要求引入矢勢(shì)滿足課件

1、第五章 電磁波的輻射 1要求引入矢勢(shì)滿足： 矢勢(shì)的物理意義：在任一時(shí)刻，矢勢(shì)沿任一閉合回路的積分等于該時(shí)刻通過(guò)回路的磁通量。 令 ，即 1 電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)一、用勢(shì)描述電磁場(chǎng) 討論： j 是標(biāo)量，仍稱為（標(biāo)）勢(shì)函數(shù)。一般地， j 不僅與E 有關(guān)，而且與B 有關(guān)，不再具有電勢(shì)的物理意義。2求解電磁場(chǎng)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解勢(shì)函數(shù)的問(wèn)題。但實(shí)際上，勢(shì)函數(shù) 與場(chǎng)量 并不是一一對(duì)應(yīng)的，如果作變換 與 對(duì)應(yīng)相同的 。由于y 的任意性，有多組 對(duì)應(yīng)同一組 ，每組稱為一種規(guī)范。二、規(guī)范變換和規(guī)范不變性 討論：3規(guī)范變換 不同規(guī)范對(duì)應(yīng)相同的觀測(cè)量 ，即當(dāng)勢(shì)作規(guī)范變換時(shí)，所有物理量和物理規(guī)律保持不變規(guī)范不變性。 量子

2、論中， 不能描述電磁場(chǎng)的全部物理屬性。如：在AB效應(yīng)中，在非單連通區(qū)域繞閉合回路一周的電子波函數(shù)的相位差由回路積分 描述，這個(gè)積分是有實(shí)際意義的物理量。對(duì)矢勢(shì)作規(guī)范變換 即便是在量子力學(xué)中，可觀測(cè)物理量仍保持不變性。 注意：4 在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)， 是為了描述和求解電磁場(chǎng)的方便而引入的輔助量，規(guī)范不變性是用 描述時(shí)具有的數(shù)學(xué)特征；在量子論中， 具有獨(dú)立的物理意義，規(guī)范不變性成為量子論重要的物理原理。 近代物理中，規(guī)范不變性是決定相互作用形式的一條重要規(guī)律，這不僅反映在電磁相互作用中，而且反映在強(qiáng)相互作用和弱相互作用中，傳遞這些相互作用的場(chǎng)也稱為規(guī)范場(chǎng)，電磁場(chǎng)就是一種規(guī)范場(chǎng)。 只限制了矢量場(chǎng)的旋度，

3、要確定矢量場(chǎng)，還必須規(guī)定矢量場(chǎng)的散度。 矢量場(chǎng)的散度選取具有任意性，對(duì)于每個(gè)選取的矢量場(chǎng)的散度，就可確定一組 ，也就是對(duì)應(yīng)勢(shì)函數(shù)的一種規(guī)范。三、兩種常用規(guī)范 關(guān)于規(guī)范不變性： 5選擇矢勢(shì)散度 這稱為庫(kù)侖規(guī)范條件此時(shí)矢勢(shì)是橫場(chǎng)。注意 是縱場(chǎng)，對(duì)于電場(chǎng)選擇矢勢(shì)散度 這稱為洛倫茲規(guī)范條件在這種規(guī)范下，關(guān)于勢(shì)的方程簡(jiǎn)化為很簡(jiǎn)單的對(duì)稱的形式。 1. 庫(kù)侖規(guī)范2. 洛倫茲規(guī)范 橫場(chǎng)，在庫(kù)侖規(guī)范下，橫場(chǎng)部分由矢勢(shì)描述，縱場(chǎng)由標(biāo)勢(shì)描述。即： 對(duì)應(yīng)庫(kù)侖場(chǎng)（電荷激發(fā)的電場(chǎng)）， 對(duì)應(yīng)感應(yīng)電場(chǎng)（變化的磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)）。 6真空中又，且對(duì)于標(biāo)勢(shì)四、達(dá)朗貝爾方程 由于7勢(shì)函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)于庫(kù)侖規(guī)范 特點(diǎn)：標(biāo)勢(shì)滿足的方程

4、與靜電場(chǎng)相同，其解是庫(kù)侖勢(shì)。 對(duì)洛倫茲規(guī)范 稱為達(dá)朗貝爾方程。 離開(kāi)電荷和電流區(qū)域后，變?yōu)椴▌?dòng)方程，說(shuō)明矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)以波動(dòng)形式在空間中傳播。（這是非物理波，因?yàn)檫x擇其他規(guī)范，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)就可能沒(méi)有波動(dòng)特征）8考察對(duì)象：位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷，其電量記為 Q(t)。在t 時(shí)刻，該點(diǎn)電荷的電荷密度 考察標(biāo)勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程 在 處：點(diǎn)電荷激發(fā)的場(chǎng)應(yīng)是球?qū)ΨQ的。在球坐標(biāo)下，標(biāo)勢(shì)具有球?qū)ΨQ性，與q 和f 無(wú)關(guān)。由于令2 推遲勢(shì)一、達(dá)朗貝爾方程的解 1.點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)情形9通解為 f 和 g 是兩個(gè)任意函數(shù)。故，在 處的解具有如下形式： 上述兩項(xiàng)有不同的物理意義。第一項(xiàng)：等相面由 決定。對(duì)一定相位值等相面移動(dòng)速度（

5、相速） ，等相面沿 r 正方向移動(dòng)。 第二項(xiàng)：相速為 ，等相面沿 r 反方向移動(dòng)。 第一項(xiàng)是向外發(fā)散的球面波；第二項(xiàng)是向內(nèi)匯聚的球面波。對(duì)于電磁波輻射應(yīng)考慮第一項(xiàng)，對(duì)于電磁波吸收應(yīng)考慮第二項(xiàng)。 靜電場(chǎng)情形，點(diǎn)電荷激發(fā)電場(chǎng)的電勢(shì)為 ，這一形式適用于 r = 0 及其鄰域。討論：10 注意到此時(shí)電量隨時(shí)間變化，對(duì)于輻射問(wèn)題，物理上 t 時(shí)刻電場(chǎng)由 (t - r/c) 時(shí)刻電量決定。由此猜測(cè)，勢(shì)函數(shù)為 當(dāng) 時(shí)，它滿足達(dá)朗貝爾方程。 在 r0 點(diǎn)及其鄰域，上式仍滿足達(dá)朗貝爾方程 考慮球心在原點(diǎn)，半徑為h（很小）的球體積，考察積分當(dāng)時(shí) 時(shí)， ，所以 證明：11 作用有三種項(xiàng)：（）對(duì)Q 兩次微商；（）對(duì)Q

6、 一次微商和對(duì)（1/r）一次微商的乘積；（）對(duì)（1/r）兩次微商。 第（）類項(xiàng) ；第（）類項(xiàng) ；只有第（）類項(xiàng)可能不為零。 對(duì)于達(dá)朗貝爾方程右端故在 r = 0 及其鄰域12即 是達(dá)朗貝爾方程的解。 點(diǎn)電荷在 x 處作坐標(biāo)平移變換 ，可證上式滿足達(dá)朗貝爾方程。 電荷連續(xù)分布的帶電體 對(duì)于矢勢(shì) 達(dá)朗貝爾方程是在洛倫茲規(guī)范條件下導(dǎo)出的勢(shì)函數(shù)滿足的方程，所以物理上還要求上面的勢(shì)函數(shù)滿足洛倫茲規(guī)范條件。 2.其它情形二、關(guān)于洛倫茲規(guī)范條件 13設(shè) ，注意 ，所以 。又，對(duì) 而言，原來(lái)的 不對(duì) 作用，換成 后對(duì) 中 有作用，要扣除這個(gè)作用。所以積分空間應(yīng)包含所有電流分布，由Gauss定理，第一項(xiàng)積分為零

7、，所以 又14由電荷守恒定律 上述勢(shì)函數(shù)的解滿足洛倫茲規(guī)范條件。 討論： 輻射場(chǎng)某點(diǎn)的勢(shì)決定于較早時(shí)刻的電荷電流分布，稱為推遲勢(shì)。 一個(gè)電荷電流系統(tǒng)t 時(shí)刻，在空間x點(diǎn)的勢(shì)（電磁場(chǎng)）不是決定與某個(gè)時(shí)刻的電荷分布。 電磁作用傳播速度為c，其他一切相互作用都是以有限速度傳播的，不存在瞬時(shí)超距作用。15宏觀情形：變化的電流系統(tǒng)（交變電流）向外輻射電磁波。微觀情形：變速運(yùn)動(dòng)（加速度不為零）的帶電粒子輻射電磁波?？疾鞂?duì)象：線度遠(yuǎn)小于輻射波波長(zhǎng)的宏觀電流系統(tǒng)的輻射場(chǎng)。設(shè)電流密度隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化作變換 ，并注意3 電偶極輻射一、計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式 表相位滯后。令 16電荷密度 令有其他物理量（對(duì)單一頻率電

8、流分布）17 輻射場(chǎng)標(biāo)勢(shì) 令或18 輻射場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 由其中 輻射場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 利用 在電流分布以外的區(qū)域其中或利用了19 電荷電流系統(tǒng)輻射問(wèn)題有3個(gè)特征長(zhǎng)度：電荷電流分布區(qū)域線度l，輻射電磁波波長(zhǎng)l，場(chǎng)點(diǎn)到電荷（電流）的距離r。 小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)在物理上要求： 且輻射場(chǎng)可分為三個(gè)區(qū)：近區(qū) ；遠(yuǎn)區(qū)（輻射區(qū)） ；感應(yīng)區(qū) 。 小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)輻射場(chǎng)近區(qū)滿足： 小區(qū)域電荷電流系統(tǒng)輻射場(chǎng)遠(yuǎn)區(qū)滿足：輻射場(chǎng)物理特征 輻射場(chǎng)近區(qū) 二、矢勢(shì)的展開(kāi)20與靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)結(jié)果類似。表明在近區(qū)可忽略電磁作用傳遞的推遲效應(yīng)，近似認(rèn)為場(chǎng)與電荷（電流）同步變化。在近區(qū)的電場(chǎng)具有縱向特征。（注意： ，且 ） 后面的研究

9、表明：由于推遲效應(yīng)，遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)具有橫場(chǎng)特征。 感應(yīng)區(qū)是一個(gè)過(guò)渡區(qū)。 以下研究遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng) 其中n為場(chǎng)點(diǎn)矢徑 的方向矢。 21采用球坐標(biāo)，n記為 ，其中 又 ，注意 是小量，遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)可略去分母中 項(xiàng)，但分子指數(shù)因子不能略去 。22 相因子為 ,令 ，m為整數(shù)。實(shí)際上相因子為 ，D與 是可以比擬的,與R相比，不能略去相因子中 項(xiàng)。小區(qū)域滿足l l ， 考慮上述展開(kāi)式中第一項(xiàng) 三、偶極輻射 說(shuō)明：23考慮到時(shí)間部分 電流可視為多種運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，設(shè)第i 種粒子每個(gè)帶電量為ei。單位體積含有ni個(gè)第i 種粒子（粒子數(shù)密度）則 上式中求和是對(duì)所有帶電粒子求和。又 其中，p是系統(tǒng)的偶極矩。 所以注意到在前面計(jì)

10、算中只保留到（1/R）的一次方項(xiàng)，上式中無(wú)需考慮 對(duì)（1/R）的作用。 24其中 是R的方向矢量。 遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度所以 遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)單一頻率電磁場(chǎng)由 可知25運(yùn)算時(shí)保留到（1/R）的一次方項(xiàng)，有 若選系統(tǒng)偶極矩方向?yàn)闃O軸，則 表明：磁場(chǎng)沿緯線振蕩，電場(chǎng)沿經(jīng)線振蕩。 26輻射場(chǎng)遠(yuǎn)區(qū)的電場(chǎng)和磁場(chǎng) 如電場(chǎng)在空間是嚴(yán)格橫場(chǎng)，則E 始終沿經(jīng)線，這會(huì)導(dǎo)致有問(wèn)題的結(jié)果：考慮一個(gè)經(jīng)面（如圖），在極點(diǎn)處，電場(chǎng)線相交，電場(chǎng)不在極點(diǎn)處違反單值性原則。 會(huì)聚于極點(diǎn)的電場(chǎng)線應(yīng)表示在極點(diǎn)有源，這與事實(shí)（極點(diǎn)處滿足 ）不符。 以上矛盾是由于在推導(dǎo)中忽略了（1/R）高階項(xiàng)而導(dǎo)致。事實(shí)上，考慮高階項(xiàng)后，電場(chǎng)線

11、還在同一經(jīng)面上，但在極點(diǎn)附近將偏離橫場(chǎng)（P.198 圖5-4，電場(chǎng)線形成閉合曲線）。 考慮高階項(xiàng)后磁感應(yīng)線仍是緯線，磁場(chǎng)是嚴(yán)格橫場(chǎng)。輻射場(chǎng)是TM 波。討論：27 可以通過(guò)Poynting矢量計(jì)算輻射功率。對(duì)于偶極輻射場(chǎng)，注意到 ，有 總輻射功率（單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)某一球面的能量） 球坐標(biāo)下 四、輻射能流 角分布 輻射功率 2829討論：由 可知沿極軸方向（q = 0 ，p）無(wú)輻射能流（S = 0）；在q = p/2 ）平面，輻射最強(qiáng)。 ，頻率變高時(shí)，輻射功率迅速增加?？傒椛涔β蔖與R無(wú)關(guān),保證電磁能量可以傳播到無(wú)窮遠(yuǎn)。輻射場(chǎng)近區(qū)所以表明勢(shì)函數(shù)與源近似作同步變化，即可忽略推遲效應(yīng)。輻射電場(chǎng)主要是縱向場(chǎng)。（ ） 在輻射場(chǎng)遠(yuǎn)區(qū)，電場(chǎng)主要是橫場(chǎng)。感應(yīng)區(qū)應(yīng)是一過(guò)渡區(qū)。30短天線的輻射 輻射電阻 振蕩器供給直導(dǎo)線電流，直導(dǎo)線總長(zhǎng)度為 l 。設(shè)導(dǎo)線上電流為 電流在中心點(diǎn)最大，在兩端點(diǎn)為零。 當(dāng) l l 時(shí)，可看成小區(qū)域電流系統(tǒng)，討論該系統(tǒng)的電偶極輻射。其電偶極矩變化率實(shí)際上，前面的電流表達(dá)式中應(yīng)該有時(shí)間部