高考數(shù)學(xué)專題20立體幾何大題解析版

1、專題20立體幾何大題（解析版）立體幾何解答題高考中的必考題，占12分，一般考察立體幾何知識掌握情況及解答技巧。如線面垂直、面面垂直、線面平行，線面角、二面角等問題。立體幾何解答題中的易錯和易混點(diǎn)易錯點(diǎn)1 :求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為90。，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法；易錯點(diǎn)2:線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為談；面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平 面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”而導(dǎo)致證明過程跨步太大；易錯點(diǎn)3:作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、

2、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見；易錯點(diǎn)4:求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、等體積法、換點(diǎn)法、向量法）易錯點(diǎn)5:求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）易錯點(diǎn)6:兩條異面直線所成的角的范圍：0“90直線與平面所成的角的范圍：0o a90二面角的平面角的取值范圍：0 a 180 易錯點(diǎn)7:用向量法求線面角得的是正弦值，而不是余弦值；易錯點(diǎn)8:用向量法求二面角時，最后一步忘了判斷二面角的平面角是鈍角還是銳角，導(dǎo)致 結(jié)果錯誤。題組一(2015 新課標(biāo) n) 如圖，長方體 ABCDAiBiCiDi 中，AB = 16, BC = 10, AAi

3、= 8, 點(diǎn)a與此長方體的面相交,E, F分別在 AiBi, DiCi上，AiE = DiF = 4 ,過點(diǎn)E, F的平面 交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面a所成的角的正弦值?！窘馕觥浚↖）交線圍成的正方形 EHGF如圖：（n ）作EM AB ,垂足為M ,則 AM AiE 4,EM AAi 8因為EHGF為正方形，所以 EH EF BC 10(10,0,0), HE (0, 6,8)于是 MH JEH 2 EM 2 6,所以 AH 10 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向為x軸正方向， 建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系D xyz,則A(10,0

4、,0), H (10,10,0), E(10,4,8),F(0,4,8), FE設(shè)n (x, y, z)是平面EHGF的法向量，則n,FE 010 x 0, TOC o 1-5 h z 一，即n,HE0, 6y 8z 0,所以可取n (0,4,3)又 AF ( 10,4,8),|nAF|445故 |cos n, AF | HYPERLINK l bookmark11 o Current Document |n|AF|15所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為4 15AC 3,2MD ,ABC15所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為（2016全國III）如圖，四棱錐 P ABCD中, PA，

5、底面 ABCD , AD BC , AB=AD PA BC 4 , M為線段AD上一點(diǎn)，AM N為PC的中點(diǎn).（I）證明MN 平面PAB;（n）求直線 AN與平面PMN所成角的正弦值.2-【解析】（I）由已知得 AM -AD 23取BP的中點(diǎn)T ,連接AT,TN .由N為PC中點(diǎn)知TN / BC , TN又AD BC ,故TN平行且等于四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN/AT .因為AT 平面PAB ,(n)取BC的中點(diǎn)E,MN 平面 連結(jié)AE ,PAB,由AB所以MN 平面PAB.AC 得 AEBC ,從而 AE AD ,且 AEAB2 BE22 BC、2AB2 ()225.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)

6、， AE的方向為x軸正方向，建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz,由題意知，P(0,0,4), M (0,2,0), C(y/5,2,0), N(.5W，1,2)，PM(0,2, 4) , PN,1, 2),AN5(”(x, y, z)為平面PMN的法向量，則n PM可取n (0,2,1),|cos n, AN|p AN | 85|n|AN|25n PN2x 4z 05x y 2z 02所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為8、 525題組二3. （2013新課標(biāo)n）如圖,直三棱柱 ABC ABG中,AAi AC CB -AB2B(I)證明：BCi/平面 ACD；(n)求二面角D AC

7、 E的正弦值.【解析】(I)連結(jié) ACi,交D, E分別是AB, BBi的中點(diǎn)，AC于點(diǎn)O, 連結(jié)DO,則O為AC邛q中點(diǎn)，因為D為AB的中點(diǎn)，所以 OD / BC1 ,又因為OD 平面ACD ,BCi 平面AiCD ,所以BCi /平面AiCD ；CB、CCp(n)由 AA =AC=CB=咚AB 可設(shè)：AB= 2a,則 AAi =AC=CB=亞a ,所以AC，BC,又因為直棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA、x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則 C(0,0,0)、A(V2a,0, T2a)、22 a -：,2a2aD(2-, 2，0)、E(0, V2a,2-), CX (拒

8、a,0,缶)，p22a 2a- . 2aCD (-2-,-2，0)，CE (0,v2a,2-) , AiE ( v2a, .2a,停),設(shè)平面ACD的法向量為n (x, y,z),則n CD可解得y x z,令x i ,得平面 AiCD的一個法向量為 n (i, i, i),同理可得平面 ACE的一個法向量為 m貝U cos n,m3 ,所以 sin3n, m(2,i, 2),或3，所以二面角D- AiC -E的正弦值為4 . ( 20i2新課標(biāo))如圖，直三棱柱 ABC AiBiCi中，一 一 iAC BC -AAi , D 是AA/勺中點(diǎn)，DCi BD . 2(I)證明：DCi BC;(n)

9、求二面角 A BD Ci的大小.【解析】(I)在Rt DAC中，AD AC ,得： ADC 45同理：ADCi 45CDCi 90得：DCi DC, DCi BD(n) DCi BC,CCi BCDCi 面 BCD DCi BCBC 面 ACCiA BC AC取ABi的中點(diǎn)O,過點(diǎn)。作OH BD于點(diǎn)H ,連接CQ,CiHACi Bi Ci CiO ABi,面 AiBiCi 面 ABDCQ 面 ABDOH BD CiH BD得：點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且 CiDO是二面角Ai BD Ci的平面角CiDO 30設(shè) AC a,則 CiO 叵，C1D &a 2C1O2既二面角A1 BD &的大小為30傳統(tǒng)法求二

10、面角的大小：作出二面角的平面角并通過解三角形計算。作平面角常用方法如下：先確定二面角的棱，在棱上找一點(diǎn)，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角三垂線定理及其逆定理：過一個半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一半平面的垂線，過垂足在另一個半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點(diǎn)(即斜足)，斜足與面上一點(diǎn)的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進(jìn)行判斷即可找到二面角的平面角。題組三5. (20i9全國出理i9)圖i是由矢!形ADEB、RtAABC和菱

11、形BFGC組成的一個平面圖形， 其中AB=i , BE=BF=2, Z FBC=60 ,將其沿 AB, BC折起使得 BE與BF重合，連結(jié)DG , 如圖2.(i)證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABC,平面BCGE ；(2)求圖2中的二面角 B-CG-A的大小.【解析】(i)由已知得AD B BE, CGBE,所以AD CG ,故AD , CG確定一個平面，從而A, C, G, D四點(diǎn)共面.由已知得AB BE, AB BC,故AB 平面BCGE .又因為AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE .(2)作EH BC,垂足為H ,因為EH 平面BCGE,平面BCGE 平

12、面ABC,所以EH 平 面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長為2, / EBC=60 ,可求得BH=i, EH = J3 .以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系h -xyz，則A(T，i, 0) , C (i, 0, 0) , G (2, 0, g),CG= (i, 0, 73) , AC= (2, T, 0).設(shè)平面ACGD的法向量為n= (x, y, z),則CG nAC n。，即x忌。, 0, 2x y 0.所以可取n= (3, 6, -73).又平面BCGE的法向量可取為m= (0, i, 0),n m . 3所以 cos n,m .|n|m|2因此二

13、面角B G力的大小為30。.附：平面圖形的翻折問題：(1)將平面圖形沿直線翻折成立體圖形，實(shí)際上是以該直線為軸的一個旋轉(zhuǎn)(2)求解翻折問題的基本方法是：先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折 過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為個條件與結(jié)論均明朗化的立幾問題。(3)把平面圖形翻折成空間圖形后的有關(guān)計算問題，必須抓住在翻折過程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的， 哪些不變，特別要抓住不變量。 一般地，在同一個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的, 題組四6. (2017角形AB涉及到兩個半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是變的。新課標(biāo)出)

14、如圖，四面體ABCD中,ACD是直角BD .角形， ABDABC是正三CBD ,(1)證明：平面ACD，平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E ,若平面 AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角 的余弦值.D AE C【解析】(1)由題設(shè)可得，ABD又ACD是直角三角形，所以 取AC的中點(diǎn)O ,連接DO , 又由于 ABC是正三角形，故 所以 DOB為二面角D AC 在 Rt AOB 中，BO2 AO2 又 AB BD ,所以 BO2 DOCBD ,從而 ACD=900BO ,則 DOBO AC .B的平面角.AB2-_ 2_ 2BO AOAD DC .AC,AB2DOBD2

15、,故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC .(2)由題設(shè)及(1)知，OA,OB,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A的方向為x軸正方向,OA為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 A(1,0,0) , B(0,73,0) , C( 1,0,0) , D(0,0,1) .由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體 ABCD的八一1 ，一 一 一 一， 一一體積的一，從而 E到平面 ABC的距離為 D到平面2一1 ,ABC的距離的一，即E為DB的中點(diǎn)，得23 1E(0,l,2).故AD(1,0,1), AC ( 2,0,0) , AE3(1,萬x,y,z是平面DAE的法向量，則n,A

16、DnAE0,即0,可取n mAC設(shè)m是平面AEC的法向量，則 一0， 同理可得mm*AE 0,(0,i, .3)貝U cos n, m所以二面角Dn*mnmAE C的余弦值為在7(2018全國卷出)如圖，邊長為2的正方形 ABCD所在的 平面與半圓弧 CD所在平面垂直， M是CD上異于C, D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD 平面BMC ；(2)當(dāng)三棱錐M ABC體積最大時，求面MAB與面 MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由題設(shè)知，平面 CMD，平面ABCD,交線為CD .因為BC CD , BC 平面ABCD ,所以BC，平面CMD，故BC，DM 因為M為CD上異于C , D的點(diǎn)，且DC

17、為直徑，所以 DM，CM .又 BC fl CM =C，所以 DM，平面 BMC .而DM 平面AMD ,故平面 AMD，平面BMC .(2)以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz.當(dāng)三棱錐M ABC體積最大時，M為CD的中點(diǎn).由題設(shè)得 D(0,0,0) , A(2,0,0) , B(2,2,0) , C(0,2,0) , M (0,1,1),AM ( 2,1,1), AB (0,2,0) , DA (2,0,0) 設(shè)n (x, y, z)是平面MAB的法向量，則 n AM 0, 2x y z 0, ,即 了n AB 0.2y 0.可取 n (1,0,2

18、).DA是平面MCD怛向量，因此 n DA % 5 cos n, DA |n|DA|52 .1 5 sin n, DA , 所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是題組五底面ABCDAD =73 ,(2014新課標(biāo)II)如圖，四棱錐 P ABCD中, 為矩形，PA，平面ABCD, E為PD的中盧(I)證明：PB /平面AEC;(n )設(shè)二面角 D AE C 為 60。，AP =1 求三棱錐E ACD的體積.【解析】(I)連接BD交AC于點(diǎn)O ,連結(jié)EO . 因為ABCD為矩形，所以。為BD的中點(diǎn).n1又E為PD的中點(diǎn)，所以EO/PB.EO 平面AEC, PB 平面AEC ,所以PB /平面A

19、EC .(n)因為PA 平面ABCD, ABCD為矩形，所以AB, AD, AP兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB的方向為x軸的正方向，AP,為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz ,3 1 則 D(0, 3,0), E(0, y ,-), AE (0,設(shè) B(m,0,0)( m 0),則 C(mj3,0),3 1、-r-,-)2 2AC (m, . 3,0)設(shè)n1(x, y,z)為平面AEC的法向量,n1 ACn1 AE0,0,mx,33y0,y - z220,(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)cos n，n2324m1因為E為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐 E ACD的高為1 .1

20、1- 3 1三棱錐E ACD的體積V 1 1 J3 3 19. (2011新課標(biāo))如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB 2AD , (I)證明： (n)若 PDDAB 60 , PD 底面 ABCD. PA BD ；AD ,求二面角APB C的余弦值.【解析】(I)因為DAB 60 ,AB由余弦定理得從而BD又PD 所以BDBD . 3ADAD2 AB2,故 BD底面ABCD,可得BD 平面PAD. 故PAAD PDBD(n)如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)， 直角坐標(biāo)系D-xyz,則A 1,0,0 , B 0,V3,0 , CAB ( 1,3,0), PB (0, 3,AD的長為單

21、位長，射線1,V3,0 , p 0,0,1 .1),BC ( 1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n (x, y, z),皿 n AB 0 口口 x則,，即n PB 03yDA為X軸的正半軸建立空間因此可取n = ( .3,1, . 3)設(shè)平面PBC的法向量為m ,皿 m PB 0則hm BC 0可取 m = (0, -1,cos(m,n) 42 7V3)2.77故二面角A-PB-C的余弦值為題組六10. (2010新課標(biāo))AB / CD , AD中點(diǎn).(I)證明：如圖，已知四棱錐PACBDPE(n)若 APB 角的正弦值.BCADB【解析】以H為原點(diǎn),HA,HB,HP分別為為單位長，建立空間直

22、角坐標(biāo)系如圖，則 A(1,0,0), B(0,1,0)(I)設(shè) C(m,0,0), P(0,0, n)(m 0,n1 m則 D(0,m,0), E(-,-,0).2 2可得 PE (, 2 2因為PE BC m 2n), BC(m, 1,0).60 ,求直線PEBC(n)由已知條件可得3一,n31,故C(33 ,0)31D(0, 3,0),E(1,、3,0), P(0,0,1)6設(shè)n (x,y,x)為平面PEH的法向量則HEHP0, 即0,1 - x2z因此可以取n (1,J30),由PA (1,0,1),可得 cos( PA,n直線PA1平面PEH亓成角的正弦值立體幾何十大經(jīng)典類型(解題思想

23、方法歸納)類型一：證明線線平行.證明兩直線a、b平行，若直線a和直線b共面時，則可以用平面幾何中常用的一些方法 (如證明a和b是一個平行四邊形的一組對邊)證明它們無公共點(diǎn)。在立體幾何中一般還有以下幾種思路：根據(jù)公理4 根據(jù)“線面平行”的性質(zhì)定理根據(jù)“線面垂直”的性質(zhì)定理，若直線a和b都與平面垂直，則az/bo根據(jù)“面面平行”的性質(zhì)定理根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)。根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)。根據(jù)對應(yīng)線段成比例。.設(shè)法轉(zhuǎn)化為線面平行、面面平行、線面垂直的相關(guān)問題.向量方法：證明向量共線。類型二：證明線面平行.傳統(tǒng)幾何方法：根據(jù)直線與平面平行的定義根據(jù)直線與平面平行的判定定理根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理.方法

24、通過“線線平行證明線面平行”，是由低維升向高維的一種思維方式；方法通過“面面平行證明線面平行”，是由高維降向低維的一種思維方式。這兩種思維方式是立體幾何中基本的思維方法。.向量方法：轉(zhuǎn)化為證明向量共線。根據(jù)共面向量定理。證明向量與平面的 法向量相互垂直。類型三：證明面面平行1.傳統(tǒng)幾何方法：根據(jù)兩個平面平行的定義根據(jù)兩個平面平行的判定定理垂直于同一條直線的兩個平面平行平行于同一平面的兩個平面平行思維過程：注意三者的轉(zhuǎn)化線線平行判定線面平行判定面面平行線線平行性質(zhì)線面垂直性質(zhì)面面平行向量方法：轉(zhuǎn)化為用向量證明線線平行、線面平行問題。證明兩個平面的法向量共線。類型四：證明線線垂直.證明線線垂直，若

25、兩條直線在同一平面內(nèi)，可用平面幾何中證明兩條直線垂直的方法來證明它們垂直。立體幾何一般有以下幾種證明方法：根據(jù)定義如果直線a /直線b ,直線a 直線c ,則b c如果直線a 平面 ，c 則a c三垂線定理及其逆定理根據(jù)二面角的平面角的定義等腰（等邊）三角形中的中線菱形（正方形）的對角線互相垂直勾股定理中的三角形1:%5:2的直角梯形中利用相似或全等證明直角，直徑所對的圓周角.向量方法：證明向量相互垂直。類型五：證明線面垂直.傳統(tǒng)幾何方法：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任何一條直線，則這條直線和這個平面垂直線面垂直的判定定理如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則這條直線也與另一個平面垂直兩

26、條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面面面垂直的性質(zhì)定理.向量方法：轉(zhuǎn)化為證明向量垂直。證明向量與平面的法向量共線。類型六：證明面面垂直.傳統(tǒng)幾何方法：根據(jù)面面垂直的定義：如果兩個平面相交所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直根據(jù)面面垂直的判定定理利用結(jié)論：如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，則它垂直于另一個平面.向量方法：轉(zhuǎn)化為用向量證明線線垂直、線面垂直問題。證明兩個平面的 法向量相互垂直。類型七：求異面直線所成角.傳統(tǒng)幾何方法：先判斷這個角是否是直角，如果是直角可直接證明并得出結(jié)論，一般求 角的步驟是：(1)利用平移作出要計算的角；(2)構(gòu)造含該角的三角形；

27、(3)解三角形求角.異面直線所成的角作法：定義。在具體問題中異面直線的給出是異面線段形式表示的，因此由異面直線所成角的定義我們可以選擇兩條線段的四個端點(diǎn)，過其中一個端點(diǎn)作另外一條線段的平行線，選擇點(diǎn)的原則是過這點(diǎn)作另外一條線段的平行線要容易作(往往是這點(diǎn)和另外一條線段在一個三角形中且這點(diǎn)在三角形的一邊上，或這點(diǎn)和另外一條線段在已知一個平面內(nèi)且作平行線要好 作)利用中位法。如給出異面直線 AB和CD連接AG AD BC,然后再分別取這三條線段的 中點(diǎn)E、F、G連接EF、EG FG得到 EFG則/ FEG就是所求角或所求角的補(bǔ)角。這種方 法優(yōu)點(diǎn)是作異面直線所成角比較容易，但缺點(diǎn)是 EFG中有一邊G

28、F的長度不容易求。.向量方法：轉(zhuǎn)化成求兩個向量的夾角(即等于所求的異面直線所成的角或其補(bǔ)角的大小)類型八：求平面的斜線與平面所成角.傳統(tǒng)幾何方法：轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過直角三角形求解。利用三面角定理(即最小角定理)cos cos 1 cos 2求1。.向量方法：設(shè)n為平面 的法向量，直線a與平面 所成的角為，則 TOC o 1-5 h z * *a, n , a, n 0, HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 22a, n -, a, n -, 22類型九：求二面角.作出二面角的平面角并通過解三角形計算。作平面角常用方法如下：先確定二面角的棱， 在棱上找一點(diǎn)，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角。三垂線定理及其逆定理：過一個半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一半平面的垂線，過垂足在另一個半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點(diǎn)（即斜足），斜足與面上一點(diǎn)的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進(jìn)行判斷即可找到二面角的平面角。.求二面角的大小有時也可不必作平