不定積分的概念及運(yùn)算法則解析課件

1、第二部分 單變量積分學(xué)第1頁，共37頁。8/4/20221第六章 不定積分1.不定積分的概念及運(yùn)算法則2.不定積分的計算:換元積分法分部積分法其它類型的積分法第2頁，共37頁。8/4/20222第一節(jié) 不定積分的概念及其運(yùn)算法則一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的線性運(yùn)算法則四、直接積分法 第3頁，共37頁。8/4/20223可以說求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的. 第一部分我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分,即由已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù).但在科學(xué)技術(shù)中常常知道某函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要求原來的函數(shù).這就是求原函數(shù)或求不定積分的問題.第4頁，共37頁。8/4/20224例 設(shè)曲線通過點（1，2），且其

2、上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為第5頁，共37頁。8/4/20225定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念1.原函數(shù) 設(shè) f (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)有定義，若存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)使對每一個 xI 有F(x)= f(x)或 dF(x) = f (x)dx ，則稱 F(x) 為 f(x) 在區(qū)間 I 內(nèi)的一個原函數(shù) .第6頁，共37頁。8/4/20226關(guān)于原函數(shù)有以下三個問題：1) f(x) 滿足什么條件 , 其原函數(shù)一定存在？2) 若 f(x) 有原函數(shù) , 其原函數(shù)有多少個？3) f (x) 的全體原函數(shù)如何表示

3、?原函數(shù)存在定理 若 f(x) 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù) , 則在區(qū)間 I 內(nèi)一定存在 f(x) 的原函數(shù).簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).若 f (x)有原函數(shù) ,則 f (x) 的原函數(shù)有無窮多個.若 F(x) 是f (x)的一個原函數(shù) ,則 f (x)的全體原函數(shù)可表示為 F (x) +C. (C為任意常數(shù))第7頁，共37頁。8/4/20227任意常數(shù)積分號被積函數(shù)2. 不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量若 F(x) 是 f (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)的一個原函數(shù) ,則 f (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)的全體原函數(shù)稱為 f (x) 在區(qū)間 I 內(nèi)的不定積分,第8頁，共37頁。8/4/20228 例1 例2

4、第9頁，共37頁。8/4/20229解例3 求第10頁，共37頁。8/4/2022103. 不定積分的幾何意義不定積分稱為積分曲線族 , 且在橫坐標(biāo)相同的點處每條曲線上的切線斜率相等都為f (x) , 即在橫坐標(biāo)相同的點處各切線相互平行.y=F(x) 為平面上的 一條曲線.y=F(x)+C 為平面上的 一族曲線.設(shè) F(x) 是 f (x) 的一個原函數(shù) , 則函數(shù) f (x) 的原函數(shù)的圖形稱為積分曲線.第11頁，共37頁。8/4/202211-1 O 1 x y y=x2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函

5、數(shù) f(x) 的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。第12頁，共37頁。8/4/202212結(jié)論：求不定積分的運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆的.4.不定積分與微分(導(dǎo)數(shù))的關(guān)系由此根據(jù)微分公式可得積分公式.第13頁，共37頁。8/4/202213二、 基本積分表( k 是常數(shù)) ;第14頁，共37頁。8/4/202214第15頁，共37頁。8/4/202215三、 不定積分的運(yùn)算法則第16頁，共37頁。8/4/202216證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）第17頁，共37頁。8/4/202217直接積分法 根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式 , 直接求出

6、不定積分的方法.例1第18頁，共37頁。8/4/202218例2 求積分解根據(jù)積分公式（2）第19頁，共37頁。8/4/202219例3第20頁，共37頁。8/4/202220例4第21頁，共37頁。8/4/202221例5第22頁，共37頁。8/4/202222例6. 求積分解第23頁，共37頁。8/4/202223例7例8第24頁，共37頁。8/4/202224例9. 求積分解第25頁，共37頁。8/4/202225例10. 求積分解第26頁，共37頁。8/4/202226例11例12第27頁，共37頁。8/4/202227例13. 求積分解第28頁，共37頁。8/4/202228例14.

7、 求積分解第29頁，共37頁。8/4/202229在求 f (x) 的所有原函數(shù)中,有時需要確定一個滿足條件 y (x0 ) = y0 的積分曲線 .即求通過點(x0 , y0)的積分曲線 .這個條件一般稱為初始條件,它可以唯一確定積分常數(shù) C 的值.第30頁，共37頁。8/4/202230解故所求曲線方程為第31頁，共37頁。8/4/202231例3解第32頁，共37頁。8/4/202232例4解第33頁，共37頁。8/4/202233注意:1) 導(dǎo)數(shù)是唯一的 , 但原函數(shù)不唯一.2) 任一初等函數(shù)都可求導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)數(shù)一般也為初等函數(shù) , 但一些初等函數(shù)的不定積分就不能用初等函數(shù)來表示 .這些不定積分的原函數(shù)存在 , 但不能用初等函數(shù)來表示 .3) 不定積分與變量符號有關(guān).第34頁，共37頁。8/4/202234基本積分表不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)第35頁，共37頁。8/4/202235思