材料力學(xué)第五版 第七章 應(yīng)力狀態(tài) 答案

1、第七章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容1教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本章學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)力狀態(tài)的概念及其研究方法；會(huì)從具有受力桿件中截取單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況；會(huì)計(jì)算平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力；掌握平面應(yīng)力狀態(tài)和特殊空間應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力、主方向的計(jì)算，并會(huì)排列主應(yīng)力的順序；掌握廣義胡克定律；了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)比能的概念；了解主應(yīng)力跡線的概念。掌握強(qiáng)度理論的概念。了解材料的兩種破壞形式（按破壞現(xiàn)象區(qū)分）。了解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、破壞條件、強(qiáng)度條件。掌握常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力。了解莫爾強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)。會(huì)用強(qiáng)度理論對(duì)一些簡(jiǎn)單的桿件結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。2教學(xué)內(nèi)容應(yīng)力狀態(tài)的概念；0平面應(yīng)力狀

2、態(tài)分析;三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力;廣義胡克定律體應(yīng)變；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能；梁的主應(yīng)力主應(yīng)力跡線的概念。講解強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式。講解常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)，并推導(dǎo)其破壞條件從而建立強(qiáng)度計(jì)算方法。介紹幾種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。簡(jiǎn)單介紹莫爾強(qiáng)度理論。二、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力計(jì)算，主應(yīng)力及主方向的計(jì)算，最大剪應(yīng)力的計(jì)算。2、廣義胡克定律及其應(yīng)用。難點(diǎn)：1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，從具體受力桿件中截面單元體并標(biāo)明單元體上的應(yīng)力情況。2、斜截面上的應(yīng)力計(jì)算公式中關(guān)于正負(fù)符號(hào)的約定。3、應(yīng)力主平面、主應(yīng)力的概念，主應(yīng)力的大小、方向的確定。4、廣義胡克定律及

3、其應(yīng)用。強(qiáng)度理論的概念、常用的四個(gè)強(qiáng)度理論的觀點(diǎn)、強(qiáng)度條件及其強(qiáng)度計(jì)算。常用四個(gè)強(qiáng)度理論的理解。危險(xiǎn)點(diǎn)的確定及其強(qiáng)度計(jì)算。三、教學(xué)方式采用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考讓學(xué)生回答問(wèn)題。建議學(xué)時(shí)10學(xué)時(shí)五、講課提綱1、應(yīng)力狀態(tài)的概念所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstressesatagivenpoint),是指過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合。應(yīng)力狀態(tài)分析(AnalysisofStress-State)是用平衡的方法，分析過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的相互關(guān)系，確定這些應(yīng)力的極大值和極小值以及它們的作用面。一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，可用同一點(diǎn)在三個(gè)相互垂直的截面上的應(yīng)力來(lái)描述，通常是用

4、圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)微小正六面體(簡(jiǎn)稱單元體element)來(lái)表示。單元體的表面就是應(yīng)力作用面。由于單元體微小，可以認(rèn)為單元體各表面上的應(yīng)力是均勻分布的，而且一對(duì)平行表面上的應(yīng)力情況是相同的。例如，圖71截面mm上ad點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示方式，如圖（c）所示。(d)圖7.172節(jié)中的分析將表明，一點(diǎn)處不同方向面上的應(yīng)力是不相同的。我們把在過(guò)一點(diǎn)的所有截面中，切應(yīng)力為零的截面稱為應(yīng)力主平面，簡(jiǎn)稱為主平面（principalplane）。例如，圖（c）中a、d單元體的三對(duì)面及b、c單元體的前后一對(duì)表面均為主平面。由主平面構(gòu)成的單元體稱為主單元體（principalelement），如圖（c）中的a、d單元

5、體。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向。簡(jiǎn)稱主方向（principal(a)(b)(c)direction）。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力（principalstresss）,如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學(xué)方法可以證明，物體中任一點(diǎn)13總可找到三個(gè)相互垂直的主方向，因而每一點(diǎn)處都有三個(gè)相互垂直的主平面和三個(gè)主應(yīng)力；但在三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會(huì)多于三個(gè)。一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，通常按其代數(shù)值依次用兀來(lái)表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們12“3都只有一個(gè)不為零且絕對(duì)值相等的主應(yīng)力，但須分別用，表示。根據(jù)一點(diǎn)處存在幾個(gè)不為零的主應(yīng)力，13可以將應(yīng)力狀態(tài)分

6、為三類：1）單向（或簡(jiǎn)單）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)主應(yīng)力不為零，如圖7.2（a）所示。2）二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)主應(yīng)力不為零，如圖7.2（b）所示。3）三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零，如圖7.2（c）所示。圖7.2單向及二向應(yīng)力狀態(tài)常稱為平面應(yīng)力狀態(tài)(planestateofstresses)。二向及三向應(yīng)力狀態(tài)又統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。因?yàn)?，一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)與另一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或零應(yīng)力狀態(tài)；一個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)與一個(gè)二向應(yīng)力狀態(tài)疊加，可能是單向、二向或三向應(yīng)力狀態(tài)；。也就是說(shuō)，一個(gè)應(yīng)狀態(tài)與另一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)疊加，不一定屬于原有應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，

7、由于必有一個(gè)主應(yīng)力為零的主方向，可以用與該方向相垂直的平面單元來(lái)表示單元體，例如圖7.1(c)示各單元體，可以用圖7.1(d)示平面單元表示。這時(shí)，應(yīng)將零主應(yīng)力方向的單元體邊長(zhǎng)理解為單位長(zhǎng)度。在材料力學(xué)中所遇到的應(yīng)力狀態(tài)，主要為平面應(yīng)力狀態(tài)。本章重點(diǎn)討論平面應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)問(wèn)題。2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析在本節(jié)中,將介紹在平面應(yīng)力狀態(tài)下，如何根據(jù)單元體各面上的已知應(yīng)力來(lái)確定任意斜截面上的應(yīng)力。在以下討論中，取平面單元位于xy平面內(nèi)，如圖7.3(a)所示。已知x面(法線平行x軸的面)上的應(yīng)力o及，y面（法線平行于y軸的面）上有應(yīng)力xxy及。根據(jù)切應(yīng)力互等定理T工。現(xiàn)在需要求與zyyxxyyx軸平行的任意斜

8、截面ab上的應(yīng)力。設(shè)斜截面ab的外法線n與x軸成角，以后簡(jiǎn)稱該斜截面為面，并用及分別表示面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力。aa將應(yīng)力、角正負(fù)號(hào)規(guī)定為：角：從X方向反時(shí)針轉(zhuǎn)至面外法線n的角為正值；反之為負(fù)值。角的取值區(qū)間為”或“/2冗/20,兀一冗/2,冗/2正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力：使微元體產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正；反之為負(fù)?；蛘?，截面外法線矢順時(shí)針向轉(zhuǎn)90后的方向?yàn)檎?；反之為?fù)。求面上的應(yīng)力、的方法，有解析法和圖解法OTaa兩種。分別介紹如下：2.1解析法利用截面法，沿截面ab將圖7.3（a）示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究對(duì)象。設(shè)面的面積為弘，則x面、y面的面積分別為dacos及d

9、asm。于是,得研究對(duì)象的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向及切向的平衡方程分別為：11aaavx(a)mdASinaGydASinotTdAcosa6dAcosa圖7.3odA+(ocosex+tsinex)dAcosex+(oaxxyysina+tcosa)dAsina=0yxtdA+(osinatcosa)dAcosa+(ocosa+tsina)dAsina=0axxyyyx由此得o=ocos2a+osin2a(t+t)sinacosaaxyxyyxt=(oo)sinacosa+tcos2atsin2aaxyxyyx由，t=tcos2a=(1+cos2a)/2xyyx式(a)可改寫為：

10、sin2a=(1cos2a)/2ooycos2atxysin2aysin2a+txycos2aa）2sinacosa=sin2a7.1)這就是斜面上應(yīng)力的計(jì)算公式。應(yīng)用時(shí)一定要遵循應(yīng)力及a角的符號(hào)規(guī)定。如果用a+9。替代式（91）第一式中的a，則:oa+90cos2a+tsin2axy從而有o+o=o+oaa+90 xy72)可見(jiàn)，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應(yīng)力的代數(shù)和是一個(gè)不變量。由式（7.1）可知，斜截面上的應(yīng)力亠均為角aOt的函數(shù)，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化?，F(xiàn)在來(lái)求它們的極限及平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。對(duì)于斜截面上的正應(yīng)力o，設(shè)極值時(shí)的角為a，aaa

11、0由do/da=0得a=（g-o）sin2a一2tcos2a=2t=0 xy0 xy0ag可見(jiàn)，o取極值的截面上切應(yīng)力為零，即o的極值便ooaa是單元體的主應(yīng)力。這時(shí)的a可由上式求得為：0doada-2ttan2a=亠0o一oxy，它說(shuō)7.3)式（73）的0在取值區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)根a及9。0a0a0土90明與o有關(guān)的兩個(gè)極值（主應(yīng)力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.3）求a時(shí)，可以視0tan2a=(-2t)/(o-o)，并按(-2t)0 xyxyxyo-o、(-2t)/(o-o)的正負(fù)xyxyxy號(hào)來(lái)判定sin2a0cos2a0tan2a的正負(fù)符號(hào)，從而唯一地確定2a或a值。于是有00

12、sin2a0=-2txy(o-o)2+4t2xyxycos2a0=(o-o)2+4t2xyxysin2（a土90）=-sin2acos2（a土90）=-cos2將以上各式代入式（71）的第一式，得。的兩個(gè)a極值Q（對(duì)應(yīng)a面）、max0maxQ+Q1Q4Jmax2min(對(duì)應(yīng)Qa90。min0Qy丿(Q2+T2xy面）為：（7.4）可以證明，式（74）中T的指向，是介于僅由單元max體切應(yīng)力T產(chǎn)生的主拉應(yīng)力指向（與x軸夾角為45。xyyx或45）與單元體正應(yīng)力、中代數(shù)值較大的一個(gè)正45xy應(yīng)力指向之間。式（7.4）的、為平面應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處三個(gè)QQmaxmin主應(yīng)力中的兩個(gè)主應(yīng)力，它的另一個(gè)主應(yīng)力

13、為零。至于如何根據(jù)這三個(gè)主應(yīng)力來(lái)排列Q、Q的次序，應(yīng)6b一（5.視Q、Q的具體數(shù)值來(lái)決定。maxmin平面應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力極值可按下述方法確定。設(shè)極值時(shí)的a角為e，由dT/心0得：0aQtan2e0=hxy（7.5）比較式（7.3）和式（7.5）,有*嚴(yán)20=i，可見(jiàn)e0“0+45，即斜截面上切應(yīng)力的極值作用面與正應(yīng)力的極值TOC o 1-5 h zTQaa作用面互成45。夾角。將由式（75）確定的代入式（71）的第二式，可以求得斜截面上切應(yīng)力極值T（對(duì)應(yīng)e）max0T（對(duì)應(yīng)e+90。）為：min0 xx2xx2Tmaxmin=i-(O_O、2xy2+T2xyO-O+maxmin27.6)這

14、說(shuō)明，斜截面上切應(yīng)力極值的絕對(duì)值，等于該點(diǎn)處兩個(gè)正應(yīng)力極值差的絕對(duì)值的一半。另外，由式（7.5）可得（Txo)cos202tv0 xysin200，代入式（7.1）第一式得：O00+907.7)可見(jiàn)在極值作用面上的正應(yīng)力相等，且為、的平TOOaxy均值。圖解（莫爾圓）法平面應(yīng)力狀態(tài)分析，也可采用圖解的方法。圖解法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明直觀，勿須記公式。當(dāng)采用適當(dāng)?shù)淖鲌D比例時(shí)，其精確度是能滿足工程設(shè)計(jì)要求的。這里只介紹圖解法中的莫爾圓法，它是1882年德國(guó)工程師莫爾（0i=jMohr）對(duì)1866年德國(guó)庫(kù)爾曼（KCulman)提出的應(yīng)力圓作進(jìn)一步研究，借助應(yīng)力圓確定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。2.2.1應(yīng)力圓方

15、程將式（9.1）改寫為(JO+O(Jycos2atxysin2a(Jysin2a+txycos2a22a）(IooJyH2丿、2+Txy丿于是，由上述二式得到一圓方程：（o+oTOC o 1-5 h zoya9V丿（b）據(jù)此，若已知、亠，則在以為橫坐標(biāo)，為xyxy縱坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，可以畫出一個(gè)圓，其圓心為，半徑為ooxy2丿2+T2xy。圓周上一點(diǎn)的坐標(biāo)就代o+o（二y,0）2表單元體一個(gè)斜截面上的應(yīng)力。因此，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓（Mohrcircleforstresses)。應(yīng)力圓的畫法在已知、及（圖74（a），作相應(yīng)應(yīng)力圓時(shí)，先在。T坐標(biāo)系y中，xy按選定的比例尺，以（）、（,）為坐

16、標(biāo)確定x（對(duì)應(yīng)x面）、y（對(duì)應(yīng)y面）兩點(diǎn)，（在應(yīng)力圓中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力以與其作用面外法線順時(shí)鐘轉(zhuǎn)向90后的方向一致時(shí)為正）。然后直線連接x、y兩點(diǎn)交90軸于C點(diǎn)，并以C點(diǎn)圓心，以Cx或-為半徑畫圓，此圓就是應(yīng)力圓，如圖74（b）。從圖中不難看出，應(yīng)力圓的圓心及半徑，與式（b）完全相同。幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：1）點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)單元體某一方面上的a2）轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對(duì)應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖（

17、94（a）上的n點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3）二倍角對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。因?yàn)?，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差唄的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360。時(shí)才能為同一點(diǎn)。224應(yīng)力圓的應(yīng)用1）應(yīng)用應(yīng)力圓能確定任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。如果欲求a面上的應(yīng)力及，則可從與x面對(duì)aa應(yīng)的X點(diǎn)開(kāi)始沿應(yīng)力圓圓周逆時(shí)針向轉(zhuǎn)2一圓心角至n點(diǎn)，這時(shí)n點(diǎn)的坐標(biāo)便同外法線與x軸成角的a面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)。的方向按如下方法確定：過(guò)x點(diǎn)作軸a的平行線交應(yīng)力圓于P點(diǎn)，以P為極點(diǎn)，連接P兩點(diǎn)，Pn則射線P便為n點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面的外法線方向，即為的q方PnQa位線。2）確

18、定主應(yīng)力的大小和方位。應(yīng)力圓與q軸的交點(diǎn)1及2點(diǎn)，其縱坐標(biāo)（即切應(yīng)力）為零，因此，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力便是平面應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)正應(yīng)力極值，但是，在圖9.4示情況，因q“0，所以用單元體主maxmin應(yīng)力qq表示，這時(shí)的q應(yīng)為零。至于在別的情況時(shí)，123圖7.4（b）中的1、2點(diǎn)應(yīng)取1、2、3中的哪兩個(gè)數(shù),按類似原則確定。主應(yīng)力的方位按如下方法確定：從極點(diǎn)P至1點(diǎn)引射線P為。作用面外法方向，巨為主應(yīng)力。作用面的外法線方向。從圖7.4（b）中不難看出,2主應(yīng)力QQ的作用面（主平面）的外法線（主方向）12相互垂直。由圖7.4（b）不難看出，應(yīng)力圓上的t、t兩點(diǎn)，t1t2是與切應(yīng)力極值面（面和屮90。面）上的應(yīng)

19、力對(duì)應(yīng)的。不難證明：正應(yīng)力極值面與切應(yīng)力極值面互成俗的夾角。3、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力組成工程結(jié)構(gòu)物的構(gòu)件都是三維體，能按材料力學(xué)方法進(jìn)行受力分析的，只是一般三維構(gòu)件的特殊情況，但屬三維問(wèn)題。既然這樣，在建立強(qiáng)度條件時(shí)，必須按三維考慮才符合實(shí)際。因此，在研究了三向應(yīng)力狀態(tài)的一種特殊情況平面應(yīng)力狀態(tài)后，還應(yīng)將它們返回到三向應(yīng)力狀態(tài)，作進(jìn)一步的分析，才能符合工程實(shí)際。另外，在工程中還是存在不少三向應(yīng)力狀態(tài)的問(wèn)題。例如，在地層的一定深度處的單元體（圖9.5），在地應(yīng)力作用下便是處于三向應(yīng)力狀態(tài)；滾珠軸承中的滾珠與外環(huán)接觸處、火車輪與軌道接觸處，也是處于三向應(yīng)力狀態(tài)的。圖9.5本節(jié)只討論三個(gè)主應(yīng)力。均

20、已知的三向應(yīng)力C123狀態(tài)，對(duì)于單元體各面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力的三向應(yīng)力狀態(tài)，可以用彈性力學(xué)方法求得這三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于材料力學(xué)中的問(wèn)題，可以用9.2節(jié)的方法以求得三個(gè)主應(yīng)力、及。1239-(b)圖7.6對(duì)于圖7.6(a)示已知三個(gè)主應(yīng)力的主單體，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方向面上的應(yīng)力。在平行于主應(yīng)力。的方向面上，可視為只有c和作用的平面應(yīng)TOC o 1-5 h z12&3力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向面上可視為只有21和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)；在平行于主應(yīng)力的方向33面上，可視為只有和作用的平面應(yīng)力狀態(tài)。并可12繪出圖(b)示三個(gè)應(yīng)力圖，并稱為三向

21、應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)stresscircleofthreedimensionalstressstate)。用彈性力學(xué)方法可以證明，主單元體中任意斜截面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力，必位于以這三個(gè)應(yīng)力圓為界的陰影區(qū)內(nèi)。由三向應(yīng)力圓可以看出，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，代數(shù)值最大和最小的正應(yīng)力為：=min3=max17.8)而最大切應(yīng)力為Tmax7.9)式(7.8)、(7.9)也適用于三向應(yīng)力狀態(tài)的兩種特殊情況：二向應(yīng)力狀態(tài)及單向應(yīng)力狀態(tài)。4、廣義胡克定律體應(yīng)變?cè)诤罄m(xù)課程中要考慮單元體的變形，本節(jié)將討論應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系。4.1廣義胡克定律在三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體同時(shí)受到主應(yīng)力Q、QQ1Q2及Q作用，如圖7.6(a)所示。這時(shí)

22、，我們把沿單元3體主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變(principalstrain),習(xí)慣上分別用、及來(lái)表示。對(duì)于連續(xù)123均質(zhì)各向同性線彈性材料，可以將這種應(yīng)力狀態(tài)，視為三個(gè)單向應(yīng)力狀態(tài)疊加來(lái)求主應(yīng)變。由工程力學(xué)I知，在Q單獨(dú)作用下，沿主應(yīng)力、Q及Q方向的線應(yīng)1Q1Q23變分別為：1尹二塵二竺2E3E式中E、為材料的彈性模量及泊松比(Poissonratio)。同理，在和單獨(dú)作用時(shí)，上述應(yīng)變分別為：23V921E-V22E3E8=00V0將同方向的線應(yīng)變疊加得三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體的主應(yīng)變?yōu)椋?|1-V(a2+a3=知2-V(a3+a1)=|3-V(a1+a2)7.10)式（9.10）中的、及均

23、以代數(shù)值代入，求出的主a1a2a3應(yīng)變?yōu)檎当硎旧扉L(zhǎng)，負(fù)值表示縮短。主應(yīng)變的排列順序?yàn)?”，可見(jiàn)，主單元體中代數(shù)值最大的線應(yīng)81_82一83變?yōu)椋?=8max17.9)如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應(yīng)力、和切應(yīng)力、，如圖7.7面稱為正面，正面上的各應(yīng)力分量便以指向坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，反之為?fù)；如果某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則稱該面為負(fù)面，負(fù)面上的各應(yīng)力便以指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，反之為?fù)。須說(shuō)明，這里的所示。圖中正應(yīng)力的下標(biāo)表示其作用面的外法線方向；切應(yīng)力有兩個(gè)下標(biāo)，前一個(gè)下標(biāo)表示其作用面的外法線方向，后一個(gè)下標(biāo)表示其作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。如果某一面的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向

24、，該約定與7.2節(jié)的約定是各自獨(dú)立的。對(duì)于圖7.7，單元體除了沿x、y及z方向產(chǎn)生線應(yīng)變8、8及8外，還在三個(gè)坐標(biāo)面xy、yz、zx內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變8、8及。丫xy丫yz丫zx圖7.7由理論證明及實(shí)驗(yàn)證實(shí)，對(duì)于連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性材料，正應(yīng)力不會(huì)引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦聯(lián)。于是線應(yīng)變可以按推導(dǎo)式（7.10）的方法求得，而切應(yīng)變T=yxyGT=yyzGY=zxzxG可以利用剪切胡克定律得到，最后有TOC o 1-5 h z8=GV(G+G,xExyz8=GV(G+G,yEyzx8=GV(G+G,zEzxy7.12)IID式中G為剪切彈性模量。E,v及G均為與

25、材料有關(guān)的彈性常數(shù)，但三者這中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以證明這三個(gè)常數(shù)之間存在著如下關(guān)系：E2(1+v)式（7.10）或（7.12）稱為廣義胡克定律（generalizationHookelaw）.廣義胡克定律對(duì)于二向及單向應(yīng)力狀態(tài)也適用。在二向主單元體中，有一個(gè)主應(yīng)力為零，例如，嘆3=，則式（7.10）變?yōu)椋?=丄(O-VO)TOC o 1-5 h zE12丿1/、8=(OVO)E21V83=(0+0)E(12)7.14)圖7.8在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下，單元體必有一個(gè)主應(yīng)力為零的主平面，設(shè)為z面，這時(shí)有，及0,zzxzy如圖（7.8）所示。于是，式（7.12）寫成：8=OVO)xExy8=(O-V

26、O)yEyxV8=(0+0)zExyTY=xyG7.15)yz=Yzy由式可以解得：1V2(8x+V8y),xy=Gyxy1V2(8y+V8x),1V(8x+8y)（7.16）4.2體應(yīng)變體應(yīng)變又稱體積應(yīng)變（volumestrain）,是指在應(yīng)力狀態(tài)下單元體單位體積的體積改變，設(shè)單元體各棱邊的變形前長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz,變形前的單元體體積便為V0=dxdydz在三向應(yīng)力狀態(tài)下,主單元體變形后的各棱邊長(zhǎng)度將分別為（1坷）dx、（匕）dy及（1f）dz，因此，變形后主單元體的體積為V=(1+i)dx-(1+2)dy-(1+3)dz因?yàn)榘苏技熬⑿。匀ジ唠A微量后123V=(1+O+O2+O3

27、)dxdydz=(1+o1+o?+3)V根據(jù)主單元體體應(yīng)變的定義，有OV7.17)V0(1+01+O2+O3)V0-V0V0=O1+O2+O3將式（9.10）的三個(gè)主應(yīng)變代入上式，化簡(jiǎn)后得0V=云91+Q2+Q3）（7.18）上述表明，小變形時(shí)的連續(xù)均質(zhì)各同性線彈性體，一點(diǎn)處的體應(yīng)變與該點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)和成正V比。在純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下，因由式(718)可得該應(yīng)力狀態(tài)下單元體的體變占=0。因此，V在圖(713)示的一般形式的空間應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力、及的存在均不會(huì)影響該點(diǎn)處的體應(yīng)變,并xyyzzxV可仿照以上推導(dǎo)求得12vE(Q+Q+Q)xyz719)可見(jiàn)，小變形時(shí)連續(xù)均質(zhì)各向同性線彈性體

28、內(nèi)，一點(diǎn)處的體應(yīng)變，只與過(guò)該點(diǎn)沿三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸方向正應(yīng)力的代數(shù)和成正比，而與坐標(biāo)方位和切應(yīng)力無(wú)關(guān)。5、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能彈性體在外力作用下將產(chǎn)生變形，在變形過(guò)程中，外力便要通過(guò)外力作用方向的位移做功，并將它積蓄在彈性體內(nèi)，通常稱積蓄在物體內(nèi)的這種能量為應(yīng)變能(strainenergy)，而把每單位體積內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能稱為比能(strain.energydensity)。與應(yīng)在單向應(yīng)力狀態(tài)中，如果棱邊邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz的單元體，作用于x面的應(yīng)力為q。如圖7.9(a)1所示，作用在單元體上的外力為dd，沿外力方向的Q1dydz位移為ed，外力所做的功為1dx211根據(jù)能量守恒定

29、律，外力功全部積蓄到彈性體內(nèi)，變成了彈性體的應(yīng)變能。單元體的應(yīng)變能U=dW=1b=傳edV2112Ed叫1=dW=丄*21dxdydz單元體的應(yīng)變比能為應(yīng)變比能為圖917(b)示陰影面積。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知、及三個(gè)主應(yīng)b1b2b3力(圖1118a),各對(duì)力通過(guò)其對(duì)應(yīng)位移所做的功的T33仃(a)(c)(b)總和，便為積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。因此dV=dW=c&dxdydz+8dxdydz+8dxdydzTOC o 1-5 h z211222233單元體的比能為dW111U=c+c+c8dV211222233式中的、分別表示沿c、c、方向的線應(yīng)818283c1c2c3變，應(yīng)按廣義胡克定律（式

30、7.10）計(jì)算，用三個(gè)主應(yīng)力、c、c表示主應(yīng)變8、8、8，化簡(jiǎn)后有-C-C-818283U8=2ECI+C:+C3-2V（C1C2+C2C3+C3C1）（7.20）由于單元體的變形有體積改變和形狀改變，因此，可以將比能分為相應(yīng)的兩部分。與體積改變對(duì)應(yīng)的比能稱為體積改變比能(strain.energydensitycorrespondingtothechangeofvolume)，用表V示；與形狀改變對(duì)應(yīng)的比能稱為形狀改變比能strain.energydensitycorrespondingtothedistortion)，用表示。即U8=UV+Ud(a)現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)體積改變比能和形狀改變比能的計(jì)

31、算公式。將圖11.18(a)示單元體表示為圖b、c兩部分疊加。圖9.18(b)中的三個(gè)主應(yīng)力相等，其值為平均應(yīng)力訂有二1（g+G+G）3123）由式（7.18）知，圖11.18（b）與圖11.18（a）的體應(yīng)變是相等的，那么體積改變比能u也應(yīng)相等。因V此圖11.18（b）的三個(gè)主應(yīng)力相等，變形后的形狀與原來(lái)的形狀相似，只發(fā)生體積改變而無(wú)形狀改變，則全部比能應(yīng)為體積改變化能。這樣，圖11.18（a）的體積改變比能為：V1222222G+G+G2(G+G+G)2E3(12v)212vG2=(G+G+G)22E6E123（7.21）將式（721）代入式（a）,并注意到式（7.20）,化簡(jiǎn)后得單元體的形狀改變能為d1+vUd=UeUV二転（G1G2）2+（G2G）+（G3G1）2（7.22）讀者自己證明，式（7.22）即為圖c的比能。式（7.22）將在強(qiáng)度理論中得到應(yīng)用。6、概述材料在單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的強(qiáng)度條件：軸向拉（壓）桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上各點(diǎn)處；而橫力彎曲梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩橫截面的上、下邊緣處，如圖7.1（a）、