工程力學(xué)-達朗伯原理課件教學(xué)

1、第十章 達朗伯原理 達朗伯原理 剛體慣性力系的簡化 達朗伯原理為解決非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點是：用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題, 因此這種方法又叫動靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題的方法比較簡單, 也容易掌握, 因此動靜法在工程中被廣泛使用。引言 設(shè)一質(zhì)點質(zhì)量為m, 加速度為a, 作用于質(zhì)點的主動力為F, 約束反力為FN 。由牛頓第二定律，有將上式改寫成令10.1 質(zhì)點的達朗伯原理Q具有力的量綱, 且與質(zhì)點的質(zhì)量有關(guān)，稱其為質(zhì)點的慣性力。它的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積, 方向與質(zhì)點加速度的方向相反。QmFFNa即：在質(zhì)點運動的任一瞬時,

2、 作用于質(zhì)點上的主動力、約束反力和假想加在質(zhì)點上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點的達朗伯原理。則有應(yīng)該強調(diào)指出，質(zhì)點并非處于平衡狀態(tài)，這樣做的目的是將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題求解。達朗伯原理與虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。10.1 質(zhì)點的達朗伯原理 例1 球磨機的滾筒以勻角速度w 繞水平軸O轉(zhuǎn)動, 內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料, 鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁, 然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料, 如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r， 試求鋼球的脫離角a。 解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球為研究對象, 受力如圖。鋼球未脫離筒壁前, 作圓周運動, 其加速度為慣性力Q的大小為假想地加上慣性力, 由

3、達朗伯原理OMrwaqFFNmgQ 這就是鋼球在任一位置q 時所受的法向反力, 顯然當鋼球脫離筒壁時, FN0 , 由此可求出其脫離角a為 設(shè)質(zhì)點系由 n 個質(zhì)點組成, 其中任一質(zhì)點i的質(zhì)量為mi, 其加速度為ai, 把作用在此質(zhì)點上的力分為主動力的合力Fi、約束力的合力為FNi，對這個質(zhì)點上假想地加上它的慣性力Qimiai , 方向與ai的方向相反，則由質(zhì)點的達朗伯原理, 有10.2 質(zhì)點系的達朗伯原理即：質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力、約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達朗伯原理。OR例 2 已知：m ，R， 。求：輪緣橫截面的張力。解： 取上半部分輪緣為研究對象Oxy

4、QidFTFT10.3 剛體慣性力系的簡化由靜力學(xué)中任意力系簡化理論知，主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動兩種情況討論慣性力系的簡化結(jié)果。 剛體平移時，剛體內(nèi)任一質(zhì)點i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，有ai aC1. 剛體作平移a11QI1aiiQIiCaC平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力， 其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。RQ2. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 如圖所示, 具有質(zhì)量對稱面且繞垂直于質(zhì)量對稱面的軸轉(zhuǎn)動的剛體。慣性力系向O點簡化的主矢為：方向如圖所示。該慣性力系對轉(zhuǎn)軸O的主矩為10.3 剛體

5、慣性力系的簡化QIinQIiiOriw其上任一點的慣性力的分量的大小為由于QIin通過O點, 則有 MO( QIin )= 0, 所以即10.3 剛體慣性力系的簡化綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系, 可以簡化為通過轉(zhuǎn)軸O的一個慣性力RQ和一個慣性力偶MQO。力RQ的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積, 方向與質(zhì)心加速度的方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；力偶MQO的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度大小的乘積, 轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。QIinQIiiOriwMQORQ現(xiàn)在討論以下三種特殊情況：2. 當剛體作勻速轉(zhuǎn)動時, 0, 若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心, 慣性力系簡化為一慣性力RQ, 且RQ

6、maC, 同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。1. 當轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時, aC0, RQ0, MQOIC。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。3. 當剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時, RQ 0, MQO 0, 慣性力系自成平衡力系。 10.3 剛體慣性力系的簡化QIinQIiiOriwMQORQ例3 重P長l的等截面均質(zhì)細桿AB, 其A端鉸接于鉛直軸AC上, 并以勻角速度w 繞該軸轉(zhuǎn)動, 如圖。求角速度w 與角的關(guān)系。解：以桿AB為研究對象, 受力如圖。 桿AB勻速轉(zhuǎn)動, 桿上距A點x 的微元段dx 的加速度的大小為 微元段的質(zhì)量dmPdx/gl。在該微元段虛加慣性力dQi, 它的大小為xdxdQianqw

7、BACyx 于是整個桿的慣性力的合力的大小為設(shè)力RQ的作用點到點A的距離為d, 由合力矩定理, 有即假想地加上慣性力, 由質(zhì)點系的達朗伯原理代入RQ的數(shù)值, 有qBAxdPFAxFAyRQxdxdQianqwBACyxDBA 例4 如圖所示, 均質(zhì)桿AB的質(zhì)量m40 kg, 長l4 m, A點以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦, 當小車以加速度a15 m/s2向左運動時, 求D處和鉸A處的約束反力。 解：以桿為研究對象, 受力如圖, 建立如圖坐標。桿作平動, 慣性力的大小為RQma。假想地加上慣性力, 則由質(zhì)點系的達朗伯原理于是得RQlA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy 代入數(shù)據(jù), 解之得：DBARQaFDmgFAxFAyxyBC 例5 均質(zhì)桿AB長l, 重W, B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶, 借助于細繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。解：先以輪和重物為研究對象, 受力如圖