論數(shù)學史教育價值

1、-PAGE . z.論數(shù)學史的教育價值The educational value ofMathematics History專業(yè):數(shù)學與應用數(shù)學作 者:指導教師:二一四年五月-. z摘 要數(shù)學史是穿越時空的數(shù)學智慧，數(shù)學的開展史給我們呈現(xiàn)了一幅源遠流長、日新月異的畫卷。學習數(shù)學史能使我們獲得思想上的啟迪和精神上的冶，有利于激發(fā)學習數(shù)學的興趣、幫助我們理解數(shù)學、加深對數(shù)學的認識，有利于學生和教師形成正確的數(shù)學觀，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和方法，有利于從數(shù)學開展的本質(zhì)對數(shù)學教育提供理論指導。數(shù)學史也是數(shù)學課程不可缺少的組成局部，在數(shù)學教學中融入數(shù)學史教育，不僅能表達數(shù)學知識、數(shù)學思想方法的價值，也

2、能表達情感、態(tài)度、價值觀方面的價值。只有把數(shù)學史中數(shù)學思想方法的開展過程和學生學習數(shù)學過程中的認知變化過程相結合，才可以表達數(shù)學史的教育價值。著名數(shù)學家M克萊因認為：每一位中學和大學數(shù)學教師都應該知道數(shù)學史，有很多理由，但最重要的一條理由或許是，數(shù)學史是教學的指南。數(shù)學史具有多方面的教育價值：它有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣；有利于對學生進展愛國主義教育；有利于幫助學生理解數(shù)學及培養(yǎng)數(shù)學思維方法；有利于辯證唯物主義世界觀的形成；有利于提高學生的美學修養(yǎng)。關鍵詞: 數(shù)學史 數(shù)學教育 數(shù)學史教育 價值空一行黑體小三號Abstract空一行黑體小四號Based on adding Lipchitz c

3、ondition, we prove the high dimensional implicit function theorem using Picard iterative, which provides another proof of it. Furthermore, we obtain a method for the appro*imate e*plicit e*pression of implicit function.Keywords: Picard iterative method; implicit function theorem; Lipchitz condition注

4、: 以上英文摘要局部的字體都是Times New Roman, 且每一段開場都需空四個英文字符, Abstract為加粗小三, Keywords為加粗小四, 其余小四, 關鍵詞之間用分號隔開, 關鍵詞首寫字母不大寫(專有名詞除外)-. z目 錄 TOC o 1-3 u 摘 要IABSTRACTII0 引言11 什么是數(shù)學史12 數(shù)學史的開展23 數(shù)學史的重要意義14 為什么數(shù)學教育需要數(shù)學史25 數(shù)學史的教育價值15.1有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣35.2有利于幫助學生理解數(shù)學35.3有利于培養(yǎng)數(shù)學思維和方法45.4從數(shù)學開展的本質(zhì)對數(shù)學教育提供理論指導45.5有利于辯證唯物主義世界觀的形成3

5、5.6有利于對學生進展愛國主義教育45.7人文教育價值35.8有利于提高學生的美學修養(yǎng)46 如何將數(shù)學史與數(shù)學教育結合2參考文獻10-. z1什么是數(shù)學史數(shù)學史研究的任務在于弄清楚數(shù)學開展過程中的根本史實，再現(xiàn)其本來的面貌，同時通過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學成就、理論體系及開展模式作出科學合理的解釋、說明與評價，從而進一步探究數(shù)學科學開展的規(guī)律與文化本質(zhì)。作為數(shù)學史研究的根本方法與手段，常有歷史考證、比擬研究、數(shù)理分析等方法。史學家的職責就是根據(jù)史料表達歷史，是史學的根本準則。從17世紀開場，西方歷史學就形成了考據(jù)學，在中國出現(xiàn)更早，鼎盛于清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究的主要方法。只不過隨著時代的

6、進步，考據(jù)方法在不斷地改良，應用圍也在不斷拓寬而已。當然，應該認識到史料也存在真?zhèn)?，考證過程中會涉及到考證者的心理狀態(tài)，這就必然會影響到考證材料的取舍與考證的結果。這也就是說，歷史考證結論的真實性是相對的。同時又應該認識到，考據(jù)也并非史學研究的最終目的，數(shù)學史研究不能為考證而考證。不會比擬就不會思考，所有的科學思考與調(diào)查都不能缺少比擬，或者說，比擬是認識的開場。當今世界的開展是多極的，不同國家、地區(qū)、不同民族之間在文化交流中共同開展，因而隨著多元化世界文明史研究的展開與西方中心論觀念的淡化，異質(zhì)的區(qū)域文明日益受到重視，從而不同地域數(shù)學文化的比擬以及數(shù)學交流史研究也日趨變得活潑。數(shù)學史的比擬研究

7、往往圍繞數(shù)學成果、數(shù)學科學式、數(shù)學開展的社會背景等三方面展開。數(shù)學史既屬于史學領域，又屬于數(shù)學科學領域。因此，數(shù)學史研究既要遵循史學規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學的規(guī)律。根據(jù)這一特點，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學史研究特殊的輔助手段，在缺乏史料或是史料真?zhèn)文娴那闆r下，站在現(xiàn)代數(shù)學的高度，對古代數(shù)學容與方法進展數(shù)學原理分析，以到達正本清源、理論概括及提出歷史假說的目的。數(shù)理分析實際上是古與今之間的一種聯(lián)系。1.1數(shù)學史的研究容1數(shù)學史研究方法論問題；2總的學科開展史數(shù)學史通史；3數(shù)學各分支的分科史包括細小分支的歷史；4不同國家、地區(qū)、民族的數(shù)學史及其比擬；5不同時期的斷代數(shù)學史；6數(shù)學家傳記；7數(shù)學概念、數(shù)

8、學思想、數(shù)學方法開展的歷史；8數(shù)學開展與其他科學、社會現(xiàn)象之間的關系；9數(shù)學教育史；10數(shù)學史文獻學；等等。1.2數(shù)學史的研究圍按研究的圍可分為史與外史。史是從數(shù)學在的原因包括與其他自然科學之間的關系來研究數(shù)學開展的歷史；外史是從外在的社會原因包括經(jīng)濟、政治、哲學思潮等原因來研究數(shù)學開展和其他社會因素間的關系。數(shù)學史和數(shù)學研究的各個分支，和社會史、文化史的各個方面都有著密切的聯(lián)系，這說明數(shù)學史具有多學科穿插及綜合性強的性質(zhì)。從研究材料上來說，考古資料、各種歷史文獻、歷史上的數(shù)學原始文獻、文化史資料，以及對數(shù)學家的訪問記錄等等，都是重要的研究對象，其中數(shù)學原始文獻是最常用且最重要的第一手研究資料

9、。從研究目標來說，可以研究數(shù)學概念、理論、思想、方法的演變史；可以研究數(shù)學科學和人類社會的互動關系；可以研究數(shù)學思想的傳播及交流史；可以研究數(shù)學家的生平，等等。1.3一般數(shù)學教育工作者對數(shù)學史的理解數(shù)學史是研究數(shù)學發(fā)生開展的歷史。具體地說，它研究數(shù)學思想與數(shù)學理論的演化過程及其開展規(guī)律，研究數(shù)學家的思維方式、研究方法，研究數(shù)學科研中的成敗原因，研究數(shù)學開展中的不同觀點與理論之間的紛爭和融合，研究影響數(shù)學開展的各種歷史因素等等。數(shù)學史的容是非常豐富的，崗位不同的數(shù)學教育者根據(jù)不同的需要對數(shù)學史的理解也是不一樣的1。數(shù)學史就是數(shù)學家的故事在義務教育和高中階段，很多數(shù)學教師認為要激發(fā)學生學習數(shù)學的興

10、趣，就必須利用數(shù)學家的故事來吸引學生。他們經(jīng)常結合以數(shù)學家名字命名的公理、定理、原理，來介紹這些數(shù)學家的生平、數(shù)學成就及崇高的品質(zhì)，以此來提高學生的學習積極性，培養(yǎng)學生熱愛數(shù)學和追求真理的良好品質(zhì)。數(shù)學家的名言和故事能夠使學生看到數(shù)學家深奧的思想、高度的智慧以及刻苦鉆研的精神，有利于啟發(fā)學生對數(shù)學的熱愛。顯然，在課堂教學中數(shù)學家的故事是很容易活潑課堂氣氛、激發(fā)學生的求知欲、培養(yǎng)學生的科學精神，但這些仍然不能保證學生的興趣能夠長期維持下去，尤其是當學生在學習過程中遇到了理解性困難的時候。數(shù)學家的高尚情操及追求真理的科學精神，數(shù)學家的成長及開展道路給人的教育和啟發(fā)甚至超過了數(shù)學知識本身，但這一切在

11、數(shù)學教育中對學生的影響并不具有一般性，而且這些其他的科學家一樣可以給學生帶來同樣的影響。所以如果只是把數(shù)學史當作數(shù)學家的故事集的話，數(shù)學史和數(shù)學本身的特性則顯示不出來。數(shù)學史就是數(shù)學成果史數(shù)學史研究的是數(shù)學開展的歷史，但是很多教師仍然只是把數(shù)學史當作數(shù)學開展史。在課堂上強調(diào)的是數(shù)學如何開展到今天的體系，好似一切的產(chǎn)生是則地自然，卻很少提到在數(shù)學開展過程中數(shù)學發(fā)生的一面，也很少提及到數(shù)學發(fā)生是數(shù)學家思想觀念的碰撞、迷惑，很少提到數(shù)學家為了解決這些困惑所采取的方法尤其是不成功的方法。教師沉迷于數(shù)學成果的偉大之中，希望學生能夠對數(shù)學產(chǎn)生興趣，殊不知也就是在這種數(shù)學史的灌輸下，很多學生都認為數(shù)學是天才

12、才能學習的學科，從而對局部學生的數(shù)學學習產(chǎn)生了負面的影響。2 數(shù)學史的開展2.1 數(shù)學史的開展階段數(shù)學的開展具有階段性，因此研究者根據(jù)一定的原則把數(shù)學史分為了假設干時期。目前學術界通常將數(shù)學的開展劃分為以下5個時期：數(shù)學萌芽期公元前600年以前；初等數(shù)學時期公元前600年至17世紀中葉；變量數(shù)學時期17世紀中葉至19世紀20年代；近代數(shù)學時期19世紀20年代至第二次世界大戰(zhàn)；現(xiàn)代數(shù)學時期20世紀40年代以來。2.2 數(shù)學的開展史古代史古希臘曾有人寫過幾何學史 ，但未能流傳下來。5世紀普羅克洛斯對歐幾里得的幾何原本第一卷的注文中還保存有一局部資料。中世紀阿拉伯國家的局部傳記作品和數(shù)學著作中，講述

13、到一些數(shù)學家的生平和其他有關數(shù)學史的材料。12世紀時，古希臘和中世紀阿拉伯數(shù)學書籍傳入西歐。這些著作的翻譯既是數(shù)學研究，也是對古典數(shù)學著作的整理和保存。1556年，英國數(shù)學家用英語寫成了根底算術和代數(shù)教科書知識寶庫。近代史從18世紀，由C.博絮埃、J.蒙蒂克拉、A.C.克斯特納同時開場，而以蒙蒂克拉1758年出版的數(shù)學史17991802年又經(jīng)拉朗德增補為代表。從19世紀末起，研究數(shù)學史的人逐漸增多，斷代史和分科史的研究也漸漸展開，1945年以后，更是有了新的開展。19世紀末以后的數(shù)學史研究可以分為以下幾個方面。1通史研究代表作可以舉出M.B.康托爾的數(shù)學史講義以及C.B.博耶、D.E.史密斯、

14、洛里亞等人的著作。法國的布爾巴基學派寫了一部數(shù)學史收入數(shù)學原理，以尤什凱維奇為代表的聯(lián)學者和以彌永昌吉、伊東俊太郎為代表的日本學者也都有多卷本數(shù)學通史出版。1972年美國M.克萊因所著的古今數(shù)學思想一書，是70年代以來的一部佳作。2古希臘史許多古希臘數(shù)學家的著作被譯成了現(xiàn)代文字，在這方面作出成績的有胡爾奇、J.L.海貝格、T.L.希思等人。洛里亞和希思還寫了古希臘數(shù)學通史。20世紀30年代起，著名的代數(shù)學家德瓦爾登在古希臘數(shù)學史方面也作出了成績。60年代以來匈牙利A.薩博的工作則更為突出，他從哲學史出發(fā)論述了歐幾里得公理體系的起源。3古埃及史把巴比倫的楔形文字泥板算書和古埃及的紙草算書譯成現(xiàn)代

15、文字是很困難的工作。查斯和阿奇博爾德等人都譯過紙草算書，而諾伊格鮑爾鍥而不舍數(shù)十年對楔形文字泥板算書的研究則更為有名。他所著的楔形文字數(shù)學史料研究、楔形文字數(shù)學書都是這方面的權威性著作。他所著古代精細科學一書，聚集了半個世紀以來關于古埃及和巴比倫數(shù)學史的研究成果。德瓦爾登的科學的覺醒一書，則又加進了古希臘數(shù)學史，成為古代世界數(shù)學史的權威性著作之一。4斷代史德國數(shù)學家C.F.克萊因著的19世紀數(shù)學開展史講義一書，是斷代體近現(xiàn)代數(shù)學史研究的開端，它成書于20世紀，但其中所反映出來的對數(shù)學的看法卻大局部是19世紀的。直到1978年法國數(shù)學家讓亞歷山大歐仁迪厄多所寫的17001900數(shù)學史概論出版前，

16、斷代體數(shù)學史專著并不多，但卻有C.H.H.外爾寫的半個世紀的數(shù)學之類的著名論文。對數(shù)學各分支的歷史，從概率論、數(shù)論，直到流形概念、希爾伯特數(shù)學問題的歷史等，有多種專著出現(xiàn)，并且不乏名家手筆。許多著名數(shù)學家參與了數(shù)學史的研究，可能是基于J.-H.龐加萊的以下信念，即:如果我們想要預見數(shù)學的將來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)狀，或如H.外爾所說的：如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立和開展的概念方法和結果，我們就不可能理解近50年來數(shù)學的目標，也不可能理解它的成就。5數(shù)學家傳他們的全集與選集的整理和出版，是數(shù)學史研究的大量工作之一。此外還有多種數(shù)學經(jīng)典論著選讀的出現(xiàn)，記錄了歷代數(shù)學家成名之作的

17、珍貴片斷。6數(shù)學雜志最早出現(xiàn)于19世紀末葉，M.B.康托爾和洛里亞都曾主編過數(shù)學史雜志，最有名的是埃斯特勒姆主編的數(shù)學寶藏?，F(xiàn)代則有國際科學史協(xié)會數(shù)學史分會主編的國際數(shù)學史雜志。外國史在17、18世紀以前，三角學在歐洲已有所開展。就以三角學的名字而言，是德國數(shù)學家畢的斯克斯( B. Pitiscus, 1561-1613 )在 1595 年出版的三角學，或解三角形五卷( Trigonometriae Sive, De dimensione Triangulor Libriquinque)中，首先提出來的，解釋說：Trigonometriae est doctrina dedimausione

18、triangulaum(三角學就是解三角形的學說)。其Trigonometriae一詞是由拉丁文trigonon(三角形)及metron(測量)兩詞所組成，而這兩詞是由希臘文(三角形)及(測量)演變來的。如將trigonometriae直譯為漢語，應是三角形的測量。例如大測中所說大測者，測三角形之法也。，大於他測，故名大測。假設以近代術語來表示，當為解三角形。三角學雖然起源很早，但其名稱卻形成較晚，由其名稱的形成來分析，三角形的測量或解三角形也是三角學的起源之一。在中國，三角學一名是由三角算法平三角弧三角等名稱漸漸演變而來的。三角學的開展，由起源迄今差不多經(jīng)過了三四千年之久，在古代，由於古代天

19、文學的需要，為了計算*些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學古代平面三角學；雖然古代球面三角學的開展早于古代平面三角學，但古代平面三角學卻是古代球面三角學的開展根底。在古希臘，為了便于觀察天體的運行及解球面三角形，著名天算家托勒密(Ptolemy,約87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,約公元前180-125)的根底上，也編制了所謂弦表，他借助于幾何知識，編制了從 0到 90每隔(1/2)弧的弦長表，在編制中，也曾發(fā)現(xiàn)一些球面三角學與平面三角學的關系式，并且計算過 (90)

20、 弧的弦長；可是，希臘人卻未引用余弧的弦或余弦這類名稱。8-12世紀，希臘文化傳入印度以及阿拉伯，在這些國家里，不但提出正弦一詞，還以幾何方式定義了余弦線正切線余切線以及正矢線的意義，并編制了各種三角表；其編制方法雖不一樣，但編制的數(shù)值卻相當精細，對三角學提供了不少奉獻，阿拉伯天文學家納速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作論四邊形里，首先把三角學從天文學中分割出來，看作為一門獨立的學科。12-15世紀，三角學傳入歐洲，德國著名數(shù)學家列吉奧蒙坦(Regiomontanus,1436-1476) 興納速拉丁一樣，也把三角學看作一門獨立學科，著有論各種三角

21、形 (De triangulis omnimodis)，其中重點討論了三角形的解法，并編制了十分精細的正弦表，還創(chuàng)造了一些三角公式，對三角學理論提高到一定的水平，為三角學開展起到了不可無視的作用。中國史中國以歷史傳統(tǒng)悠久而著名于世界，在歷代正史的律歷志備數(shù)條經(jīng)常論述到數(shù)學的作用和數(shù)學的歷史。例如較早的漢書律歷志說數(shù)學是推歷、生律、 制器、 規(guī)圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量，探賾索穩(wěn)，鉤深致遠，莫不用焉。隋書律歷志記錄了圓周率計算的歷史，記載了祖沖之的光芒成就。歷代正史列傳中，有時也給出了一些數(shù)學家的傳記，正史的經(jīng)籍志則記載有數(shù)學書目。在中國古算書的序、跋中，常常會出現(xiàn)數(shù)學史的容。如：徽注九章

22、算術序中曾談到九章算術形成的歷史；王孝通上緝古算經(jīng)表中曾對徽、祖沖之等人的數(shù)學工作進展了評論；祖頤為四元玉鑒所寫的序文中講述了由天元術開展為四元術的歷史。宋刊本數(shù)術記遺之后附錄有算學源流，這是中國，也是世界上最早用印刷術保存的數(shù)學史資料。程大位算法統(tǒng)宗書末附有算經(jīng)源流，記載了宋明間的數(shù)學書目。以上所述都屬于零散的片斷資料，對中國古代數(shù)學史進展較為系統(tǒng)的研究和整理，則是在乾嘉學派的影響下，清代中晚期進展的。主要有：對古算書的整理和研究，算經(jīng)十書漢唐間算書)和宋元算書的校訂、注釋和出版；編輯出版了疇人傳數(shù)學家和天文學家的傳記，它肇自黃帝，迄于昭清代，凡為此學者，人為之傳，它是由阮元、銳等編輯的17

23、951799。其后，羅士琳作補遺1840，諸可寶作疇人傳三編1886，黃鐘駿又作疇人傳四編1898。疇人傳，實際上就是一部人物傳記體裁的數(shù)學史。收入人物多，評論允當，資料豐富，完全可以和蒙蒂克拉的數(shù)學史相媲美。利用現(xiàn)代數(shù)學概念，對中國的數(shù)學史進展研究和整理，從而使中國數(shù)學史研究建立在現(xiàn)代科學方法之上的學科奠基人，是儼和錢寶琮。他們都是從五四運動前后開場，搜集古算書，進展考訂、整理，然后開展研究工作的。經(jīng)過半個多世紀，儼的論文自編為中算史論叢15集，19541955，錢寶琮則有錢寶琮科學史論文集1984行世。從20世紀30年代起，兩人都有通史性中國數(shù)學史專著出版，儼有中國算學史1937、中國數(shù)學

24、大綱1958；錢寶琮有中國算學史上，1932并且主編了中國數(shù)學史1964。錢寶琮校點的算經(jīng)十書1963和上述各種專著一樣，都是權威性的著作。從19世紀末，就有人偉烈亞力、赫師慎等用外文發(fā)表中國數(shù)學史方面的文章。20世紀初日本人三上義夫的數(shù)學在中國和日本的開展，以及50年代約瑟在其巨著中國科學技術史中對中國的數(shù)學史進展了全面的介紹。有一些中國的古典算書已經(jīng)有英、法、日、俄、德等文字的譯本。在英、美、日、俄、法、比利時等國都有人直接用中國古典文獻進展中國數(shù)學史的研究，以及和其他國家、地區(qū)數(shù)學史的比擬研究。2.3 數(shù)學史上的三次危機無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)第一次數(shù)學危機大約在公元前5世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導致了

25、畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然和社會中不變因素的研究，把天文、幾何、算術、音樂稱為四藝，在其中追尋宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為：宇宙間的一切事物都可以歸結為整數(shù)或者整數(shù)之比，畢達哥拉斯學派的一項重大奉獻就是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)有些直角三角形的斜邊并不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比(不可通約)的情形，如直角邊長都為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸碰了畢氏學派的根本信條，引起了當時認識上的危機，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。到了公元前370年，畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法把這個矛盾解決了。他處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在了歐幾里得原本第5卷中。歐多克斯和狄德金在1872年

26、給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋根本保持一致。今天中學幾何課本對相似三角形的處理，仍然反映了不可通約量帶來的*些困難和微妙之處。第一次的數(shù)學危機對古希臘的數(shù)學觀點有著極大的沖擊，這說明幾何學的*些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數(shù)或整數(shù)比來表示，反之卻可以由幾何量來表示，整數(shù)的權威地位開場動搖，幾何學的身份卻升高了。危機也說明了直覺和經(jīng)歷不一定靠得住，推理證明才是最可靠的，從此希臘人開場重視演譯推理，并因此建立了幾何公理體系，這絕對是數(shù)學思想上的一次巨大革命！無窮小是零嗎？第二次數(shù)學危機18世紀，微分法和積分法在生產(chǎn)和實踐中都有了廣泛且成功的應用，大局部的數(shù)學家對這理論的可靠性是毫不疑心的。17

27、34年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表了分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言，他將矛頭指向了微積分的根底無窮小問題，提出了所謂的貝克萊悖論。他指出：牛頓在求*n的導數(shù)時，采用了先給*以增量0，再應用二項式(*+0)n，從中減去*n求得增量，并除以0以求出*n的增量與*的增量之比，然后又讓0消失，這樣得出增量的最終比。在這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)先設*有增量，又令增量為零，即假設*沒有增量。他認為無窮小d*既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒唐的，d*為失去量的靈魂。無窮小量到底是不是零？無窮小及其分析又是否合理？由此引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，引發(fā)了數(shù)學史上的第二次

28、數(shù)學危機。18世紀的數(shù)學思想確實不怎么嚴謹，直觀地強調(diào)形式的計算而無視了根底的可靠。其中特別是：沒有清楚無窮小的概念，從而導致微分、導數(shù)、積分等概念也不清楚，無窮大的概念不清楚，符號的不嚴格使用，發(fā)散級數(shù)求和的任意性，不考慮連續(xù)就進展微分，不考慮導數(shù)和積分的存在性以及函數(shù)能否展成冪級數(shù)等等。直到19世紀20年代，有些數(shù)學家才開場關注于微積分的嚴格根底。從阿貝爾、柯西、波爾查諾、狄里赫利等人的工作開場，到戴德金、威爾斯特拉斯和康托的工作完畢，中間經(jīng)歷了半個多世紀，根本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的根底。悖論的產(chǎn)生第三次數(shù)學危機數(shù)學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊出現(xiàn)的，從整體來看

29、，到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到了許多的數(shù)學分支，并且實際上集合論成了數(shù)學的根底，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然而然地引起了對數(shù)學整個根本構造的有效性的疑心。1897年，福爾蒂揭露了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了與之很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)一個悖論，它除了涉及集合概念本身外沒有涉及到別的概念。羅素悖論曾被多種形式通俗化，其中最著名的是羅素在1919年給出的，它牽涉到*村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了一條這樣的原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里這樣的人刮臉。當人們嘗試答復以下疑問時，就認

30、識到了這類情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉的話，則他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，則他也就不符合他的原則。羅素悖論動搖了整個數(shù)學大廈。無怪乎弗雷格收到了羅素的信之后，在他剛要出版的算術的根本法則中的第2卷末尾寫道：一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的根底垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信竟把我置于這種境地。于是就終結了近12年的刻苦鉆研，成認無窮集合、無窮基數(shù)，仿佛一切災難都出來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學確實定性卻在漸漸地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，真的難說孰真孰假，但

31、又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是嚴密相連的。所以第三次危機外表上是解決了，實質(zhì)上更深刻地以其它形式在延續(xù)著。3 數(shù)學史的重要意義3.1科學意義每一門科學都有開展的歷史，作為歷史上的科學，不僅有其歷史性而且有其現(xiàn)實性。其現(xiàn)實性首先表現(xiàn)在科學概念和方法的延續(xù)性方面，今日的科學研究在一定程度上是對歷史上科學傳統(tǒng)的一種深化與開展，或者是對歷史上的科學難題的解決，因此我們無法割裂科學史與科學現(xiàn)實之間的聯(lián)系。數(shù)學科學有著悠久的歷史，與自然科學相比，數(shù)學更是積累性的科學，概念和方法更具有延續(xù)性，比方古代文明中形成的四則運算法則和十進位值制記數(shù)法，我們今天仍在使用；諸如哥德巴赫猜測、費爾馬猜測等歷史上的

32、難題，一直以來都是現(xiàn)代數(shù)論領域中的研究熱點，數(shù)學傳統(tǒng)和數(shù)學史材料可以在現(xiàn)實數(shù)學研究中獲得開展。國外許多著名的數(shù)學家都具有深厚的數(shù)學史修養(yǎng)或是兼及數(shù)學史研究，并善于從歷史素材中吸取養(yǎng)分，做到古為今用，推出新。中國著名數(shù)學家吳文俊早年在拓撲學研究領域取得了出色的成就，七十年代開場研究中國數(shù)學史，在中國數(shù)學史研究的理論及方法方面開創(chuàng)了新的局面，尤其是在中國傳統(tǒng)數(shù)學機械化思想的啟發(fā)下，建立了被譽作吳方法的關于幾何定理機器證明的數(shù)學機械化方法，他的工作不愧是古為今用，振興民族文化的典?？茖W史的現(xiàn)實性還表現(xiàn)在為我們當前的科學研究提供了經(jīng)歷教訓和歷史借鑒，使我們明確科學研究的方向，少走彎路或錯路，不僅為當今

33、科技開展決策的制定提供了依據(jù)，同樣是我們預見科學未來的依據(jù)。多了解數(shù)學史知識，我們也不會出現(xiàn)諸如解決三等分角作圖等荒唐事，可以防止我們在這樣的問題上浪費時間和精力?？偨Y中國數(shù)學開展史上的經(jīng)歷和教訓，對當今中國數(shù)學開展不無益處。3.2 文化意義美國數(shù)學史家M.克萊因曾說過：一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學活動密切相關。這種關系在我們這個時代尤為明顯。數(shù)學不僅是一種方法、一種語言或一門藝術，數(shù)學更是一門有著豐富涵的知識體系，其容對社會科學家、哲學家、自然科學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時也影響著政治家和神學家的學說。數(shù)學已廣泛地影響著人類的生活及思想，是形成現(xiàn)代文化的重要力量。因

34、而數(shù)學史是從側面反映的人類文化史，又是人類文明史最重要的組成局部。許多歷史學家利用數(shù)學這面鏡子，了解古代其它主要文化的特征和價值取向。古希臘數(shù)學家強調(diào)嚴謹?shù)耐评砗陀纱说贸龅慕Y論，因此他們并不關心這些成果的實用性，而是教育人們?nèi)ミM展抽象的推理，激發(fā)人們對理想與美的追求。通過希臘數(shù)學史的考察，就很容易理解為什么古希臘具有很難被后世超越的優(yōu)美文學、極端理性化的哲學，以及理想化的建筑和雕塑。而羅馬數(shù)學史告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創(chuàng)精神而更注重實用。3.3 教育意義當我們學習了數(shù)學史之后，自然會有一種這樣的感覺：數(shù)學的開展并不合邏輯?；蛘哒f，數(shù)學開展的實際情況與我們今日所學的數(shù)學教科書有很

35、大的不同。我們今日中學所學的數(shù)學容大多屬于17世紀微積分學以前的初等數(shù)學知識，而大學數(shù)學學習的容則根本上是17、18世紀的高等數(shù)學。這些數(shù)學教材已經(jīng)過千錘百煉，是在教育要求與科學性相結合的原則指導下經(jīng)過反復編寫的，是將歷史上的數(shù)學材料按照一定的邏輯構造、學習要求加以取舍編纂而成的知識體系，這樣就必然舍棄了許多數(shù)學方法和概念形成的知識背景、演化歷程和導致其演化的各種因素，因此僅僅依靠數(shù)學教材的學習，難以獲取數(shù)學的原貌和全景，同時無視了那些被歷史淘汰掉的但或許對現(xiàn)實科學有用的數(shù)學材料和方法，而彌補這方面缺乏的最好途徑就是學習數(shù)學史。在一般人看來，數(shù)學是一門枯燥乏味的學科，因而很多人將其視其為畏途。

36、從*種程度上說，這是因為我們的數(shù)學教科書教授的往往是一些死板的、一成不變的數(shù)學容，如果我們在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史容而讓數(shù)學靈活起來，這樣就可以大大激發(fā)學生的學習興趣，同時也有助于學生對數(shù)學方法、概念和原理的理解與認識的深化?？茖W史是一門文理穿插的學科，從當今的教育現(xiàn)狀來看，文科與理科的鴻溝導致了我們的教育培養(yǎng)的人才已經(jīng)越來越不能適應今日自然科學和社會科學高度滲透的現(xiàn)代化社會，正是由于科學史的學科穿插性才能顯示出其在溝通文理科方面的作用。通過數(shù)學史的學習，可以使學數(shù)學的學生在承受數(shù)學專業(yè)訓練的同時，獲得人文科學方面的修養(yǎng)，文科或者其它專業(yè)的學生通過學習數(shù)學史可以了解數(shù)學的概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)

37、。而歷史上數(shù)學家的業(yè)績和品德也會在青少年的人格培養(yǎng)方面發(fā)揮十分重要的作用。中國數(shù)學歷史悠久，14世紀前一直是世界上數(shù)學最興旺的國家，出現(xiàn)過許多出色的數(shù)學家，取得了很多輝煌的成就，交替影響著世界數(shù)學的開展。但由于各種復雜原因，16世紀以后中國落后了，經(jīng)歷了漫長艱巨的開展歷程才慢慢匯入現(xiàn)代數(shù)學的潮流。由于教育上的失誤，導致承受現(xiàn)代數(shù)學文明熏的我們，常常數(shù)典忘祖，對祖國的傳統(tǒng)科學一無所知。數(shù)學史可以使學生了解中國古代數(shù)學的光芒成就，了解中國近代數(shù)學落后的原因、中國現(xiàn)代數(shù)學研究的現(xiàn)狀、以及與興旺國家數(shù)學之間的差距，從而激發(fā)學生的愛國熱情，振興民族的科學。4 為什么數(shù)學教育需要數(shù)學史？4.1數(shù)學家遇到的

38、困難或挫折同樣也會為課堂上的學生所經(jīng)歷米勒認為, 許多重要的數(shù)學概念如此緩慢地進入人類的智力生活, 并遭遇重重阻撓,這對于那些初次遇到這些概念的人, 或試圖把它們教給他人的人來說是極有意義的。意義何在 瓊斯舉例說: 當學生了解到負數(shù)概念開展并被人們承受、 使用和理解經(jīng)過了漫長歲月時,他就不會因自己不理解這個概念而感到特別擔憂。M1 克萊因則堅信, 歷史上大數(shù)學家所遇到的困難,正是學生也會遇到的學習障礙,因而歷史是教學的指南:從一流數(shù)學誕生開場, 數(shù)學家花了 1000年才得到負數(shù)概念, 又花了 1000 年才承受負數(shù)概念,因此我們可以肯定,學生學習負數(shù)時必定會遇到困難, 而且他們克制這些困難的方

39、式與數(shù)學家大致也是一樣的2 3。另一方面,他認為講述數(shù)學家遭遇困難、 挫折、 失敗的經(jīng)歷對學生有著很好的教育意義: / 課本中的字斟句酌的表達, 未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程中的斗爭、 挫折, 以及在建立一個可觀的構造之前,數(shù)學家所經(jīng)歷的艱辛漫長的道路。而學生一旦認識到這些,他將不僅獲得真知灼見,還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣, 并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪。4事實上,數(shù)學史告訴我們:數(shù)學不過是人類的一種文化活動,人人可學, 人人可做,盡管并非人人都有數(shù)學家的才能;而從事這種文化活動的數(shù)學家也是平凡的人, 同樣會遇到困難、 挫折、 失敗。了解這一點, 則學生就不會為自己在學習過程中

40、所遇困難、 挫折和失敗而灰心喪氣,甚至錯誤地認為自己沒有數(shù)學頭腦了。4.2 學生學習數(shù)學的認知過程與數(shù)學史的開展過程相似 早在18 世紀,法國實證主義哲學家、 社會學創(chuàng)始人孔德( A. te, 1798- 1857) 提出, 個體知識的發(fā)生與歷史上人類知識的發(fā)生必然是一致的?？s黎認為,如果孔德的理論正確的話,則數(shù)學史對于數(shù)學教學來說就是一種十分有效、 不可或缺的工具。5 19 世紀, 德國生物學家海克爾( E. Haeckel ,1843- 1919) 提出一個生物發(fā)生學定律:個體發(fā)育史重蹈種族開展史。德國著名數(shù)學家 F. 克萊因( F. Klein, 1849- 1925)認為,數(shù)學教學至

41、少在原則上要遵循這項定律, 因為科學的教學方法只是誘導人去作科學的思考, 而不是一開頭就教人去碰冷漠的、 經(jīng)過科學洗練的系統(tǒng)。按照歷史順序教授數(shù)學,能使學生看清一切數(shù)學觀念的產(chǎn)生是如何緩慢;所有觀念最初出現(xiàn)時,幾乎常是草創(chuàng)的形式,只是經(jīng)過長期改良,才結晶為確定方法,成為大家熟悉的有系統(tǒng)的形式。法國著名數(shù)學家龐加萊( H. Poincar ,1854- 1912) 主數(shù)學課程的容應完全按照歷史開展順序展現(xiàn)給讀者, 他說: 動物學家堅持認為,在一個短時期,動物胚胎的發(fā)育重蹈所有地質(zhì)年代其祖先們的開展歷史。人的思維開展似乎也是如此。教育工作者的任務就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷,迅速通過*些階段

42、而不跳過任何階段。鑒于此,科學史應該是我們的指南。匈牙利著名數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞( G.Plya, 1887 1985)則指出: 只有理解人類如何獲得*些事實或概念的知識, 我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾( H. Freudenthal , 1905 1990) 亦持有類似觀點,稱年輕的學習者重蹈人類的學習過程,盡管方式改變了。 6M.克萊因完全贊同上述各家觀點, 堅信歷史順序是教學的指南,并以此為依據(jù),對美國當時的新數(shù)運動進展了鋒利的批判:數(shù)學家花了幾千年時間才理解無理數(shù),而我們竟貿(mào)然給中學生講戴德金分割。數(shù)學家花了三百年才理解

43、復數(shù), 而我們竟馬上就教給學生復數(shù)是一個有序實數(shù)對。數(shù)學家花了約一千年才理解負數(shù), 但現(xiàn)在我們卻只能說負數(shù)是一個有序自然數(shù)對。從伽利略到狄利克雷, 數(shù)學家一直絞盡腦汁去理解函數(shù)的概念, 但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序對(第一個數(shù)一樣時第二個數(shù)也必須一樣) 來玩弄把戲。從古代埃及人和巴比倫人開場直到韋達和笛卡兒,沒有一個數(shù)學家能意識到字母可用來代表一類數(shù),但現(xiàn)在卻通過簡單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個概念。 M.克萊因指出: 數(shù)學絕對不是課程中或教科書里所指的那種淺薄觀察和尋常詮釋。換句話說,它并不是從顯明表達的公理推演出不可疑心的結論來。 7算術、 代數(shù)、 幾何、 三角和微積分都不是通過操作無意義

44、的符號或按規(guī)則玩弄游戲而產(chǎn)生的。從歷史上看,在曾經(jīng)鼎盛過的數(shù)以百計的文明中,只有一個希臘文明開展起我們今天所崇尚的演繹數(shù)學,這就充分說明: 抽象的、 演繹的數(shù)學并不是自然的,它遠離一般人的思想、 興趣和行為, 是一門高度復雜、 深奧難懂的學科。歷史是一面鏡子。無理數(shù)、 負數(shù)和復數(shù)概念以及微積分等學科的歷史都說明: 數(shù)學家更多地往往是以直觀的方法進展思考, 因而在數(shù)學教學中,直觀方法是主要的,而演繹方法則是一個輔助性的工具。新數(shù)教材把數(shù)學當作一系列嚴密的演繹構造, 無疑是本末倒置的。一些美國學者堅信, 指導個體認知開展的最正確方法是讓他回溯人類的認知開展1152。即使知識點A 在邏輯上先于知識點

45、B,但如果B 在歷史上先于A 出現(xiàn), 則我們?nèi)詰冉藼。4.3 歷史上的數(shù)學問題提供了豐富的社會文化信息美國學者史韋茲( F. J. Swetz) 認為, 用歷史來豐富數(shù)學教學和數(shù)學學習,一個直接的方法是讓學生去解一些早期數(shù)學家感興趣的問題。8這些問題讓學生回到問題提出的時代, 反映當時人們所關心的數(shù)學主題。學生在解決數(shù)世紀以前的數(shù)學問題時,會經(jīng)歷*種沖動和滿足。他主,教師可以搜集歷史上不同時期和不同文化的數(shù)學問題, 并布置給學生去解決、 比擬, 如不同文化背景( 如巴比倫、 中國、 意大利)下的勾股定理應用問題。史氏認為, 從歷史上的數(shù)學問題中, 學生還可以獲得一些文化的和社會的信息。如給船

46、制作帆布, 每塊帆布 1000平方腕尺,帆高與寬之比為1 比3/2 。問帆高為多少從中可以了解到公元前250 年一艘埃及船只桅桿的高度; 當 1蒲式耳小麥值8 里拉時, 面包師傅可制作一塊重6盎司的面包;問:當1 蒲式耳值5 里拉時,一塊面包重幾盎司從中可以推出15 世紀威尼斯一塊面包的大小; 一位先生勞動一天,得工錢4 元, 每周付伙食費 8 元; 10 周后他掙得144 元;問他空閑的天數(shù)和勞動的天數(shù)從中可以確定戰(zhàn)后美國人12 小時工作日每小時的薪水,等等。4.4 數(shù)學史與數(shù)學教育課程整合的意義將數(shù)學史與數(shù)學教育課程進展整合, 對強化教師教育課程的整體功能, 促進學生專業(yè)成長, 從而更好地

47、適應根底教育課程改革都具有積極的推動作用。1. 將數(shù)學史與數(shù)學教育課程整合, 提升數(shù)學史的教育價值在數(shù)學專業(yè)中, 數(shù)學史課時普遍比擬少 (約 30-45課時) , 因而只能以粗拙的大線條略帶專題的方式進展教學, 學生難得有深入思考的時機。至于讓學生考察數(shù)學史在數(shù)學教育中的價值與運用就更加不可能。這就導致了一種為難局面: 師生學了數(shù)學史, 從教后卻不能運用數(shù)學史搞好數(shù)學教育、教學工作。將數(shù)學史與數(shù)學教育課程整合, 即對數(shù)學史 、數(shù)學教育學概論 、數(shù)學教學法 等課程進展整合性思考, 分析數(shù)學史與數(shù)學教育的深刻聯(lián)系, 適當調(diào)整課程容與課程安排, 以提升數(shù)學史的教育價值, 為德育教育提供舞臺。2. 強

48、化教師教育課程的整體功能, 促進學生的專業(yè)成長將數(shù)學史與數(shù)學教育課程進展整合, 可以提升數(shù)學教育的文化價值, 強化教師教育課程的整體功能: 既優(yōu)化提升了數(shù)學教育類課程的教育效果, 又延伸并效勞于根底教育數(shù)學課程改革, 促進學生的專業(yè)成長, 到達提高學生 數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)與教師職業(yè)素養(yǎng)的目的。3. 滿足普通高中數(shù)學新課程標準的需求在普通高中數(shù)學新課程標準的視域下, 將數(shù)學史與數(shù)學教育課程進展整合, 改革數(shù)學史課程的設置與教學方案, 加強數(shù)學教育整體功能的發(fā)揮, 有利于探尋為普通高中數(shù)學課程標準效勞的數(shù)學史教育途徑, 推進數(shù)學教育更好地適應根底教育課程改革, 從而推進自身改革的安康開展。95 數(shù)學史的

49、教育價值5.1 有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣興趣是最好的教師。數(shù)學的歷史背景通常是有趣并且富有啟發(fā)意義的，它對于提高學生學習數(shù)學的積極性是非常有效的。希臘著名幾何難題、阿基米德、卡丹、伽羅瓦、高斯等人的故事都是課堂上的精彩有趣的歷史話題。在眾多的情境中, 可以讓學生明白數(shù)學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷進步的生動有趣的學科。10讓學生了解數(shù)學歷史文化開展的燦爛進程和中國現(xiàn)代數(shù)學的開展，領悟數(shù)學家勇于探索、刻苦鉆研、為之奮斗終身的精神, 一定會被數(shù)學家的驚人毅力、執(zhí)著精神以及他們?nèi)〉玫木薮蟪删退鄯?。典范的力量是無窮的。瀏覽一下眾多歷史偉人的傳記，可以從中發(fā)現(xiàn),在影響它們成功的眾多因素中

50、，總是包括*些出色的先驅。特別是對那些最活潑、最具創(chuàng)造性人生的人，其作用更為明顯。5.2 有利于幫助學生理解數(shù)學讀史使人明知，數(shù)學專業(yè)知識與歷史知識是互補的，專業(yè)知識的學習需要歷史知識幫助分析與思考。通過數(shù)學史的學習，能夠幫助學生更好地理解數(shù)學。數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學的時候，是熾熱地思考著的，一旦研究完畢，呈現(xiàn)在我們面前的則是冰冷的美麗形式。因此我們要通過數(shù)學史的說明，了解當時的數(shù)學家為什么和如何研究數(shù)學。一個明顯的例子是古希臘的演繹幾何，為什么古希臘人要用公理化方法展開數(shù)學？他們所處的時代背景如何中國古代數(shù)學的特點和古希臘數(shù)學的特征有何不同？弄清這些問題，對學生理解數(shù)學很有好處。至于數(shù)學教師，如果沒

51、有這樣的修養(yǎng)，顯然很難把數(shù)學課上好。5.3 有利于培養(yǎng)數(shù)學思維和方法數(shù)學理論的形成和開展不是單純的知識、技巧的堆砌，不是單純的邏輯推導。數(shù)學的每一部重大開展，往往伴隨著科學認識論的突破和新的思想方法的產(chǎn)生。數(shù)學史不僅可以給出*些確定的數(shù)學知識, 而且可以給出相應知識的創(chuàng)造性思維過程。而這些對于學生們的思想方法的形成是有啟發(fā)和培養(yǎng)作用的。它不僅可以讓學生經(jīng)歷探索思維和創(chuàng)造的體驗, 體會數(shù)學創(chuàng)造過程的快樂和艱辛, 而且從中可以獲得數(shù)學思維的規(guī)律和方法的啟迪, 從而實現(xiàn)對數(shù)學知識的深刻理解和靈活運用。波利亞在寫他的方法論巨著數(shù)學與合情推理11一書時，不僅參考了他在教學一線研制的解題表 ，而且運用了大

52、量的數(shù)學歷史文獻 ，M. 克萊因的古今數(shù)學思想更明確地告訴我們：重要的數(shù)學思想，是在數(shù)學歷史上逐漸形成的，他同數(shù)學的開展密不可分?？傊?，數(shù)學史的數(shù)學思想、方法的含量，是極為豐富的，致使人們把數(shù)學史作為數(shù)學方法論研究的一個重要分支。5.4 從數(shù)學開展的本質(zhì)對數(shù)學教育提供理論指導我們知道，人類的認識規(guī)律是根本一致的，研究前人在學習數(shù)學，發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的困難和錯誤也是現(xiàn)在學生學習的困難和易犯錯誤。從這個角度考慮改革數(shù)學教學。這是最本質(zhì)的改良與影響。假設干年前，美國數(shù)學協(xié)會(MAA)下屬的數(shù)學教育委員會曾發(fā)出題為呼喚變革：關于數(shù)學教師的數(shù)學修養(yǎng)的建議書，其中呼吁所有未來的教師注意培養(yǎng)自身對各種文化在數(shù)學思

53、想的成長與開展過程中所作的奉獻有一定的鑒賞能力；對來自各種不同文化的個人在古代、近代和當代數(shù)學論題的開展上所作的奉獻有所研究，并對中小學數(shù)學中主要概念的歷史開展有所認識。對于今后的中小學數(shù)學史教學，我們應該將數(shù)學文化盡可能地結合數(shù)學課程的容，選擇介紹一些對數(shù)學開展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學在人類社會進步、人類文明開展中的作用，同時也反映社會開展對數(shù)學開展的促進作用。使學生通過數(shù)學文化的學習，了解人類社會開展與數(shù)學開展的相互作用，認識數(shù)學發(fā)生、開展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學的角度認識客觀世界的過程；開展求知、勇于探索的情感和態(tài)度；體會數(shù)學的系統(tǒng)性、嚴密性、應用的廣泛性，了解數(shù)學真理的相

54、對性；提高學習數(shù)學的興趣。5.5 有利于辯證唯物主義世界觀的形成眾所周知，數(shù)學部充滿著矛盾，充滿著辯證法。從數(shù)的角度看，數(shù)有大小、整數(shù)與分數(shù)，運算有加與減、乘與除，隨之有正與負、有理與無理、實與虛。從形的角度看，有直與曲、凸與凹、連續(xù)與離散，又開展到常量與變量、微分與積分、收斂與發(fā)散、有窮與無窮、準確與模糊。正是這些矛盾的運動和轉化，才推動了數(shù)學的開展。數(shù)學史上的 三次數(shù)學危機 便是這些矛盾運動的縮影。將這些豐富的素材穿插到數(shù)學教學中，會使學生感到數(shù)學是有血有肉的，對他們的辯證唯物主義世界觀的形成會起到促進作用。125.6 有利于對學生進展愛國主義教育結合數(shù)學學科特點，對學生進展思想品德教育，

55、也是數(shù)學教學的目標之一；然而空洞地說教只會使學生產(chǎn)生反感，教師在課堂上給學生講述數(shù)學家艱辛創(chuàng)業(yè)、獻身數(shù)學研究的光芒事跡，既可以滿足學生的心理需求，也可以對學生進展愛國主義教育。中國是世界數(shù)學大國，中國的數(shù)學成就之高之大世界公認。歷史上許多優(yōu)秀的數(shù)學家為了振興中國的數(shù)學，不懈努力奮斗，甚至奉獻終身。景潤在中學時代從當時國立清華大學航空系主任云教授那里聽到了關于哥德巴赫猜測這一引人入勝的故事后，這顆皇冠上的明珠深深地吸引著他使他獻身于數(shù)論研究。在深入鉆研了當代很多著名數(shù)論論文后，奮然向哥德巴赫猜測的頂峰攀登，終于在(1 + 2) 的證明上取得重大突破。華羅庚之所以能夠以初中學歷成為世界級的數(shù)學家和

56、美、德等多國科學院的院士，主要是靠他堅強的意志和為國爭光的奮斗目標以及為科學獻身的精神。飽含熱愛祖國的赤子之心，他毅然放棄國外的優(yōu)厚待遇，回到祖國，為祖國培養(yǎng)了一批又一批年輕的數(shù)學家。還有步青教授在中學時就繼承了數(shù)學教師的思想：為了救亡圖存，必須振興科學；數(shù)學是科學的開路先鋒，為了開展科學，必須學好數(shù)學。從此他便立下了讀書不忘救國，救國不忘讀書的座右銘。在日本獲得理學博士學位后，絕日本東京北帝國大學的聘請，和日本妻子一同返回祖國，為中國近代數(shù)學的開展作出了巨大奉獻。5.7 人文教育價值數(shù)學史由折反復的事件構成，事由人所為；開展的每個時期都充滿了可歌可泣的故事。為了使學生們學好幾何，不怕繁瑣和勞

57、累，堅持苦干許多年，終于把大量零碎無序的幾何事實和他從教師亞里士多德那里學來的形式邏輯串聯(lián)起來的歐幾里得；頂住各方面的壓力，甚至不顧教師克隆尼克的堅決反對，創(chuàng)造和堅持推進集合論的康托；堅持只身奮斗，舍得一身剮，敢把皇帝歐氏幾何是唯一正確的幾何的傳統(tǒng)觀念拉下馬，創(chuàng)立和維護新幾何的羅巴切夫斯基；數(shù)學情種艾爾德什；數(shù)學英雄歐拉；堅決保衛(wèi)數(shù)學完整性的大師級數(shù)學家希爾伯特； 靠數(shù)學鍛造的美麗心靈，從而起死回生的數(shù)學家納什；具有伯樂的敏銳眼光，發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)了中國數(shù)學大師華羅庚和印度數(shù)學奇才拉瑪努金的英國偉大的數(shù)學家哈代；邏輯大師哥德爾；當代最偉大的世界數(shù)學大師省身他們的業(yè)績、他們的精神、他們的奮斗歷程，決不

58、單單屬于一個國家、一個民族，而是全世界的文化遺產(chǎn)，具有無限的教育價值。以此為素材，實施數(shù)學家人品教育，數(shù)學情感教育，數(shù)學人文精神教育，是大有可為的。5.8 有利于提高學生的美學修養(yǎng)數(shù)學美指的是數(shù)學具有簡潔性、對稱性、和諧性和奇異性，無數(shù)數(shù)學家都為這種數(shù)學的美所折服。能欣賞美的事物是人的一個根本素質(zhì)，數(shù)學史的學習可以引導學生領悟數(shù)學美。很多著名的數(shù)學定理、原理都閃現(xiàn)著美學的光芒，例如畢達哥拉斯定理勾股定理是初等數(shù)學家都十分熟悉的一個非常簡潔而深刻的定理，有著極為廣泛的應用。兩千多年來，它激起了無數(shù)人對數(shù)學的興趣，意大利著名畫家達芬奇、印度國王Bhaskara、美國第20任總統(tǒng)Carfield等都

59、給出過它的證明，充分展現(xiàn)了這個定理的無窮魅力。黃金分割同樣十分優(yōu)美和充滿魅力，早在公元前6世紀它就為畢達哥拉斯學派所研究，近代以來人們又驚訝地發(fā)現(xiàn)，它與著名的斐波那契數(shù)列有著十分密切的在聯(lián)系。同時，在感慨和欣賞幾何圖形的對稱美、尺規(guī)作圖的簡單美、體積三角公式的統(tǒng)一美、非歐幾何的奇異美等時，可以形成對數(shù)學良好的情感體驗，數(shù)學素養(yǎng)和審美素質(zhì)也得到了提高，這是德育教育一個新的突破口。6 如何將數(shù)學史與數(shù)學教育結合數(shù)學史和數(shù)學教育怎么結合，在數(shù)學教育界也有很多研究。在此，我按照數(shù)學史知識在數(shù)學教育中的作用將其分為兩種類型：輔助型手段和解釋型手段。輔助型手段在研究數(shù)學史和數(shù)學教育的關系時，我們往往把數(shù)學

60、史知識當作史料介紹給學生，希望學生能夠從中吸取經(jīng)歷，或激發(fā)學生學習數(shù)學的的興趣。常常采取的手段有：1數(shù)學史知識以閱讀材料或附錄的形式在章末出現(xiàn)，這在國外已有成功的經(jīng)歷。它的優(yōu)點是既不打破原教材的格局，又能發(fā)揮數(shù)學史料的作用。2以選修課的形式出現(xiàn)，介紹世界數(shù)學史，使學生開闊眼界。3經(jīng)常舉辦一些數(shù)學史的專題講座。選擇一些情節(jié)生動、開展曲折具有教育意義的專題。13在此學習數(shù)學史料就當做了進展數(shù)學教育的輔助手段。還有一些學者認為需要改革現(xiàn)行的應試教育考試制度，大力推行素質(zhì)教育，這樣能促使學生更好地學習數(shù)學史知識。對此我不敢茍同，畢竟數(shù)學史和數(shù)學教育還是有主次之分的。不管是哪種方法他們都有一個共同的特點