二次型分類和雙線性函數(shù)

1、二次型分類和雙線性函數(shù)二次型分類和雙線性函數(shù)9.1 二次型和對稱矩陣9.2 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型9.3 正定二次型9.4 主軸問題9.5 雙線性函數(shù) 二次型分類和雙線性函數(shù)我思故我在。 -笛卡兒(Rene Descartes， 1596-1650)如果我能夠看的更遠(yuǎn)，那是因為我站在巨人的肩上。 - 牛頓（Newton,16421727） 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1 二次型和對稱矩陣一.內(nèi)容分布 9.1.1 二次型及矩陣 9.1.2 線性變換 9.1.3 矩陣的合同 9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二.教學(xué)目的 1.掌握二次型及其矩陣的定義 以及矩陣的合同 2.理解關(guān)于二次型的線性變換 3.了解

2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形三.重點難點: 合同、線性變換、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.1 二次型及矩陣 定義1 設(shè)F是一個數(shù)域，F(xiàn)上n元二次齊次多項式（1）叫做F上的一個n 元二次型。F 上n 元多項式總可以看成 F 上的n 個變量的函數(shù)，二次型（1）定義了一個函數(shù) 所以n 元二次型也叫n 個變量的二次型. 在（1）中令 因為 所以（1）式可以寫成以下形式： 二次型分類和雙線性函數(shù)（2） 是（2）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣,稱為二次型 的矩陣。因為 ,所以A是F上的一個n 階對稱矩陣，利用矩陣的乘法，（2）式可以寫成（3）二次型（3）的秩指的就是矩陣A的秩。 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.

3、2 線性變換如果對二次型（3）的變量施行如下的一個變換： （4）那么就得到一個關(guān)于 的二次型（4）式稱為變量的線性變換，令 是（4）的系數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣，則（4）可以寫成 二次型分類和雙線性函數(shù)（5）將（5）代入（3）就得到 （6） 矩陣P稱為線性變換（4）的矩陣。如果P是非奇異的，就稱（4）是一個非奇異線性變換。因為A是對稱矩陣，所以 也是對稱矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)推論9.1.2 一個二次型的秩在變量的非奇異線性變換之下保持不變。注意: 如果不取二次型的矩陣是對稱矩陣，則推論不成立 定理9.1.1 設(shè) 是數(shù)域F上的一個以A為矩陣的n元二次型。對它的變量施行一次以P為矩陣的線性變換后所得

4、到的二次型的矩陣是 。二次型分類和雙線性函數(shù) 對稱性：如果B與A合同，那么A也與B合同，因為由 可以得出9.1.3 矩陣的合同定義2 設(shè)A，B是數(shù)域F上的兩個n 階矩陣。如果存在F上的一個非異矩陣P，使得 那么稱B與A合同。 矩陣的合同關(guān)系的性質(zhì)： 傳遞性：如果 B 與 A 合同，C 與 B 合同，那么C 與 A 合同。 自反性：任意矩陣A都與自身合同，因為IAI=A二次型分類和雙線性函數(shù)事實上，由 可得合同的矩陣顯然有相同的秩，并且與一個對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱的. 是數(shù)域F上兩個n 元二次型，它們的矩陣分別為A 和 B. 如果可以通過變量的非奇異線性變換將 ，則B與A 合同. 反之，設(shè)B

5、與A 合同. 于是存在F上非奇異矩陣P 使得 . 通過以P為矩陣的非奇異線性變換就將 .F上兩個二次型叫等價，如果可以通過變量的非奇異線性變換將其中一個變成另一個. 二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.1.3 數(shù)域F上兩個二次型等價的必要且充分條件是它們的矩陣合同。等價的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 是數(shù)域F上的一個n階對稱矩陣。總存在F上一個n階非奇異矩陣P，使得即F上的一個n階對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合同。二次型分類和雙線性函數(shù)證 我們將利用矩陣的初等變換來證明這個定理?；貞浺幌?.2里所定義的三種初等矩陣 容易看出，現(xiàn)在對矩陣A的階n作數(shù)學(xué)歸納法，n = 1時定理顯然成立。設(shè)n 1

6、，并且假設(shè)對于n 1階對稱矩陣來說，定理成立。 是一個n階矩陣.如果A = O，這時A本身就是對角形式。設(shè) ,我們分兩種情形來考慮.二次型分類和雙線性函數(shù)(a) 設(shè)A的主對角線上元素不全為零，例如， .如果i 1，那么交換A的第1列與第I 列，再交換第1行與第i行，就可以把 換到左上角。這樣就相當(dāng)于初等矩陣 , 再用 . 于是 的左上角的元素不等于零. 因此，我們不妨設(shè) ，用 乘 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的元素變成零。 A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第二次型分類和雙線性函數(shù)這相當(dāng)于用 右乘A，用 左乘A。這樣，總可以選取初等矩陣 ,使得 這里 是一個

7、n 1階的對稱矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)由歸納法假設(shè)，存在n 1階可逆矩陣 使得 取二次型分類和雙線性函數(shù)那么 這里 。 二次型分類和雙線性函數(shù)(b) 如果 . 由于AO，所以一定有某一個元素 . 把A的第 j 列加到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 這相當(dāng)于初等矩陣 右乘A . 再用 左乘A. 而經(jīng)過這樣的變換后所得到的矩陣第 i行第 j 列的元素是 . 于是由情形（b）就歸結(jié)到情形（a）.注意 在定理 9.1.2的主對角形矩陣 中，主對角線上的元素 的一部分甚至全部可以是零。顯然，不為零的 的個數(shù)等于A的秩，如果秩A等于r 0，那么由定理的證明過程可以知二次型分類和雙線性函數(shù)給

8、了數(shù)域 F 上一個n 階對稱矩陣A， 由定理9.1.2的證明過程還可以看出，我們可以具體求出一個可逆矩陣P，使 有對角形式，只要在對A施行一對列初等變換和行初等變換的同時，僅對n階單位矩陣 I 施行同樣的列初等變換，那么當(dāng)A化為對角形式時，I 就化為P。 例1 設(shè) 二次型分類和雙線性函數(shù)我們按定理9.1.2所給出的方法對A施行行和列初等變換，將A變成，使得是一個對角形矩陣。同時對單位矩陣 ，施行同樣的初等變換而得出P。 交換A第一列和第二列，第一行和第二行，同時交換 的第一列和第二列。這時A和 分別化為： 二次型分類和雙線性函數(shù)把 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同時把 的第

9、一列乘以2加到第三列。分別得到： 把 的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同時把 和第四列加到第二列，得二次型分類和雙線性函數(shù)以 2/3 和 1 /2 乘 的第二列依次回到第三列和第四列上, 再以 2/3 和1 /2 乘第二行依次加到第三行和第四行上，同時對 的列施行同樣的初等變換。得二次型分類和雙線性函數(shù)最后，以 3/4 乘 的第三列加到第四列上,再以3/4 乘第三行加到第四行上，并且對 的列施行同樣的初等變換，我們得到 取 。于是二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理9.1.5 數(shù)域F上每一個n元二次型 可以通過變量的非奇異線性變換化為： 例如，以例 1 中對稱矩陣A為矩陣

10、的二次型是 二次型分類和雙線性函數(shù)通過變量的非奇異線性變換 化為 二次型分類和雙線性函數(shù)練習(xí)1 寫出下列二次型的矩陣 練習(xí)2 寫出對應(yīng)下列方陣的二次型 例2 分別用配方法和合同變換法化二次型 成標(biāo)準(zhǔn)形. (讀者答題） 二次型分類和雙線性函數(shù)練習(xí)3 已知二次型 試對它作如下非奇異線性變換二次型分類和雙線性函數(shù)9.2 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型 一.內(nèi)容分布 9.2.1 復(fù)二次型的典范形 9.2.2 實二次型的典范形二.教學(xué)目的 1掌握復(fù)二次型的典范形、實二次型的典范形、實二次 型的慣性指標(biāo).、符號差等概念。 2掌握實二次型的慣性定律.三.重點、難點： 實二次型的慣性定律. 二次型分類和雙線性函數(shù)復(fù)

11、數(shù)域和實數(shù)域上的二次型分別叫做復(fù)二次型和實二次型. 9.2.1 復(fù)二次型的典范形 定理9. 2. 1 復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩. 兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩. 證 顯然只要證明第一個論斷. 條件的必要性是明顯的. 我們只要證條件的充分性. 設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣，且A與B有相同的秩r ，由定理，分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q，使得二次型分類和雙線性函數(shù)二次型分類和雙線性函數(shù)取 n 階復(fù)矩陣的一個平方根. 二次型分類和雙線性函數(shù)那么 ，而 因此，矩陣A，B 都與矩陣 合同，所以A與B合同. 二次型分類和雙線性函數(shù)9.2.2 實二次型

12、的典范形定理9.2.2 實數(shù)域上每一n 階對稱矩陣A 都合同于如下形式的一個矩陣： （1） 這里 r 等于A的秩. 證 由定理，存在實可逆矩陣P，使得 二次型分類和雙線性函數(shù)如果r 0 ，必要時交換兩列和兩行，我們總可以假定 二次型分類和雙線性函數(shù)取 那么二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.2.3 實數(shù)域上每一 n 元二次型都與如下形式的一個二次型等價： （1） 這里 r 是所給的二次型的秩. 二次型（1）叫做實二次型的典范形式，定理9.2.3 是說，實數(shù)域上每一個二次型都與一個典范形式等價. 在典范形式里，平方項的個數(shù) r 等于二次型的秩，因而是唯一確定的. 二次型分類和雙線性函數(shù)定理 （慣性定律

13、）設(shè)實數(shù)域R上n元二次型 等價于兩個典范形式 （2）（3）那么證 設(shè)（2）和（3）分別通過變量的非奇異線性變換 （4）（5）二次型分類和雙線性函數(shù)化為所給的二次型 如果 不妨設(shè) 考慮 個方程的齊次線性方程組（6）因為 所以 因此，方程組（6）在R內(nèi)有非零解. 令 是（6）的一個非零解. 把這一組值代入 的表示式二次型分類和雙線性函數(shù)（4）和（5）. 記 我們有二次型分類和雙線性函數(shù)然而所以 因為 都是非負(fù)數(shù)，所以必須又 所以 是齊次線性方程組 的一個非零解.這與矩陣 的非奇異性矛盾. 二次型分類和雙線性函數(shù)這就證明了 . 同理可證得 . 所以 由這個定理，實數(shù)域上每一個二次型都與 唯一的典范形

14、式（1）等價. 在（1）中，正平方項的個數(shù) p 叫做所給二次型的慣性指標(biāo). 正項的個數(shù)p與負(fù)項的個數(shù) r p 的差s = p (r p) = 2p r 叫做所給的二次型的符號差. 一個實二次型的秩，慣性指標(biāo)和符號都是唯一確定的. 二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.2.5 實數(shù)域上兩個 n 元二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號差. 證 設(shè) 是實數(shù)域上兩個n元二次型. 令 分別是它們的矩陣. 那么由定理9.2.2，存在實可逆矩陣P，使得如果 等價，那么 合同. 于是存在實可逆矩陣Q 使得 . 取 ，那么二次型分類和雙線性函數(shù)因此 都與同一個典范形式等價，所以它們有相同的秩和符號差. 反過

15、來，如果 有相同的秩 r 和符號差s ,那么它們也有相同的慣性指標(biāo) . 因此 都與矩陣二次型分類和雙線性函數(shù)合同. 由此推出 合同，從而 等價. 推論 9.2.6 實數(shù)域 R 上一切n元二次型可以分成 類，屬于同一類的二次型彼此等價，屬于不同類的二次型互不等價. 證 給定 . 令 二次型分類和雙線性函數(shù)由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰與一個以 為矩陣的典范形式等價. 當(dāng) r 取定后，p 可以取0，1， ，r ；而 r 又可以取0，1，n 中任何一個數(shù). 因此這樣的 共有 個. 對于每一個 ，就有一個典范形式 二次型分類和雙線性函數(shù)與它相當(dāng). 把與同一個典范形式等價的二次型放在一類，于是

16、R 上的一切 n 元二次型恰可以分成 類，屬于同一類的二次彼此等價，屬于不同類的二次互不等價.例 1 a 滿足什么條件時，二次型 的慣性指標(biāo)是0，符號差是2 ？寫出其典范形。 二次型分類和雙線性函數(shù)解 實二次型 的矩陣為 經(jīng)過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形 所以當(dāng) 或 時，二次型的慣性指標(biāo)是0，符號差是2，其典范形為 二次型分類和雙線性函數(shù)一內(nèi)容分布正定二次型 9.3.2 正定二次型的判別二、教學(xué)目的 1掌握正定二次型、正定矩陣、順序主子式、負(fù)定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型、不定二次型的概念。三、重點、難點 實二次型 正定的判定。 2掌握實二次型 正定的判 定定理。 9.3 正定二次型二次型分類和

17、雙線性函數(shù)9.3.1 正定二次型與正定矩陣1基本概念 i）正定二次型實二次型 稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù) 都有 ii）正定矩陣 實對稱矩陣 稱為正定的，如果二次型 二次型分類和雙線性函數(shù)iii）負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型設(shè) 是一實二次型，如果對于任意一組不全為零的實數(shù) ，都有 , 那么 稱為負(fù)定的； 都有 ，那么 稱為半正定的； 都有 ， 那么 稱為半負(fù)定的； 如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么 就稱為不定的. 稱為正定 稱為負(fù)定 稱為半正定 稱為半負(fù)定 二次型分類和雙線性函數(shù)例1 下列實二次型是否為正定的二次型：1） 2） 3） （半正定） 例2 若 ， 都是 階正

18、定矩陣， 證明： 是正定矩陣。 證明： 只需證明 正定。 由 ， 都是正定矩陣，知 ， 正定， 所以對于任意一組不全為零的實數(shù) ， 有 ， 從而 故 正定。 二次型分類和雙線性函數(shù)2兩個結(jié)論實二次型 是正定的當(dāng)且僅當(dāng) . 證明：若 正定，則對任意一組不全為零的實數(shù) ，都有 . 分別選取 為 ，則有 . 若 .則對任意一組不全為零的實數(shù) ，都有 所以 是正定的。 二次型分類和雙線性函數(shù)非退化實線性替換保持實二次型的正定性不變. 設(shè)實二次型(1) 經(jīng)過非退化實線性替換 (2) 變成二次型(3) 則 是正定的 是正定的。二次型分類和雙線性函數(shù)證明： 若 是正定的。對于任意一 組不全為零的實數(shù) ，令由

19、于 是可逆實矩陣，故 也是一組不全為零的實數(shù)，從而 因為二次型（3）也可以經(jīng)非退化實線性替換變到二次型（1），所以按同樣理由，當(dāng)（3）正定時，（1）也正定. 二次型分類和雙線性函數(shù)9.3.2 正定二次型的判別 1判別定理1： 實二次型 是正定的 它的正慣性指數(shù)等于 .實二次型 是正定的 它的規(guī)范形為 。 一個實對稱矩陣是正定的 它與單位矩陣合同. 例3 正定矩陣的行列式大于零. 逆命題不成立。反例： 的行列式大于零，但它對應(yīng)的二次型 不是正定的。 二次型分類和雙線性函數(shù)提示：2矩陣的順序主子式 稱為矩陣 的順序主子式. 矩陣 的第 個順序主子式為 練習(xí)1：若 是 階實矩陣，則滿足（ ）時， 是

20、正定矩陣。二次型分類和雙線性函數(shù)稱為矩陣 的順序主子式.3判別定理2：實二次型 是正定的 矩陣 的順序主子式全大于零. 二次型分類和雙線性函數(shù)例4 判定二次型 是否正定. 的矩陣為 ，它的順序主子式 所以， 正定。二次型分類和雙線性函數(shù)A ， B. 非退化， C. 的元素全是正實數(shù)， D. 的主對角上元素全為正。練習(xí)2：若 是正定矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）。 練習(xí)3：設(shè) 易知 都是正定矩陣，但 不是正定矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)9.4 主軸問題 一.內(nèi)容分布 9.4.1 變量的正交變換 9.4.2 實對稱矩陣的相似對角形二.教學(xué)目的: 1掌握變量的正交變換 2掌握將實二次型通過變量的正

21、交變換化為一 個只含變量平方項的二次型三.重點、難點: 實二次型通過變量的正交變換化為一個只含變量平方項的二次型二次型分類和雙線性函數(shù)9.4.1 變量的正交變換我們已經(jīng)看到, 實數(shù)域上一個二次型 可以經(jīng)過變量的非奇異變換化為二次型二次型分類和雙線性函數(shù)定義: 我們一般地討論將一個n元實二次型通過變量的正交變換化為一個只含變量平方項的二次型問題, 這個問題稱為二次型的主軸問題. 這里所說的變量的正交變換指的是這個變換的矩陣是正交矩陣. 由于正交矩陣是非奇異的, 所以變量的正交變換是非奇異的. 用矩陣的語言來說就是, 給一個實對稱矩陣A, 要尋求一個正交矩陣U, 使得 是對角形式, 這個問題在8.

22、4里實際上已經(jīng)得到解決.二次型分類和雙線性函數(shù)定理 設(shè) 是實數(shù)域上一個二次型, 那么總可以通過變量的正交變換 化為 這里U是一個正交矩陣,而 是二次型 的全部特征根. 二次型分類和雙線性函數(shù)證 是一個n 階實對稱矩陣.由定理8.4.3 和 8.4.6,存在一個正交矩陣U , 使得這里 是A的全部特征根.這也就相當(dāng)于說以A為矩陣的二次型可以通過變量的正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式 二次型分類和雙線性函數(shù)推論9.4.2 設(shè) 是實數(shù)域上一個n元二次型, 是它的矩陣. (i) 二次型 的秩等于A 的不等于零的特征根的個數(shù), 而符號差等于A 的正特征根個數(shù)與負(fù)特征根個數(shù)的差. (ii) 二次型 是正交的必要且只要

23、A的所有特征根都是正數(shù).9.4.2 實對稱矩陣的相似對角形二次型分類和雙線性函數(shù)例1 已知實二次型 (1) 用正交線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的正交線性變換； (2) 求出的秩、慣性指標(biāo)與符號差. 解 （1） 的矩陣為求 f 的全部特征根：因為二次型分類和雙線性函數(shù)故的全部特征根為 （二重）， 。對特征根 ，解齊次線性方程組 得一基礎(chǔ)解系： 二次型分類和雙線性函數(shù)對特征根 ，解齊次線性方程組 得一基礎(chǔ)解系：對 正交化、單位化得： 二次型分類和雙線性函數(shù)以 為列作一個正交矩陣二次型分類和雙線性函數(shù)則 于是 經(jīng)過正交線性變換 ，化為標(biāo)準(zhǔn)形 （2） 由（1） 的秩為2，慣性指標(biāo) ，符號差

24、.二次型分類和雙線性函數(shù)9.5 雙線性函數(shù) 二次型與雙線性函數(shù)有著密切的關(guān)系，后者也是線性代數(shù)里一個非常重要概念。在這一章的后面，我們介紹一個雙線性函數(shù)。 回憶例6，數(shù)域F上向量空間V到F的線性映射也叫作V上線性函數(shù)。現(xiàn)在定義雙線性函數(shù)的概念。 定義 1 設(shè)V是數(shù)域F上一個向量空間。V上一個雙線性函數(shù)指的是一個映射,對于V中任意一對向量，有F中唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)，并滿足下列條件：二次型分類和雙線性函數(shù)(i) (ii) (iii) 這里 例如，歐氏空間的內(nèi)積就是這個空間上一個雙線性函數(shù)。 設(shè) 是數(shù)域F上向量空間V上一個雙線性函數(shù)。由定義1中條件(i)，(ii)，(ii)，容易推出。 （1）這里

25、 , , , 二次型分類和雙線性函數(shù) 現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個 維向量空間。 是V上一個雙線性函數(shù)。取定V的一個基 ,記 , 這個 個數(shù)組成F上一個 的矩陣 二次型分類和雙線性函數(shù)矩陣A叫作雙線性函數(shù) 關(guān)于基 的格拉姆（Gram）矩陣。設(shè) ， 是V的任意兩個向量。由（1），我們有（2） 反過來，給了F上一個 的矩陣 ,那么公式（2）唯一定義V上一個 雙線性函數(shù),它關(guān)于基 的格拉姆矩陣就是A 二次型分類和雙線性函數(shù)利用矩陣的乘法，（2）可以寫成 設(shè) 是V的另一個基。 是 關(guān)于這個基的格拉姆矩陣。令 是由基 到基 的過渡矩陣 于是二次型分類和雙線性函數(shù)等式右端恰是矩陣的第行第列的元素，所以（3） 這就是說，V上一個雙線性函數(shù) 關(guān)于V的兩個基的格拉姆矩