高考數(shù)學復習填空題的常用方法

1、2008高考數(shù)學復習 填空題的常用方法數(shù)學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是 高考數(shù)學中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填 空題、條件與結論開放的填空題.這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田， 創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn).因此，我們在備考時，既要關注這一新動向，又要 做好應試的技能準備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步 驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思 將是快速、準確地解答填空題的基本要求.數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試 題，應答時必

2、須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、 數(shù)行結合法、等價轉化法等。一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發(fā)、利用定義、定理、性質、 公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果。例1設a =(m +1)i -3i,b = i +(m -1) j,其中i , j為互相垂直的單位向量，又(a +b) 1 (a -b), 則實數(shù) m = 。解：a+b = (m+2)i +(m4)j, ab = mi(m + 2) j. (a+b)_L(ab),一、.2 _ ,_2,一. ,、.2

3、 一(a+b) (ab) =0 . . m(m+2)j +(m+2) +m(m-4)i j -(m + 2)(m-4)j =0,而i, j為互相垂直的單位向量，故可得 m(m+2)-(m+2)(m-4) =0,m=-2。例2已知函數(shù)f(x);更二1在區(qū)間(-2,2)上為增函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍 x 2是0解：f (x) =axt=a+匕紅，由復合函數(shù)的增減性可知，9(*)=上2a在x 2 x 2x 21(-2,)上為增函數(shù)，.二 1 -2a - 0例3現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部 13場足球比賽，每場比賽有 3 種結果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎

4、，其 它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為 。解：由題設，此人猜中某一場的概率為1 ,且猜中每場比賽結果的事件為相互3獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為工。3二、特殊化法當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。例4在4ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差 cos A cosC數(shù)歹U,貝 =。1 cos A cosC3解：特殊化：令 a=3,b=4,c = 5,則 AABC 為直角二角形，cosA=,cosC =0,5. 一 ，一 3從而所求值為3。5例5過拋物線y = ax2(a

5、0)的焦點F作一直線交拋物線交于 P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q,則1+1=o p q分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點 P、Q,當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而 不失一般性。1 11一 、一解：設k = 0,因拋物線焦點坐標為(0,，)，把直線方程y=,代入拋物線方程4a4a11 一 11得x 土一，. |PF H FQ| = ,從而一+ =4a2a2ap q例 6 求值 cos2 a + cos2(a+120 j + cos2 (a+2

6、40 )=分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令a = 0,三、數(shù)形結合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷 地解決問題，得出正確的結果。例7如果不等式J4xx2 (a1)x的解集為A,且Ax |0 x ax + 3的解集為（4, b）,則a=, b=。2解：設vx = t ,則原不等式可轉化為：at2 -t + 3 0,且2與jE（b 4）31是萬程at2 -t十士 =0的兩根，由此可得：a=,b=36。28例11 不論k為何實數(shù)，直線y = kx+1與曲線x2 +y2 -2ax + a2 -2a-4=0恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍

7、是。解：題設條件等價于點（0, 1）在圓內或圓上，或等價于點（0, 1）到圓（x-a）2+y2 =2a+4 ,-1 a 0. 丁 y與y2有相同的單調區(qū)問，而 4y2 =11 十4J4x2 +13x3 ,可得結果為13,3。8總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數(shù)學填空題的關 鍵。五、練習1已知函數(shù)f（x）=vG+1,則f九3）=.講解 由3 =4+1,得 f，(3)=x = 4,應填4.請思考為什么不必求 f(x區(qū)?1I ，一一 一，一.集合M =x -1 Elog 1 10-,x w N、的真子集的個數(shù)是 .x 2J講解 M =x lElgx 2,xw N=x10Ex 1

8、00,x W N ,顯然集合 M中有 90 個元 素，其真子集的個數(shù)是 290 -1 ,應填290 -1.快速解答此題需要記住小結論 ；對于含有n個元素的有限集合，其真子集的個數(shù)是 22 -1. 若函數(shù)y = x2 +(a2K+3,xw hb】的圖象關于直線x=1對稱，則b =.a 2a b講解 由已知拋物線的對稱軸為x =一，得 a = Y,而9b=1,有b = 6,故 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 22應填6. HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2 x.果函數(shù)

9、f (x )=2，那么xf（1）+f（2）+f 1 1+f（3）+f 口+f（4）+ f 1=313 /4 J1講解 容易發(fā)現(xiàn)f(t)+f - | = 1,這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是原式=f 1 3 = 7,應填7. HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 2本題是2002年全國高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中也有一道類似題:、一1設f (x )=一方，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得2x 2f(-5)+f(-4廣 +f(0)+ + f(5)+f(6)=.已知點P(tanu,cosa )在第三象限，則角 a的終邊

10、在第 象限.講解由已知得tan豆 0,0,COSa 0,COSa 1 ,于是原不等式可變形為2cosx _ 0 ：土 cosx _ 0.而 0 xn,所以 0cxW ,故應填,x0 xW , xWR.2.2,如果函數(shù)y =sin 2x+a cos2x的圖象關于直線 x = -二對稱，那么8講解 y = d1+a2 sin(2 + 邛),其中 tan = a.: x =是已知函數(shù)的對稱軸，8 TOC o 1-5 h z 冗、小n2 -廣中=。+一,8)2即邛=kn+史，k wZ4，一 一個 3. 3C 于是a = tan 中=tan kn + i= -1. 故應填 一 1.4 )在解題的過程中，

11、我們用到如下小結論：x軸的直線分函數(shù)y = Asin(ox +中抑y = Acos(切x +中用圖象關于過最值點且垂直于 別成軸對稱圖形.(Jin、將OZi按順時42，3 二針萬向旋轉 后得到向重 OZ2 , OZ2對應的復數(shù)為 z2 = r(cos中+ i sin* ),則4tan =8.設復數(shù)z1 =2sin+cos8 在復平面上對應向量 OZ1 ,講解 應用復數(shù)乘法的幾何意義，得值是Z2 -z1 cos 4- isin三42sinu2-cos n 2 sin ? cos【i 1,.2sin? -cos?tan :2 sin 1 cos 12 tan 1 故應填 :.2 tan -19.設

12、非零復數(shù)x, y滿足講解將已知方程變形為解這個二次方程，得.=i22tanu 12+ xy + y =0,則代數(shù)式2005上x y2005的3顯然有 = 1,而 2005 =3父668 +1，于原式=200501“兩邊同除”的手法達到了集中變量的目的，這是減少變元的一個上策,在上述解法中, 值得重視.10.已知 4 是公差不為零的等差數(shù)列，如果Sn是n 的前n項和，那么. 飽_Um Sn-講解特別取an = n ,有Sn =31L),于是有2nanUmw 二limn2n22=lim=2.故應填 2.n n 11nm 1 . 1n1 I 一 gn,（nzn司數(shù)）11列 Q中，an =3） 2 4

13、 6，2n=n2 n 2n -1 ；凸n邊形內角和為f(n)=(n17 (n 3)凸n邊形對角線的條數(shù)是 f (n )=的一2)(n 4)2其中滿足“假設n =k(kw N,k之心 洞命題成立，則當n=k+1時命題也成立.但不滿足“當n = n0 (n是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是 講解 當n=3時，23 2黑3+1 ,不等式成立； 當n=1時，2。12 +1 +2，但假設n=k時等式成立，則2+4+6+ +2(k + 1)=k2 +k+2 + 2(k+1)=(k+lf +(k+1)+2； f(3)#(31 # ,但假設f(k)=(k-1,成立，則f (k +1 )= f (

14、k )+n=&k +1)11； f(4 )#4(4；2 )假設 f(k)=k(k；2)成立則fk 1 ; fk k-3 k 1,k 1 -22故應填.13.某商場開展促銷活動，設計一種對獎券，號碼從 000000到999999.若號碼的奇位數(shù) 字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時，為中獎號碼，則中獎面(即中獎號碼占全部號碼的百 分比)為,講解中獎號碼的排列方法是：奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有 P3種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有53,從而中獎號碼共有 百父53種，于是中獎面為P? 535一5- 100% =0.75%,1000000故應填0.75%.14.(X2+1 (x2的展開式中X3的系數(shù)是 .

15、講解由42 +1a27 =x2(x_2)7+12：7知，所求系數(shù)應為儀一2)7的乂項的系數(shù)3與x項的系數(shù)的和，即有c6 -2 6 C； -2 4 =1008,故應填1008.15 .過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5,且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是.講解長方體的對角線就是外接球的直徑2R,即有2R 2 =4R2 = 32 42 52= 50,從而S求=4nR2 =50兀，故應填50n.若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積是（只需寫出一個可能的值）.講解 本題是一道很好的開放題， 解題的開竅點是：每個面的三條棱是怎樣構造的， 依據(jù) “三角形中兩邊之和大于

16、第三邊”，就可否定1,1,2,從而得出 1, 1, 1, 1,2, 2, 2, 2, 2三種形態(tài)，再由這三類面構造滿足題設條件的四面體，最后計算出這三個四面體的體積分別為：U，W，巖，故應填.拶、巖、答 中的一個即可如右圖，E、F分別是正方體的面 ADDA、面BCCB1的中心，則四邊形 BFDE在該正 方體的面上的射影可能是 .（要求：把可能的圖的序號都填上）講解因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFDE在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面 ABCD面ABBA、面ADDA1上的射影.四邊形BFDE在面ABCM面ABBA上的射影相同，如圖。2所示；四邊形BF

17、DE在該正方體又面的 ABGD,內，它在面ADDA上的射影顯然是一條線段，如 圖CD所示.故應填C2.2.18直線y = x -1被拋物線y = 4x截得線段的中點坐標是 y = x -1.一講解由y2消去y,化簡得= 4xx2 - 6x 1 = 0,設此方程二根為x1，x2,所截線段的中點坐標為（x0, y0 ）,則故應填X0y0 xx2二丁 :3, =x0 1 = 2.19橢圓則當m取最大值時，點 P2+ ?=1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為 m, 25的坐標是講解記橢圓的二焦點為Fi,F2,有PFi +眸| =2a = 10,則知=PFiI TF2I 1PFl| + 2|：= 25.顯然當故應填PF1I =|PF2| =5,即點P位于橢圓的短軸的頂點處時,m取