專題16：球的內(nèi)切外接問題高考真題集錦(解析版)

1、試卷第 頁，總10頁試卷第 頁，總10頁專題16：球的內(nèi)切外接問題高考真題集錦（解析版）一、單選題1.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）已知A,BC為球O的球面上的三個點，O為ABC的外接圓，若O的面積為4n,AB=BC=AC=OO則球O的表面積為（）A.64nB48nC36nD32n【答案】A【分析】由已知可得等邊ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出OO的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓01半徑為r，球的半徑為R，依題意，得兀r2=4兀，.r=2，:ABC為等邊三角形，由正弦定理可得AB=2rsin60。=2爲(wèi).OO=AB=2屈，根據(jù)球的截面

2、性質(zhì)OO丄平面ABC,/.OO丄OA,R=OA=002+OA2=OO2+r2=41v11x1.球O的表面積S=4兀R2=64兀.故選：A【點睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.2018年全國卷III理數(shù)高考試題設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9込，則三棱錐D-ABC體積的最大值為A.12、/3B1沁3C243D54打【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)DM丄平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大，然后進(jìn)行計算可得.詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的

3、中心，E為AC中點，當(dāng)DM丄平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大此時，0D=OB=R=4S=3AB2=93ABC4：Ab=6,點M為三角形ABC的中心BM=-BE=2.33.RtOMB中，有OMOB2-BM2=2DM=OD+OM=4+2=6)=1x9爲(wèi)x6=18朽D-ABCmax3故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)DM丄平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到BM=3BE=2朽，再由勾股定理得到OM,進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型BC=Q32016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新

4、課標(biāo)3卷）在封閉的直三棱柱一二內(nèi)有一個體積為V的球，若y廠AA-=3，則該球體積V的最大值是932產(chǎn)皈云兀ABCD【答案】B【解析】試題分析：設(shè)二乂的內(nèi)切圓半徑為，則11g血一（6+呂+10）了=_丈6:呂=了=2=，故球的最大半徑為2222343：9.J-；：-:，故選B.考點：球及其性質(zhì).42019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點,ZCEF=90。，則球O的體積為AB4寸6兀C2&Dv6k【答案】D【分析】先證得PB丄平面PAC，再求得PA=PB=PC=邁，從而

5、得P-ABC為正方體一部分,進(jìn)而知正方體的體對角線即為球直徑,從而得解.【詳解】解法一：PA=PB=PC,AABC為邊長為2的等邊三角形P-ABC為正三棱錐,PB丄AC，又E，F(xiàn)分別為PA、AB中點，EF/PB:.EF丄AC，又EF丄CE，:EAC=C,EF丄平面PAC，叨丄平面PAC，.ZAPB=90。,.PA=PB=PC22，.P-ABC為正方體一部分，2R=J2+2+2=i6，即R=,/.V=nR3=兀x=、i6兀，故選D.2338試卷第 頁，總10頁試卷第 頁，總10頁EFIIpB，且EF=2PB=x,AABC為邊長為2的等邊三角形，:.CF=又ZCEF=90。.CE斗3x2,AE=-

6、PA=x2X2+4GX2)AAEC中余弦定理cosZEAC=，作PD丄AC于d,PA=PC2x2xxAD1:2x2+1二2:.x2二12D為AC中點，cos/EAC=PA=2X:.PA=PB=PC=邁，又AB=BC=AC=2:PA,PB,PC兩兩垂直，：v-3鈕-3十二吊，故選D.【點睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補體法解決外接球問題可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補體成正方體解決52016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國2卷）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為32A.12兀B.3兀C.8兀D4?！敬鸢浮緼【解析】試題分析：因

7、為正方體的體積為8,所以棱長為2,所以正方體的體對角線長為2.3所以正方體的外接球的半徑為*3,所以該球的表面積為4兀（、；3）2=12兀，故選A.【考點】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點睛】與棱長為a的正方體相關(guān)的球有三個：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為亙、2和込.2226.2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為V的球，若盲AA1=3f則該球體積V的最大值是4jtA.bFC.3ZD.【答案】B【解析】試題分析：設(shè)丄工的內(nèi)切圓半徑為，則7.2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)II）已知上二是球。的球面上兩點

8、,_.心=：，二為該球面上的動點若三棱錐&-出體積的最大值為36,則球&的表面積為（）A.36nB.64nC.144nD.256n【答案】C、2、2試卷第 頁，總10頁試卷第 頁，總10頁試卷第 頁，總10頁詳解】111設(shè)球O的半徑為R，此時V二V=7怎R2xR=7R3二36，故R=6，則O-ABCC-AOB326球O的表面積為S=4兀R2=144兀，故選C.考點：外接球表面積和椎體的體積8.2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）新課標(biāo)文科數(shù)學(xué)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為A.3兀a2B.6兀a2C.12兀a2D.24兀a2【答案】B【

9、詳解】方體的長、寬、高分別為2a,a,a，其頂點都在一個球面上，長方體的對角線的長就是外接球的直徑，所以球直徑為：ba所以球的半徑為歲a所以球的表面積是4兀p622丿=6a2兀故選B9.（2017新課標(biāo)全國皿理科）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A.nB.3nTC.D.答案】B【解析】1繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：AC=1,AB=-結(jié)合勾股定理，底面半徑r=12-由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是V-nr2h-n伴X1-3n4再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直

10、徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.二、填空題102017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑若平面SCA丄平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S-ABC的體積為9,則球0的表面積為【答案】36n【解析】三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，SC是球0的直徑，若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9,可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r,11可得3%2%2rxrxr9，解得r=3.球0的表面積為：4兀r236兀.點睛：與球有關(guān)的

11、組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認(rèn)真分試卷第 頁，總10頁試卷第 頁，總10頁析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.112017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）如圖，在圓柱0O2內(nèi)有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱qVO2的體積為，球O的體積為v2，則百的值是23【答案】2【解析】V_兀r2x2r_33設(shè)球半徑為r，則V1=4=2故答案為32兀廠3厶23點睛:空間幾何體體積問

12、題的常見類型及解題策略：若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解12.2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點,ZCEF=90。，則球O的體積為A.8、；6兀B.4*6兀C.2；6兀D.；6?！敬鸢浮緿【分析】先證得PB丄平面PAC，再求得PA=PB=PC=41，從而得P-ABC為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一：PA二PB二PC,AABC為邊長為2的等邊三角形/.P-ABC為正三棱錐,.PB丄AC，又E,F分別為PA、AB中點,.EFIIPB.EF丄AC，又EF丄CE，:EAC二C,/.EF丄平面PAC，叨丄平面PAC，aZAPB=90。,.PA=PB=PC=2，/.PABC為正方體一部分，aEFIIPB，且EF=*PB=x，AABC為邊長為2的等邊三角形,ACF=片3又ZCEF=90。.CE=【3x2,AE=1PA=x2PA=PCx2+4-Gx2)AAEC中余弦定理cosZEAC=，作