任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)方案

1、 任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)方案師大附中鄧貴業(yè)課題名稱任意角的三角函數(shù)科目數(shù)學(xué)年級高一教學(xué)時(shí)間一課時(shí)（40分鐘）學(xué)習(xí)者分析在初中學(xué)生學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對于學(xué)生來說，有比較厚實(shí)的基礎(chǔ)，新課的引入會比較容易和順暢。學(xué)生要面對的新的學(xué)習(xí)問題是，角的概念推廣了，原先學(xué)生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個(gè)問題，讓學(xué)生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。教學(xué)目標(biāo)一、情感態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生興趣激發(fā)學(xué)生探求新知欲望數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性二、過程與方法1.通過三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。通過學(xué)生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形

2、成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性。三、知識與技能1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；2理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；掌握并能初步運(yùn)用公式一；樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)3通過單位圓和角的終邊探討任意角的三角函數(shù)值的求法最終得到任意角三角函數(shù)的定義根據(jù)角終邊所在位置不同分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號借助有向線段進(jìn)步認(rèn)識三角函數(shù)4通過任意三角函數(shù)的定義，認(rèn)識銳角三角函數(shù)是任意三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)任意角的正弦、余弦、正

3、切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）終邊相同的角的同三角函數(shù) 值相等（公式一）任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；教學(xué)資源多媒體任意的三角函數(shù)教學(xué)過程描述教學(xué)活動教學(xué)活動1.導(dǎo)入新課一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)（情景）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)請回想：這三個(gè)三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強(qiáng)調(diào):對邊sina=鄰邊，cona斜邊斜邊對邊鄰邊二、引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可

4、以獨(dú)立思考和探索，也可以互相討論！留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學(xué)困生作啟發(fā)引導(dǎo)能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點(diǎn)名讓學(xué)生回答用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會想到（否則教師進(jìn)行提示）繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來研究任意角的三角函數(shù)教師對學(xué)生回答情況進(jìn)行點(diǎn)評后布置任務(wù)情景：請同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義！師生共做（學(xué)生口述，教師板書圖形和比值）把銳角a安裝（如何安裝？角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合）在直角坐標(biāo)系中，在角a終邊上任取一點(diǎn)，作丄軸于，構(gòu)造一個(gè),則Za（銳角），設(shè)（）（、）

5、，a的臨邊、對邊，斜邊長 r?=對邊tana=鄰邊r?=x?=圖3）I根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用、列出銳角a的正弦、余弦、正切三個(gè)比值，并補(bǔ)充對應(yīng)列出三個(gè)倒數(shù)比值：對邊y鄰邊xsina=，cona=斜邊r斜邊r（情景）思考：對于確定的角，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段OP的長r=1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：.MP,TOC o 1-5 h zsin=bOPOMcos=aOPMPb HYPERLINK l bookmark14tan=OMa思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示那么角的概念推廣

6、以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問題一一任意角的三角函數(shù)先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示,同時(shí)作好解釋說明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角a的每一個(gè)確定值，三個(gè)比值都是y“確定的，不會隨在終邊上的移動而變化教學(xué)活動二、探究新知探究結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢顯然我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了所以我們在此引入單位圓的定義在直角坐標(biāo)系中我們稱以原點(diǎn)O為圓心以單位長度為半徑的圓思考如何利用單位圓定義任意角的

7、三角函數(shù)的定義如圖設(shè)是一個(gè)任意角它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)那y叫做的正弦()X叫做的余弦記做sin即sin=y；記做cos即cos=x；()-叫做的正切記做tan即tan=(x,0)XX注意當(dāng)a是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同(指出對邊，鄰邊，斜邊所在)；當(dāng)a不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x,y)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值教學(xué)活動四、探索定義域(情景)、函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域正弦函數(shù)a的對應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)a的對應(yīng)法則，實(shí)質(zhì)上就是a的定義:對a的每一個(gè)確定的值，有唯一確定的比值與之

8、對應(yīng),即afa2布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個(gè)三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)aaa定義域引導(dǎo)學(xué)生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角a的取值范圍關(guān)于a、a,對于任意角a（弧度數(shù)），,/恒有意義，定義域都是實(shí)數(shù)集對于a,ann時(shí)，無意義，a的定義域是：aaw,且a#nn教師指出anasa的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟。教學(xué)活動五、符號判斷、形象識記（情景）能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎？試試看！引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，三角函數(shù)值的符號決定于、值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：:上正下負(fù)橫為:左負(fù)右正縱yJ+yJ+yJ+一x一x+一 # #:交叉正負(fù)教學(xué)活動六、練習(xí)鞏固、理解記憶 # #5、自學(xué)例：求5-的正弦、余弦和正切值。3、角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（一，），求a的正弦，余弦及正切值 # #教學(xué)活動課堂練習(xí): 題、處理：要求取點(diǎn)用定義求解，針對計(jì)算過程提問、點(diǎn)評，理解鞏固定義強(qiáng)調(diào)：終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角口、n2n、3等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值教學(xué)活動八七、回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進(jìn)行總結(jié)識記，提問檢查并強(qiáng)調(diào)：.