高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)必做作業(yè)期末

1、一、必做作業(yè)：.用兩種方法求下列函數(shù)的極值：y = x3-3x+1 ;(2) y = 2x3-3x2-12x + 1.解：方法一(利用求導(dǎo))：y = 3x2 - 3，令y = 0 ,得到：x = 1當(dāng)xw(q,_1)和(1,2)時(shí)，yf 0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xwj1,1)時(shí)，y0,函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)y取得極小值且y極小值=1；當(dāng)x=-1時(shí)，y”0,又(x-1)2之0;所以y = (x-1)2(x+2)-1“1, 即函數(shù)y在x0 = 1處取得極小值-1.若x0= -1,則，口 = -2,代入得P =3,從而有：y = (x + 1)2(x 2)十3；當(dāng)x在-1的附近，顯然有x 2 0,

2、又(x+1)2之0；所以：y = (x + 1)2(x-2) + 3w3,即函數(shù)y在x0 = -1處取得極大值3.(2)解：方法一(利用求導(dǎo))：y = 6x2 -6x-12, y* = 12x-6,令 y=0,得到：x=20, y取得極小值且y極小值=-19；當(dāng)x=-1時(shí)，y0，又225(x-2)2 20;所以：y = 2(x 2)2(x+_)_1919,即函數(shù) y在x0 = 2處 2取得極小值-19.當(dāng)x0 = -1時(shí)a = -7,代入得P = 8 ,從而有：227-小-7y = 2(x + 1)2(x-)+ 8 ;當(dāng)x在-1的附近，顯然有x-2 0,x Ji + x2 +1 - x2 A

3、0。xj1 + x2 A x2 -1 (1)當(dāng)x21時(shí)，不等式兩邊均為正數(shù)，兩邊平方符號(hào)不變，即2 22 22424221(x 1 x ) (x -1) = x x x - 2x 1 = x -3U x A3或x -艱，從而x至1 33(2)當(dāng)xw-1時(shí)，xJ1 + x2 0,而x2 - 1a0,從而不等式不成立，無解.(3)當(dāng)0 E x 1時(shí)，x 0,x2 -1 0 ,從而不等式包成立，即不 等式的解為0 w x 1。(4)當(dāng)-1 x 0時(shí)，不等式兩邊均為負(fù)數(shù)，兩邊平方符號(hào)改變，即333 c22222(x 1 x ) (x -1) = x x ,從而 x 0 ,求得 f (x) = In x

4、 +1 , f (x)=，由于 xx A0,從而有*(x) 0,因此，f (x)在定義域x 0上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)的性質(zhì)可知：V3i 0,有3L g蘭f (&+電+an),從而有ai In a1a2lna2% Inaa1a2a a1a2a上In成乂，即ai a2 ana11n a1+a2Ina2+an Inan之(a +a2+an) In,因止匕,n可以知道原不等式成立，即證明。、選做作業(yè).你認(rèn)為數(shù)學(xué)分析的辯證觀點(diǎn)對(duì)哪些中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略（除了本章介紹）還有指導(dǎo)作用？請(qǐng)舉例說明.解：在證明一些特殊數(shù)列無窮項(xiàng)的和為常數(shù)時(shí)，可以利用數(shù)學(xué) 分析中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的展開項(xiàng)進(jìn)行證明。.在單位正方形的周界上任意兩點(diǎn)之間連一曲線，如果它把正方形分成兩個(gè) 面積相等的部分，試證這個(gè)曲線段的長(zhǎng)度不小于 1.證：（1）若點(diǎn)M、N分別在對(duì)邊上（圖1）,顯然，從M到N的曲線長(zhǎng) 度不小于1.圖1（2）若點(diǎn)M、N分別在一對(duì)鄰邊上（圖2）,則弧MN必與對(duì)角線BD相交（否 則弧MN MN成的兩部分面積不等），設(shè)E為交點(diǎn)，作弧ME關(guān)于BD的對(duì)稱 圖形弧M E ,則M 在AB上，因此，由（1）可知弧MN =MM N 1；圖2（3）若點(diǎn)M、N在同一條邊上（圖3）,那么弧MN必與AB、CD的中點(diǎn)連 線EF相交（否則弧MN