分形藝術欣賞2課件

1、分形藝術欣賞第1頁，共93頁。1、從數(shù)學怪物談起1.1 馮科克（von Koch）曲線第2頁，共93頁。 操作無限進行下去，這條曲線將達到無限長。難以置信的是這條無限長的曲線卻“始終只有那么大”。第3頁，共93頁。第4頁，共93頁?？坪涨€（1904年） 設 K0 是單位長直線段； K1 是由過原三等分這線段，去掉中間一份而代之以底邊為被去掉的線段的等邊三角形向上指的另外兩條邊所得到圖形，它包 含邊長為 1/3 的四條線段； 對 K1 的每條線段都重復上述過程來構造 K2 ，它包含邊長為 的16條線段； 如此繼續(xù)下去，于是得到一個曲線序列Kn，其中Kn是將Kn-1的每條線段上中間1/3部分用底

2、邊為這1/3部分的等邊三角形向上指的另外兩邊取代而得到的； 當 n 充分大時，曲線 Kn 和 Kn-1 只在精細的細節(jié)上不同；而當 n 時，曲線序列 Kn 的極限 就稱為科赫曲線。第5頁，共93頁?？坪涨€ K 的特性 科赫曲線 K 是自相似的，迭代過程中每次所得到的四個部分與整體的相似比例均為1/3 ； K 具有精細結構，即在任意小的比例尺度內(nèi)都包含整體特征； K 是無窮次迭代的結果，連續(xù)迭代過程可得到K之越來越好的近似 Kn； K 難以用經(jīng)典的數(shù)學語言來描述，它既不是滿足某些簡單幾何條件的點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集； K 的長度為 , 而面積為 0 。第6頁，共93頁。1.2 康托

3、爾集合第7頁，共93頁?？低腥旨?872年） 記 是單位長直線段 0，1 ； 設 是去掉 中間的 1/3 部分所得到的集，即 ； 然后從構成 的 2 個子區(qū)間中分別去掉中間的 1/3 部分，所得的 4 個子區(qū)間構成 ，即 ； 如此繼續(xù)下去， 是從構成 的每個區(qū)間中分別去掉中間的 1/3 部分而得到的長度為 的 個子區(qū)間之并集； 當 充分大時， 與 之間只在精細的細節(jié)上不同； 康托三分集是指由所有 的公共點構成的集，即 ， C 實際上是集序列 當 n 趨于無窮時的極限。第8頁，共93頁。 康托集 C 是自相似的，迭代過程中每步所保留的兩個部分與整體的相似比例均為 1/3 ； C 具有精細結構

4、，即在任意小的比例尺度內(nèi)都包含整體特征； C 是無窮次迭代的結果，連續(xù)的迭代過程可得到C之越來越好的近似 Cn ； C 難以用經(jīng)典的數(shù)學語言來描述，它既不是滿足某些簡單幾何條件的點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集； C 是無限不可數(shù)集，但其長度為康托三分集 C 的特性第9頁，共93頁。謝爾平斯基墊片 E 前五步的構造1.3 謝爾賓斯基三角第10頁，共93頁。第11頁，共93頁。謝氏地毯第12頁，共93頁。第13頁，共93頁。第14頁，共93頁。第15頁，共93頁。三維謝氏自相似結構謝氏海綿第16頁，共93頁。1.4 勾股樹第17頁，共93頁。第18頁，共93頁。第19頁，共93頁。第20頁，共

5、93頁。1.5 二元樹第21頁，共93頁。第22頁，共93頁。1.6 英國的海岸線有多長？ 1967年法國數(shù)學家B.B.Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題，這好像極其簡單，因為長度依賴于測量單位，以1km為單位測量海岸線，得到的近似長度將短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m為單位測量，則能測出被忽略掉的迂回曲折，長度將變大，測量單位進一步變小，測得的長度將愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。第23頁，共93頁。 答案似乎解決了，但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認為海岸線的長度是不確定的，或

6、者說，在一定意義上海岸線是無限長的。為什么？答案也許在于海岸線的極不規(guī)則和極不光滑。我們知道，經(jīng)典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統(tǒng)上將自然界大量存在的不規(guī)則形體規(guī)則化再進行處理，我們將海岸線折線化，得出一個有意義的長度。 可貴的是Mandelbrot突破了這一點，長度也許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)則圖形的特征。海岸線雖然很復雜，卻有一個重要的性質(zhì)自相似性。從不同比例尺的地形圖上，我們可以看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復雜程度是相似的。換言之，海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細節(jié)。要定量地分析像海岸線這樣的圖形，引入分形維數(shù)也

7、許是必要的。經(jīng)典維數(shù)都是整數(shù)：點是0維、線是1維、面是2維、體是3維，而分形維數(shù)可以取分數(shù)，簡稱分維。第24頁，共93頁。2、分形幾何學2.1 歐幾里得幾何的局限性 自公元前3世紀歐幾里得幾何基本形成至今已有2000多年。歐氏幾何的重要性可以從人類的文明史中得到證明。歐氏幾何主要是基于中小尺度上，點、線面之間的關系。這種觀念與特定時期人類的實踐、認識水平是相適應的。 20世紀以后，科學的發(fā)展極為迅速，有些研究對象已經(jīng)很難用歐氏幾何來描述了。第25頁，共93頁。2.2 分形幾何的產(chǎn)生 1973年，曼德爾布羅特在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設想。1975年，他在其自然界中的分形幾何

8、一書中引入了分形（fractal）這一概念。從字面意義上講，fractal是碎塊、碎片的意思，然而這并不能概括他的分形概念。目前數(shù)學上大家都認為分形有以下幾個特點：（1）分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié)，或者說分形集具有無限精細的結構；（2）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或都統(tǒng)計的自相似；第26頁，共93頁。（3）一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴格大于分形集相應的拓撲維數(shù)；（4）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生等。 上述（1）、（2）兩項說明分形在結構上的內(nèi)在規(guī)律性。自相似性是分形的靈魂，自相似性使得分形的任何一個片段都包含了整個分形的

9、信息。第（3）項說明了分形的復雜性。第（4）項則說明了分形的生成機制。第27頁，共93頁。分形的直觀描述 曼德爾布羅特經(jīng)過幾十年的探索，在對大量不具有特征長度幾何圖形進行分析、綜合的基礎上，提煉出 “在尺度變換下保持不變性” （即“無標度性”）這一要素，于 1986 年給出分形概念以如下的直觀描述： 分形是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。亦即：如果一個圖形其組成部分以某種方式與整體相似，則稱該圖形為分形。第28頁，共93頁。2.3 為什么要研究分形？ 首

10、先，分形形態(tài)是自然界普遍存在的，研究分形，是探討自然界的復雜事物 的客觀規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的需要，分形提供了新的概念和方法。 其次，分形具有廣闊的應用前景，在分形的發(fā)展過程中，許多傳統(tǒng)的科學難題，由于分形的引入而取得顯著進展。 美國著名物理學家惠勒說過：“今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人?！钡?9頁，共93頁。 當我們測量幾何圖形的長度、面積和體積時，分別用單位長線段、單位面積正方形和單位體積正方體來度量。若用單位長線段來測量面積，而用單位面積正方形來測量體積，其結果皆為無窮，說明所用的尺度太“細”；反之，若用單位面積正方形來測量長度，用單位體積正方體來測量面積，則所得的結果皆為

11、0，說明所用的尺度太“粗”。因此，選取的尺度必須與所測對象相匹配。由維數(shù)與測量尺度的密切關系而得的啟示第30頁，共93頁。 對于分形這類復雜奇異的的幾何對象，上述拓撲維數(shù)已無法作為刻畫他們的特征量了。事實上： 對于康托三分集 C ，由于所以在測量康托三分集 C時，0 維尺度太細，而 1 維尺度太粗。第31頁，共93頁。 對于科赫曲線 K ，由于 所以在測量科赫曲線 K 時，1 維尺度太細，而 2 維尺度太粗； 對于謝爾平斯基墊片 E 和謝爾平斯基毯片 F ，情況也是如此。第32頁，共93頁。 對于謝爾平斯基海綿 S ，可以算得 所以在測量謝爾平斯基海綿 S 時，2 維尺度太細，而 3 維尺度太

12、粗。 顯然，當 “ 長度 ”、“ 面積 ”、“ 體積 ” 為 0 或 + 時，使用價值不大，只有幾何對象的 “ 長度 ”、“ 面積 ”、“ 體積 ” 為有限數(shù)時，才能比較集合的大小。第33頁，共93頁。 將 ， ， ， 中的 0，1，2，3 用分數(shù)甚至無理數(shù) 來代替，使得 從而用 來表示 F 的度量！ （牢記：啟迪乃教學之本，創(chuàng)新為科研之魂） 按照曼德爾布羅特的思想，可以視前述的 C，K，S 分別是一個介于 0 維與 1 維 ，1 維與 2 維，2 維與 3 維之間的幾何對象。德爾布羅曼特的創(chuàng)新思維第34頁，共93頁。3.自相似維數(shù)與豪斯道夫維數(shù) 由于分形集的復雜奇異性，對于不同的測量對象需用

13、不同的測量方法。關于分形維數(shù)，已有多種定義和計算方法，包括較易理解的自相似維數(shù)、容量維數(shù)、信息維數(shù)、盒子維數(shù)等和深奧的豪斯道夫維數(shù)等，用不同方法計算出的分形維數(shù)值稍有不同。這里只介紹自相似維數(shù)概念的建立和計算的方法。 假設一個圖形的一邊具有長度 L，對應的第二個自相似圖形的邊具有長度 ,則定義自 相 似 維 數(shù)為第二個圖形對第一個圖形的相似比（或比例因子）。第35頁，共93頁。 為定義自相似維數(shù)，先來考察整數(shù)維情形下維數(shù)、兩個自相似對象的測度與相似比之間的關系，如圖所示（圖示中的 p = 1/3）。1 維情形下維數(shù)與相似比關系示意圖 在二維面積情形，若記 A ,a 分別為原圖形與對應的 第二個

14、自相似圖形的面積，則 有31 在一維長度情形，有 2 維情形下維數(shù)與相似比關系示意圖3311第36頁，共93頁。 在三維體積情形，若記 V,v 分別為原圖形與對應的第二個自相似圖形的體積，則有3331113 維情形下維數(shù)與相似比關系示意圖第37頁，共93頁。 一般地，對于一個 維的自相似幾何對象 F，若每個獨立方向都縮小到原來的 1/r ，則相似比（或比例因子）為 1/r 的兩個自相似對象的測度 M 與 m 之間應滿足 于是得 進而若記 它表示相示比為 1/r 時每次迭代所得到的相似形的個數(shù)，則 稱之為分形 F 的自相似維數(shù)。第38頁，共93頁。計算分形維數(shù)的典型例子 例1 由于康托三分集 C

15、 每次迭代是由 2 個相似比為 1/3 的相似形構成的，故其自相似維數(shù)為 例2 由于科赫曲線 K 每次迭代是由 4 個相似比為 1/3 的相似形構成的，故其自相似維數(shù)為 科赫曲線可作為一種海岸線模型的分形生成元。第39頁，共93頁。 科學家在對海岸線的形成經(jīng)過分析后，發(fā)現(xiàn)不同的分形生成元會產(chǎn)生形態(tài)各異的海岸線模型。圖 1 是除科赫曲線分形生成元以外其他幾種海岸線模型的分形生成元（第一步），其初始元皆為單位長度的直線段。圖 2 是分形元 經(jīng)四步迭代后形成的海岸線模型。作為練習，請自己分別計算出這五種分形元所生成的五條分形曲線的自相似維數(shù)。 第40頁，共93頁。 第41頁，共93頁。 例3 對于謝

16、爾平斯基墊片 E ，由于每次迭代是由 3 個相似比為 1/2 的相似形構成的，故其自相似維數(shù)為 例4 對于謝爾平斯基毯片 F ，由于每次迭代是由 8 個相似比為 1/3 的相似形構成的，故其自相似維數(shù)為 圖 3 是兩種分形曲線的生成元，其中陰影部分是每次迭代后所保留下的部分。作為練習，請自己分別計算出這兩種分形元所生成的兩條分形曲線的自相似維數(shù)。第42頁，共93頁。 例5 對于謝爾平斯基海綿 S ，由于每次迭代是由 20 個相似比為 1/3 的相似形構成的，故其自相似維數(shù)為第43頁，共93頁。3、分形藝術欣賞第44頁，共93頁。三維謝氏塔的自相似結構 第45頁，共93頁。圖5 謝爾賓斯基/門格

17、爾海綿 第46頁，共93頁。曼德爾布羅特集圖 第47頁，共93頁。第48頁，共93頁。第49頁，共93頁。第50頁，共93頁。第51頁，共93頁。第52頁，共93頁。第53頁，共93頁。第54頁，共93頁。曼德爾布羅特集圖第55頁，共93頁。曼德爾布羅特集逐步放大圖 第56頁，共93頁。曼德爾布羅特集逐步放大圖 第57頁，共93頁。曼德爾布羅特集逐步放大圖 第58頁，共93頁。圖4 謝氏四方墊片 第59頁，共93頁。洛倫次曲線第60頁，共93頁。圖7 四方內(nèi)生樹第61頁，共93頁。圖8 分形龍 第62頁，共93頁。圖12 曼德勃羅集逐步放大圖 第63頁，共93頁。圖13 曼德勃羅集“峽谷地帶”

18、放大圖 第64頁，共93頁。對應于曼德勃羅集的朱麗亞集 第65頁，共93頁。圖14朱麗亞集圖譜 第66頁，共93頁。朱麗亞集圖譜第67頁，共93頁。高維朱麗亞集第68頁，共93頁。高維朱麗亞集的投影圖 第69頁，共93頁。朱麗亞集圖譜第70頁，共93頁。第71頁，共93頁。第72頁，共93頁。第73頁，共93頁。分形項鏈第74頁，共93頁。第75頁，共93頁。第76頁，共93頁。第77頁，共93頁。東方龍第78頁，共93頁。第79頁，共93頁。第80頁，共93頁。第81頁，共93頁。第82頁，共93頁。分形樹第83頁，共93頁。分形山第84頁，共93頁。分形島第85頁，共93頁。分形花第86頁，共93頁。分形畫第87頁，共93頁。分形畫第88頁，共93頁。4 分形幾何學發(fā)展的意義和作用 數(shù)千年來，無論是在思想領域的突破上，還是在科學方法論的建立上，幾何學總是扮演著開路先鋒的角色。當今被譽為開創(chuàng)了 20 世紀數(shù)學重要階段的分形幾何學，已發(fā)展成為科學的方法論分形理論，并被應用到各具特色的自然科學領域、一些工程技術和社會科學領域之中，取得了巨大成就。 分形幾何學是 20 世紀 80 年代科學思想和方法的一個突破口，是數(shù)學寶庫中的一朵絢麗的奇葩。正如歐幾里得幾何學對初等數(shù)學