等差等比數(shù)列

1、等差等比數(shù)列題目:設S是等比數(shù)列faj的前n項和，S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:玄2亦5成等差數(shù)列一、闡述題意題目結構簡單，所給條件簡潔明了：已知一個數(shù)列為等比數(shù)列，以及S3,S9,S6之間的關系,求證數(shù)列中的三項a2,a8,a5成等差數(shù)列.我們能運用等比數(shù)列前n項和以及等比數(shù)列的相關性質.難度是中等難度，學生都能很快的找到方法進行解答難點位置:等比數(shù)列前n項和的運用.對于數(shù)列中下標的敏感程度.易錯點：運用等比數(shù)列前n項和公式時忽略對于q=1的討論.二、題目背景題目所涉知識點等比數(shù)列前n項和公式的運用等比數(shù)列的通項公式證明等比數(shù)列的方法.該題考察蘇教版必修5中數(shù)列這一章中等差等比數(shù)的相關知

2、識.等差等比數(shù)列是高考中的C級要求，所以要求學生在掌握相關知識的同時會分析解決該類問題.命題者意在考察學生對等差等比數(shù)列中知識的掌握運用程度，同時也考察學生思維的嚴謹性.三、題目解答解：設數(shù)列aj的首項為ai,公比為q/S3,S9,S6成等差數(shù)列,法一：當qi時，S3=3ai,S6=6ai,S9ai.18a1=3a16a1.a1=0(舍去):S9=41qai(1-q3)ai(1-q6)TOCo1-5hzS3:&:1-q1-qa11-q9a11-q3a1-q621-q1-q1-q化簡得2q6-q3-1=0.q3-1或q3=1(舍去)2a5-a2qa2,a-a2qa2,2a_a2a524.a2,a

3、8,a5成等差數(shù)列.法二：將ai+a2a3看成一個整體由等比數(shù)列的性質:ai+a2a3,a4+a5-a6,a?+a8a成等比數(shù)列，公比為q3.2aia2as1+q3q6二Qa?a32+q3化簡得a1a2as2q6+q3=0a1a2a3=at1qq2=0.q3=冷（后面的證明同上）.法三：；S3,S9,S6成等差數(shù)列,.2a1a2aJUa8a=aia2a3亠i&aa6.a4a5a62a7a8a9=0a4a5as12q3=02a4a5aa41qq-0.q、-1（后面的證明同上）2思考能否不求q就可得出結論呢？法四：2q6-q3-1=0.2q7-q4-q=074.2qqq.2a1q7a1q4a1q2

4、a8a2a5四、總結提煉該題中所涉及的數(shù)學思想方法有分類討論，整體代換等數(shù)學思想方法，考察學生對這部分基礎知識的掌握以及學生的計算能力.解題時從題目已知條件出發(fā)，根據(jù)所掌握的公式和性質進行化簡整理，便可得到結論五、題目變式變式一:將題中條件結論互換，是否成立？若成立證明之；若不成立，能否通過增加條件或者改變數(shù)據(jù)使之成立？變式二：設Sn是等比數(shù)列心的前n項和，若存在三項sm,Sn,Sp1_m：n：p成等差數(shù)列，求證：江？中存在三項成等差數(shù)列.試舉出其中三項(只需舉一例即可)解：q=1時顯然成立當.時c內(1qn)ai(1qm)ai(1qp)當q-1時，2+1q1-q1-q化簡得：2qn=qm+q

5、p兩邊同時乘以a1得2a1qn=a1qm+a1qp即2an1二am1-ap1即證六、教學設計yn*對于法一學生初遇該題時定會直接運用等比數(shù)列的前n項和公式Sn=a1_q,1-q通過化簡直接得到2q6=q3，1,.q3二一丄或q3=1.接下來討論q3=-1時證得結論22可是當討論q3=1時發(fā)現(xiàn)結論并不成立，因此重新審視解答過程發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列n的前n項和公式Sn1-q用的過于草率，進而討論q=1和q兩種情況.我們1-q在授課過程中往往發(fā)現(xiàn)講過好幾遍的題目學生仍舊要錯，這是因為學生的做題是思維的一種慣性，如果單純的靠我們滿堂灌學生很難改變這種慣性，我們不妨讓學生先做錯，讓學生自己在解答過程中發(fā)現(xiàn)錯誤，進而恍然大悟，這樣可以完善他們的知識結構，下次遇到這種情況時不會再走同樣的彎路.對于法二.本人一直認為數(shù)列可以體現(xiàn)數(shù)學中的對稱美，對于S3,S9,S6中的下標3,6,9是一個等差數(shù)列，P,a4+a5a6,a?+a89是很對稱的三個式子，因而可以想