 迭代法的構(gòu)造及收斂11*第11頁，共52頁。12*第12頁，共52頁。5.1.1 迭代法的收斂性13*第13頁，共52頁。14*第14頁，共52頁。15*第15頁，共52頁。16*第16頁，共52頁。17*第17頁，共52頁。18*第18頁，共52頁。5.1.2 迭代法的收斂速度19*第19頁，共52頁。該定義依賴于范數(shù)的選取和迭代次數(shù)，為刻畫方法本身的速度，引入僅與迭代陣有關(guān)的量：20*第20頁，共52頁。21*第21頁，共52頁。5.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法5.3.1 Jacobi迭代法5

3、.3.2 Gauss-Seidel迭代法5.3.3 J法與GS法的收斂性22*第22頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法設(shè)有方程組作等價(jià)變形，得不動點(diǎn)形式：23*第23頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法24*第24頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法可構(gòu)造迭代公式：25*第25頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法26*第26頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法定理 Jacobi迭代法收斂的充分必要條件是 27*第27頁，共52頁。5.3.1 Jacobi迭代法28*第28頁，共52頁。5.3.2 Gauss-Seidel迭代法29*第29頁，共52頁。

4、5.3.2 Gauss-Seidel迭代法30*第30頁，共52頁。注1：當(dāng)然可有其他的迭代法如:注2：在收斂的情況下，一般說來，Gs法的收斂性能較J法好，然而情況并不總是如此，存在方程組按J法收斂，而按Gs法不然，因此兩種方法均很重要，如組：31*第31頁，共52頁。5.3.3 J法與GS法的收斂性討論方程組J法及GS法的收斂性，除用收斂基本定理外，還可直接由給定的系數(shù)矩陣A來判斷收斂性（代數(shù)判據(jù)），為此先給出定義：32*第32頁，共52頁。5.3.3 J法與GS法的收斂性A可約的代數(shù)意義是通過行列的相應(yīng)調(diào)換化為解耦方程組。33*第33頁，共52頁。5.3.3 J法與GS法的收斂性說明：此定

5、理實(shí)際含有四個(gè)命題。34*第34頁，共52頁。證明（嚴(yán)格對角占優(yōu)時(shí)的J法收斂性）：35*第35頁，共52頁。證明（嚴(yán)格對角占優(yōu)時(shí)的GS法收斂性）：36*第36頁，共52頁。（不可約弱對角占優(yōu)時(shí)的J法收斂性）37*第37頁，共52頁。（不可約弱對角占優(yōu)時(shí)的GS法收斂性）38*第38頁，共52頁。5.3.3 J法與GS法的收斂性39*第39頁，共52頁。5.4 逐次超松弛迭代法5.4.1 SOR迭代公式5.4.2 SOR迭代法收斂性40*第40頁，共52頁。5.4.1 SOR迭代公式 逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱SOR迭代法，它是在GS法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法。41*第41頁，共52頁。5.4.1 SOR迭代公式42*第42頁，共52頁。5.4.1 SOR迭代公式43*第43頁，共52頁。44*第44頁，共52頁。45*第45頁，共52頁。46*第46頁，共52頁。5.4.2 SOR迭代法收斂性47*第47頁，共52頁。必要條件（逆否定理）48*第48頁，共52頁。5.4.2 SOR迭代法收斂性分