Chapter31向量范數(shù)與矩陣范數(shù)

1、3.1 向量和矩陣范數(shù) ( vector norms )對(duì)任意定義1：Rn | | ,對(duì)任意 滿足下列條件常用向量范數(shù)：=niixx11|v=niixx122|v|max|1inixx=v1主要性質(zhì)性質(zhì)1:-x=x性質(zhì)2:x-yx-y性質(zhì)3: 向量范數(shù)x是Rn上向量x的連續(xù)函數(shù).范數(shù)等價(jià):設(shè)A 和B是R上任意兩種范數(shù)，若存在 常數(shù) C1、C2 0 使得 ,則稱 A 和B 等價(jià)。定理1.4.1 Rn 上一切范數(shù)都等價(jià)。2 定義2:設(shè)xk是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,，xkn), k=1,2，., 又設(shè)x*（x1*，x2*，xn*)是Rn上的向量. 如果lim xki=xi對(duì)所

2、有的i=1,2,，n成立， 那么,稱向量x*是向量序列xk的極限 ，若一個(gè)向量序列有極限,稱這個(gè)向量序列是收斂的. 對(duì)任意一種向量范數(shù)而言，向量序列xk收斂于向量x*的充分必要條件是定理1.4.23 矩陣范數(shù) ( matrix norms )定義3:對(duì)任意 ,稱| | 為Rmn空間的矩陣范數(shù), 指| |滿足(1)-(3)：對(duì)任意(4) | AB | | A | | B |若還滿足(4),稱為相容的矩陣范數(shù)4例5:設(shè)A(aij)M. 定義證明：這樣定義的非負(fù)實(shí)數(shù)不是相容的矩陣范數(shù).證明：設(shè)從而5相容性（1）矩陣范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容:ABAB（2）矩陣范數(shù)與向量范數(shù)設(shè)AM，A是矩陣范數(shù),xRn，x

3、是向量范數(shù).如果滿足不等式:AxAx則稱矩陣范數(shù)A與向量范數(shù)x相容.6常用的算子范數(shù)： 由向量范數(shù) | |p 導(dǎo)出關(guān)于矩陣 A Rnn 的 p 范數(shù):則（行和范數(shù)）（列和范數(shù)）（譜范數(shù) ( spectral norm ) ）利用Cauchy 不等式 可證（例6）。可以證明,對(duì)方陣 和 有: ，(向量| |2的直接推廣)Frobenius范數(shù):( operator norm ),又稱為從屬的矩陣范數(shù):算子范數(shù)7定理1.4.6對(duì)任意算子范數(shù) | | 有:證明：由算子范數(shù)的相容性，得到將任意一個(gè)特征根 所對(duì)應(yīng)的特征向量 代入命題(P26，推論1）若A對(duì)稱，則有:A對(duì)稱證明：若 是 A 的一個(gè)特征根，

4、則2 必是 A2 的特征根。又：對(duì)稱矩陣的特征根為實(shí)數(shù)，即 2(A) 為非負(fù)實(shí)數(shù)，故得證。對(duì)某個(gè) A 的特征根 成立所以2-范數(shù)亦稱為譜范數(shù)。8定理1.4.4若矩陣 A 對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足 |A| 1，則必有.可逆；.證明： 若不然，則 有非零解，即存在非零向量 使得 91.5 線性方程組的性態(tài)（誤差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations ) 思考:求解 時(shí), A 和 的誤差對(duì)解 有何影響？ 設(shè) A 精確， 有誤差 ，得到的解為 ，即絕對(duì)誤差放大因子又相對(duì)誤差放大因子10 設(shè) 精確，A有誤差 ，得到的解為 ，即(只要 A充分小，使得 是關(guān)鍵的誤差放大因子，稱為A的狀態(tài)數(shù)(條件數(shù))，記為cond (A) ,11注: cond (A) 與 所取的范數(shù)有關(guān)常用條件數(shù)有：cond (A)2特別地，若 A 對(duì)稱，則cond (A)1=A1 1cond (A)=A 12例：Hilbert 陣cond (H2) =27cond (H3) 748cond (H6) =2.9 106注：現(xiàn)在用Matlab數(shù)學(xué)軟件可以很方便求矩陣的狀態(tài)