專(zhuān)訓(xùn)三角形的三種重要線段的應(yīng)用

1、專(zhuān)訓(xùn)三角形的三種重要線段的應(yīng)用名師點(diǎn)金：三角形的角平分線、中線和高是三角形中三種重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我們需要從不同的角度認(rèn)識(shí)這三種線段 三角形的角平分線的應(yīng)用eq avs4al(類(lèi)型1) 三角形角平分線定義的直接應(yīng)用1(1)如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點(diǎn)，且1234，以AE為角平分線的三角形有_；(2)如圖，已知AE平分BAC，且12415，計(jì)算3的度數(shù)，并說(shuō)明AE是DAF的角平分線(第1題) eq avs4al(類(lèi)型2) 求三角形兩內(nèi)角平分線的夾角度數(shù)2如圖，在ABC中，BE，CD分別為其角平分線且

2、交于點(diǎn)O.(1)當(dāng)A60時(shí)，求BOC的度數(shù)；(2)當(dāng)A100時(shí)，求BOC的度數(shù)；(3)當(dāng)A時(shí)，求BOC的度數(shù)(第2題) 三角形的中線的應(yīng)用eq avs4al(類(lèi)型1) 求與中線相關(guān)線段長(zhǎng)的問(wèn)題3如圖，AE是ABC的中線，已知EC4，DE2，則BD的長(zhǎng)為()A2 B3 C4 D6(第3題)(第4題)4如圖，已知BECE，ED為EBC的中線，BD8，AEC的周長(zhǎng)為24，則ABC的周長(zhǎng)為()A40B46C50D565在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成15 cm和6 cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)eq avs4al(類(lèi)型2) 求與中線相關(guān)的面積問(wèn)題6如圖，在A

3、BC中，D為BC上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AD，BE的中點(diǎn)，且SABC8 cm2，則圖中陰影部分的面積是_(第6題)7.操作與探索：在圖中，ABC的面積為a.(第7題)(1)如圖，延長(zhǎng)ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CDBC，連接DA，若ACD的面積為S1，則S1_(用含a的式子表示)；(2)如圖，延長(zhǎng)ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CDBC，AECA，連接DE，若DEC的面積為S2，則S2_(用含a的式子表示)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，在圖的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BFAB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF，若陰影部分的面積為S3，則S3_(用含a的式子表示) 三角形的高的應(yīng)用eq avs4al(類(lèi)型

4、1) 找三角形的高8如圖，已知ABBD于點(diǎn)B，ACCD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E，則ADE的邊DE上的高為_(kāi)，邊AE上的高為_(kāi)(第8題)eq avs4al(類(lèi)型2) 作三角形的高9【動(dòng)手操作題】畫(huà)出圖中ABC的三條高(要標(biāo)明字母，不寫(xiě)畫(huà)法)(第9題)eq avs4al(類(lèi)型3) 求與高相關(guān)線段長(zhǎng)的問(wèn)題10如圖，在ABC中，BC4，AC5，若BC邊上的高AD4.求：(1)ABC的面積及AC邊上的高BE的長(zhǎng)；(2)ADBE的值(第10題)eq avs4al(類(lèi)型4) 證與高相關(guān)線段和的問(wèn)題11如圖，在ABC中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.試說(shuō)明：DEDFBG.(

5、第11題)eq avs4al(類(lèi)型5) 求與高有關(guān)的面積12如圖，ABC的面積為16，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且BDeq f(1,4)BC，點(diǎn)G是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)H在ABC內(nèi)部，BDGH，且BDGH.則圖中陰影部分的面積是()A3 B4 C5 D6(第12題)答案1解：(1)ABC和ADF(2)因?yàn)锳E平分BAC，所以BAECAE.又因?yàn)?215，所以BAE12151530.所以CAEBAE30，即4330.又因?yàn)?15，所以315.所以23.所以AE是DAF的角平分線2解：(1)因?yàn)锳60，所以ABCACB120.因?yàn)锽E，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq

6、f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)60，所以BOC180(EBCDCB)18060120.(2)因?yàn)锳100，所以ABCACB80.因?yàn)锽E，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)40，所以BOC180(EBCDCB)18040140.(3)因?yàn)锳，所以ABCACB180.因?yàn)锽E，CD為ABC的角平分線，所以EBCeq f(1,2)ABC，DCBeq f(1,

7、2)ACB.所以EBCDCBeq f(1,2)ABCeq f(1,2)ACBeq f(1,2)(ABCACB)90eq f(1,2)，所以BOC180(EBCDCB)180eq blc(rc)(avs4alco1(90f(1,2)90eq f(1,2).點(diǎn)撥：第(1)(2)問(wèn)很容易解決，第(3)問(wèn)就是類(lèi)比前面解決問(wèn)題的方法用含的式子表示3A4A點(diǎn)撥：因?yàn)锳EC的周長(zhǎng)為24，所以AECEAC24.又因?yàn)锽ECE，所以AEBEACABAC24.又因?yàn)镋D為EBC的中線，所以BC2BD2816.所以ABC的周長(zhǎng)為ABACBC241640.故選A.5解：設(shè)ADCDx cm，則AB2x cm，BC(21

8、4x)cm.依題意，有ABAD15 cm或ABAD6 cm，即2xx15或2xx6，解得x5或x2.當(dāng)x5時(shí)，三邊長(zhǎng)為10 cm，10 cm，1 cm；當(dāng)x2時(shí)，三邊長(zhǎng)為4 cm，4 cm，13 cm，而4413，故不成立所以這個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)為10 cm，10 cm，1 cm.62 cm27解：(1)a(2)2a理由：連接AD，由題意可知SABCSACDSAEDa，所以SDEC2a，即S22a.(3)6a8AB；DC9解：如圖(第9題)10解：(1)SABCeq f(1,2)BCADeq f(1,2)448.因?yàn)镾ABCeq f(1,2)ACBEeq f(1,2)5BE8，所以BEeq f(16,5).(2)ADBE4eq f(16,5)eq f(5,4).11解：連接AD，因?yàn)镾ABCSABDSADC，所以eq f(1,2)ACBGeq f(1,2)ABDEeq f(1,2)ACDF.又因?yàn)锳BAC，所以DEDFBG.點(diǎn)撥：“等面積法”是數(shù)學(xué)中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關(guān)系時(shí)，常將線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來(lái)解決12B點(diǎn)撥：設(shè)ABC的邊BC上的高為h，AGH的邊GH上的高為h1，CGH的邊GH上的高為h2，則有hh1h2.SABCeq f(1, 2)BCh16，S陰影SAGHSCGHeq