2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案專題03-數(shù)列(教師版)

1、2013高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品資料專題03 數(shù)列教學(xué)案（教師版）【2013考綱解讀】1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題.3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】 【重點知識整合】一、等差數(shù)列與等比數(shù)列1Sn與an的關(guān)系在數(shù)列an中，Sna1a2an，從而aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)2等差數(shù)列性質(zhì)如果數(shù)列an是公差為d的

2、等差數(shù)列，則(1)ana1(n1)d，Snna1eq f(nn1,2)deq f(na1an,2).(2)對正整數(shù)m，n，p，q，amanapaqmnpq，aman2apmn2p.3等比數(shù)列性質(zhì)如果數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則(1)ana1qn1，Sneq blcrc (avs4alco1(f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)，q1，,na1，q1.)(2)對正整數(shù)m，n，p，q，amanapaqmnpq，amanaeq oal(2,p)mn2p.4等差、等比數(shù)列Sn的性質(zhì)若等差數(shù)列的前n項和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，為等差數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和為Sn，則在公比不

3、等于1時，Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比數(shù)列5等差、等比數(shù)列單調(diào)性等差數(shù)列的單調(diào)性由公差d的范圍確定，等比數(shù)列的單調(diào)性由首項和公比的范圍確定二、數(shù)列求和及數(shù)列應(yīng)用1常用公式等差數(shù)列的前n項和，等比數(shù)列的前n項和，123neq f(nn1,2)，122232n2eq f(nn12n1,6)，1323n3eq blcrc(avs4alco1(f(nn1,2)2.3數(shù)學(xué)求和的基本方法公式法、分組法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法4數(shù)列的應(yīng)用等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、遞推數(shù)列模型【高頻考點突破】考點一 等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運算等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式ana1(n1)dana1qn1(

4、q0)前n項和Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1,2)d(1)q1，Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q)(2)q1，Snna1例1、設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn已知a26,6a1a330，求an和Sn解：設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得eq blcrc (avs4alco1(a1q6，,6a1a1q230.)解得eq blcrc (avs4alco1(a13，,q2，)或eq blcrc (avs4alco1(a12，,q3.)當(dāng)a13時，q2時，an32n1，Sn3(2n1)；當(dāng)a12，q3時，an23n1，Sn3n1.【變式探究】Sn為等差數(shù)列an的前

5、n項和，S2S6， a41，則a5_. 考點二 等差、等比數(shù)列的判定和證明數(shù)列an是等差或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明eq f(an1,an)(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項，即證明aeq oal(2,n)an1an1(n2)例2、已知數(shù)列an和bn滿足a1m，an1ann，bnaneq f(2n,3)eq f(4,9).(1)當(dāng)m1時，求證：對于任意的實數(shù)，數(shù)列an一定不是等差數(shù)列；(2)當(dāng)eq f(1,2)時，試判

6、斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列 (2)當(dāng)eq f(1,2)時，an1eq f(1,2)ann，bnaneq f(2n,3)eq f(4,9).bn1an1eq f(2n1,3)eq f(4,9)考點三 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若m、n、p、qN*，且 mnpq， 則amanapaq (2)anam(nm)d (3)Sm，SSm，SS，仍成等差數(shù)列 (1)若m、n、p、qN*，且mnpq， 則amanapaq (2)anamqnm (3)Sm，SSm，SS，仍成等比數(shù)列(Sn0) 例3、等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，則“d|a1|”是“Sn的最小值為S

7、1，且Sn無最大值”的 () A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 考點四 數(shù)列求和數(shù)列求和的方法技巧： (1)轉(zhuǎn)化法： 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并 (2)錯位相減法： 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 (3)裂項相消法： 利用通項變形，將通項分裂成兩項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和 例4、等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三

8、行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nlnan，求數(shù)列bn的前2n項和S2n 【變式探究】等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21，aeq oal(2,3)9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列eq f(1,bn)的前n項和解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由aeq oal(2,3)9a2a6得aeq oal(2,3)9aeq oal(2,4)，所以q2eq f(1,9).由條件可知q0，故qeq f(1,3).考點五 數(shù)列與函數(shù)、不等式例

9、5、設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1b，aneq f(nban1,an1n1)(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2anbn11.當(dāng)b1時，cneq f(1,1b)eq f(1,b)(cn1eq f(1,1b)，且c1eq f(1,1b)eq f(1,b)eq f(1,1b)eq f(1,b1b)，cneq f(1,1b)是首項為eq f(1,b1b)，公比為eq f(1,b)的等比數(shù)列，cneq f(1,1b)eq f(1,b1b)(eq f(1,b)n1，由eq f(n,an)eq f(1,1b)eq f(1,1bbn)得aneq f(n1bbn,1bn)，aneq

10、blcrc (avs4alco1(1，b1,f(n1bbn,1bn)，b1).【難點探究】難點一等差數(shù)列的通項、求和的性質(zhì)例1、(1)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為()A110 B90 C90 D110(2)設(shè)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1，a5，a13成等比數(shù)列，則數(shù)列an的前n項和Sn()A.eq f(n2,4)eq f(7n,4) B.eq f(n2,3)eq f(5n,3)C.eq f(n2,2)eq f(3n,4) Dn2n【點評】 在等差數(shù)列問題中其最基本的量是其首項和公差，在解題時根據(jù)已知條

11、件求出這兩個量，其他的問題也就隨之解決了，這就是解決等差數(shù)列問題的基本方法，其中蘊含著方程思想的運用難點二等比數(shù)列的通項、求和的性質(zhì)例2 (1)已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69，則logeq f(1,3)(a5a7a9)的值是()A5 Beq f(1,5)C5 D.eq f(1,5)(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an，a1a2a35，a7a8a910，則a1a2a9_.【點評】 等比數(shù)列中有關(guān)系式eq f(an,am)qnm(m，nN*)，其中q為公比，這個關(guān)系式可以看做推廣的等比數(shù)列的通項公式，即anamqnm(m，nN*)，當(dāng)m1時就是等比數(shù)列的通項

12、公式難點三等差、等比數(shù)列的綜合問題例3 、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列bn中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)數(shù)列bn的前n項和為Sn，求證：數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(Snf(5,4)是等比數(shù)列【分析】 (1)由條件可以先求得數(shù)列bn的第三項，進(jìn)而借助等比數(shù)列的通項公式求出bn，(2)充分結(jié)合等比數(shù)列的定義不難證明【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或

13、d13(舍去)故bn的第3項為5，公比為2.由b3b122，即5b122，解得b1eq f(5,4).所以bn是以eq f(5,4)為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項公式為bneq f(5,4)2n152n3.(2)證明：由(1)得數(shù)列bn的前n項和Sneq f(f(5,4)12n,12)52n2eq f(5,4)，即Sneq f(5,4)52n2.所以S1eq f(5,4)eq f(5,2)，eq f(Sn1f(5,4),Snf(5,4)eq f(52n1,52n2)2.因此eq blcrc(avs4alco1(Snf(5,4)是以eq f(5,2)為首項，公比為2的等比數(shù)列難點四數(shù)列求和及

14、其應(yīng)用例4、在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n2個數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn，n1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bntanantanan1，求數(shù)列bn的前n項和Sn.【點評】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識本題兩問中的方法都是值得注意的，在第一問中采用的是倒序相乘法，這類似數(shù)列求和中的倒序相加法；第二問采用的裂項相消法和兩角差的正切公式結(jié)合在一起，這在近年來的高考試題中是不多見的，這與我們平時見到的裂項相消法有較大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的問題轉(zhuǎn)化為可以逐項相消的問題，基本思想就是裂項難點五數(shù)列應(yīng)用題的解法例5、某

15、個集團(tuán)公司下屬的甲、乙兩個企業(yè)在2010年1月的產(chǎn)值都為a萬元，甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值比前一個月的產(chǎn)值增加的數(shù)值相等，乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值比前一個月的產(chǎn)值增加的百分?jǐn)?shù)相等，到2011年1月兩個企業(yè)的產(chǎn)值又相等(1)到2010年7月，試比較甲、乙兩個企業(yè)的產(chǎn)值的大小，并說明理由；(2)甲企業(yè)為了提高產(chǎn)能，決定用3.2萬元買一臺儀器從2011年2月1日投放使用，從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為eq f(n49,10)元(nN*)，求前n天這臺儀器的日平均耗資(含儀器的購置費)，并求日平均耗資最小時使用了多少天？ (2)設(shè)一共用了n天，則n天的平均耗資為P(n)，則P(n)eq f(3.21

16、04f(blc(rc)(avs4alco1(5f(n49,10)n,2),n)eq f(3.2104,n)eq f(n,20)eq f(9.9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3.2104,n)eq f(n,20)時P(n)取得最小值，此時n800，故日平均耗資最小時使用了800天【點評】 本題考查等比數(shù)列模型、等差數(shù)列模型的實際應(yīng)用，并與基本不等式進(jìn)行交匯數(shù)列在實際問題中有著極為廣泛的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用問題在高考中雖然不是主流，但并不排除在高考中考查數(shù)列實際應(yīng)用問題的可能?！練v屆高考真題】【2012高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列中，則的前5項和=（ ）A.7 B.15

17、C.20 D.25 2.【2012高考真題浙江理7】設(shè)是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是A.若d0，則數(shù)列Sn有最大項B.若數(shù)列Sn有最大項，則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意，均有D. 若對任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C。3.【2012高考真題新課標(biāo)理5】已知為等比數(shù)列，則（ ） 【答案】D【解析】因為為等比數(shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，綜上選D.4.【2012高考真題上海理18】設(shè)，在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）A25

18、B50 C75 D1005.【2012高考真題遼寧理6】在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，。6.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、.，故選D.7.【2012高考真題湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 B C D 8.【2012高考真題福建理2】等差數(shù)列an中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列

19、an的公差為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B. 【解析】由等差中項的性質(zhì)知，又9.【2012高考真題安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則=（ ） 10.【2012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項和為(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】由,得，所以，所以，又，選A.二、填空題11.【2012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q（q0）的等比數(shù)列an的前n項和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=_。12.【2012高考真題四川理16】記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下

20、列命題：當(dāng)時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2；對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；當(dāng)時，；對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號）【答案】【解析】當(dāng)時， ，故正確；同樣驗證可得正確，錯誤.13.【2012高考真題新課標(biāo)理16】數(shù)列滿足，則的前項和為 14.【2012高考真題遼寧理14】已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項公式an =_。 15.【2012高考真題江西理12】設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若，則_。【答案】35【解析】設(shè)數(shù)列的公差分別為，則由，得，即，所以，所以。16.【2012高考真題北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項和。若，則=_。17.【2012

21、高考真題廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，則an=_ 【答案】【解析】由得到，即，應(yīng)為an是遞增的等差數(shù)列，所以，故。18.【2012高考真題重慶理12】 .19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 ?！敬鸢浮??！窘馕觥坑深}意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，+=，。20.【2012高考真題福建理14】數(shù)列an的通項公式，前n項和為Sn，則S2012=_.三、解答題21【2012高考江蘇20】（16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和

22、的值（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當(dāng)時，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項相同，與矛盾。 。 。 22.【2012高考真題湖北理18】（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為.（）求等差數(shù)列的通項公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和. （）當(dāng)時，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 31.【2012高考真題安徽理21】（本小題滿分13分） 數(shù)列滿足：（ = 1 * ROMAN I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是

23、；（ = 2 * ROMAN II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?！敬鸢浮勘绢}考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用知識分析問題的能力，推理論證和運算求解能力。（ = 2 * ROMAN II）由（ = 1 * ROMAN I）得：， = 1 * GB3 當(dāng)時，不合題意； = 2 * GB3 當(dāng)時，。33.【2012高考真題湖南理19】（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， 若a1=1，a2=5，且對任意nN，三個數(shù)

24、A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項公式.證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.（）（）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意，有由知，均大于，于是即，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【2011年高考試題】1. (2011年高考四川卷理科8)數(shù)列的首項為， 為等差數(shù)列且 .若則，則( )（A）0 （B）3 （C）8 （D）112.(2011年高考全國卷理科4)設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，公差，則 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】故選D。3. (2011年高考廣

25、東卷理科11)等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和.若，則 .5. (2011年高考湖北卷理科13)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升5.(2011年高考陜西卷理科14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）?！敬鸢浮?000【解析】設(shè)樹苗集中放置在第號坑旁邊，則20名同學(xué)返所走的路程總和為=即時.7.(2011年高考江蘇卷13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是