一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式

1、數(shù)理方程學(xué)院：制冷及低溫工程姓名：趙瑞昌學(xué)號(hào)：120160159 維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式1達(dá)郎貝爾公式在常微分方程的定解問題中，通常是先求方程的通解，然后利用定解條件確定通解所含的任意常數(shù)，從而得到定解問題的解?？紤]無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問題Jd2ud2u=a2,gx0dt2dx2VduuI=申（x）,I=（x）t=0dtt=0作自變量的代換Jg二x+at打二x-at利用復(fù)合函數(shù)的微分法有：TOC o 1-5 h zdududu=aadtdgdqd2ud2ud2ud2u莎=a2（葺2奇*而）d2ud2ud2ud2u冋理有：茶=溶+2研+齊將化為：d=0并將它兩端對(duì)進(jìn)行積分得:=fo（g）其中f0

2、（g）是g的任意函數(shù)，再將此式對(duì)g積分U（Xt）J用）心f2們）二半）+f2們）=f(x+at)+f(x-at)12其中f、f是任意兩次連線可微函數(shù)，式即為方程的含有兩個(gè)任意函數(shù)的12通解。由初始條件可得：f(x)+f(x)=9(x)12af(x)+f2(x)=0(x)通過積分可得：11u(x,t)=9(x+at)+0(x一at)+Jx+(g)dg22ax-at稱此式為一維波動(dòng)方程的達(dá)郎貝爾公式。解的物理意義由于波動(dòng)方程的通解是兩部分f(x+at)與f(x-at)。u=f(x-at)表示了1222以速度a向x軸正方向傳播的行波，稱為右行波。同理，u=f(x+at)表示了以11速度a向x軸負(fù)方向

3、傳播的行波，稱為左行波。由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)(x,t)的值由初始條件在區(qū)間x-at,x+at內(nèi)的值決定，稱區(qū)間x-at,x+at為點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)域，在x-1平面上，它可看作是過點(diǎn)1(x,t)，斜率分別土1為的兩條直線在x軸上截得的區(qū)間。a這里要掌握半無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問題和一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題的解。半限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問題定解問題TOC o 1-5 h zdudu八八宀c、=a，t0,x0(4.8)dtdx0 x0-e(-x),x0考慮定解問題Q2uQ2u=a2,Qt2Qx2一gx0uI=(x),一I=屮(x)x=0Qtt=0它的解可由達(dá)郎貝爾公式得：11U(x,t)=(x+at

4、)+(x-at)+Jx+呷憶)dg。2ax-at一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題定解問題(4.11)(4.12)QuQu沖、八=a2+f(x,t),-gx0Qt2Qx2VQuuI=申(x),一I=(x)x=oQtt=0令u(x,t)=U(x,t)+V(x,t)，可將此定解分解成下面兩個(gè)定解問題:TOC o 1-5 h zd2ud2uc=a2,-sx0Qt2Qx2QuuI=申(x),I=(x)x=0Qtt=0Q2uQ2u中、八=a2+f(x,t),-sx0Qt2Qx2uI=0,QuI=0 x=0Qtt=0其中問題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出：11U(x,t)=(x+at)+Q(x一at)+Jx+a

5、(g)dg。22ax-at對(duì)于問題(II)，有下面重要的定理。定理(齊次化原理)設(shè)(x,t,T)是柯西問題TOC o 1-5 h zd2d2=a2,ttdt2dx2I=0,I=f(X,T)x=Tdtt=T八的解(T0)，則V(x,t)=ft(x,t,T)dT是問題(II)的解。0二三維波動(dòng)方程的柯西問題1三維波動(dòng)方程的泊松公式問題考慮三維波動(dòng)方程的柯d2u/d2ud2ud2u、crr、=a2(+)-gx,y,z0(4.17)dt2dx2dy2dz2duuI=p(x,y,z),I=e(x,y,z)(4.18)It=0dtt=0(1)三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解如果將三維波動(dòng)方程的空間坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示，

6、則波動(dòng)方程化為1ddu1du1d2u(r2)+(sm0)+=r2drdrr2sin0d0r2sin20dp21d2ua2dt24.19)如果波函數(shù)u與0,p變量無關(guān)，而只與變量r,t有關(guān)，即u是所謂球?qū)ΨQ的,這時(shí)式可簡(jiǎn)化為：1ddu1d2uTOC o 1-5 h z(r2)=r2drdra2dt2d2ud2udu=a2(r+2)dt2dr2dr即有：d2(ru)d2(ru)=a2-dt2dr2這是關(guān)于的一維波動(dòng)方程，其通解為：ru(r,t)=f(r+at)+f(r-at)1 從而ru(r,t)=f(r+at)+f(r-at)即得到三維波動(dòng)方程關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的r12解。(2)三維波動(dòng)方程的泊松

7、公式d2U2Ud2Ud2U、cn、=a2(+)-gx,y,z0(4.17)dt20 x2dy2dz26uuI=申(x,y,z),I=(x,y,z)(4.18)t=oatt=o的解為：u(x,y,z,t)=?JJ點(diǎn)，幾匚)ds+丄ds，稱它為三維波動(dòng)方程柯4兀aatat4兀aatSMSMatat西問題的泊松公式。這里要求掌握三維波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式的推導(dǎo)過程。2降維法利用三維波動(dòng)方程柯西問題的泊松公式來導(dǎo)出二維波動(dòng)方程柯西問題的解。這種利用高維問題的解推導(dǎo)低維問題的方法稱之為降維法。二維波動(dòng)方程的柯西的問題：a2uz62ua2u、c=a2(+)gx,y,z0at2ax2ay2u1=(x，y1=e(x，y)It=0att=0令u(x,y,z)=i_(x,y,z)，將上式的解視為特殊的三維問題，最后得到問題的解為:u(