現(xiàn)代控制理論725極點(diǎn)配置

1、現(xiàn)代控制理論355)課程 5.2一. 狀態(tài)反饋的給定n階線性定常受控系統(tǒng)： =A+B= ， 0 = 確定狀態(tài)反饋控制 = + ，使得所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) + ，。的極點(diǎn)為期望值 二. 狀態(tài)反饋極點(diǎn)可配置的條件定理：線性定常系統(tǒng)=A+B0= ， = 可通過狀態(tài)反饋 = + 任意配置全部極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。5.2證明：充分性(只單輸入單輸出系統(tǒng))已知系統(tǒng)為完全能控，證明可任意配置極點(diǎn)。 = ()即通過狀態(tài)反饋必成立 = = + + + + 其中， =由于系統(tǒng)完全能控，故必存在非奇異變換 = ，使系統(tǒng)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)I型：= =其中000101011001A = = = = 取= 5.2

2、于是000101011001001001 = 這說明在能控標(biāo)準(zhǔn)I型下，狀態(tài)反饋 已將閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到期望的位置。那么 與之間的關(guān)系是什么？由于非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，即 A = +()()= = ( )其中， = , 即 = ，這說明對(duì)于任意給定的期望極點(diǎn) ，都可以找到狀態(tài)反饋矩陣 = 使上式成立，即可任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。充分性得證。5.2必要性：已知極點(diǎn)可配置，證明系統(tǒng)完全能控。反證法，已知極點(diǎn)可任意配置，反設(shè)系統(tǒng)不完全能控。由于系統(tǒng)不完全能控，故存在非奇異線性變換陣，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解而導(dǎo)出： = = 且對(duì)任一狀態(tài)反饋矩陣 =,有= A = + = + ( = += +

3、這表明狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)不能控部分的特征值，系統(tǒng)不能任意配置全部極點(diǎn)。這與系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)的已知條件即系統(tǒng)是完全能控的，必要性得證。，故反設(shè)不成立。5.2三.單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的算法算法1給定線性定常系統(tǒng)態(tài)反饋矩陣K，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的算法如下:1. 判斷系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)完全能控則繼續(xù)下一步。= + + 1 + 02. 計(jì)算受控系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式，即 + 113.計(jì)算由期望極點(diǎn) ， ， ，所確定的特征多項(xiàng)式= = + + + + 后系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣： 4. 計(jì)算變換為能控 =5.25.計(jì)算I型能控變換陣=6.計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣 = 。243931例：受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下

4、： += 1 2求狀態(tài)反饋矩陣K使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 ,解：( 1 )判斷系統(tǒng)的可控性3193 =, = 2系統(tǒng)的能控性秩判別矩陣：滿秩，系統(tǒng)是完全能控的，可由狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。5.2（2）原開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： + 243 + 90 = = 2 + 11 +30（3）閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式為：= ( 1)( 2) = 2+ 2 + 5（4）能控變換后的反饋矩陣：= 0 1= 5 302 1125901（5）I型能控變換陣1114324= =,18（6）狀態(tài)反饋增益118114324 = = 2595.67.8=5.2給定線性定常系統(tǒng) ，=A算法2B 和一組期望的閉環(huán)極點(diǎn) +

5、確定狀態(tài)反饋矩陣K，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的算法如下:1.計(jì)算由期望極點(diǎn) ， ， ，所確定的特征多項(xiàng)式= = + + + + 2. 計(jì)算狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式： =03. 令狀態(tài)反饋特征多項(xiàng)式與期望特征多項(xiàng)式相等，得到狀態(tài)反饋陣。5.2243931例：受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： += 1 2求狀態(tài)反饋矩陣K使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 ,解：( 1 )判斷系統(tǒng)的可控性3193系統(tǒng)的能控性秩判矩陣：=, = 2滿秩，系統(tǒng)是完全能控的，可由狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。（2）閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式為：= ( 1)( 2) = 2 + 2 +5（3）設(shè)狀態(tài)反饋陣為： =，則狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：243931 = 2 +11 + 31 + 2 +30 + 241 + 142= 0比較期望特征多項(xiàng)式：11 + 31 + 2=230 + 241 + 142=5解得： =125.67.85.2四. 輸出反饋的1. 利用非動(dòng)態(tài)輸出反饋 = + ，不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)。以單輸入單輸出系統(tǒng)為例，設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為()，則輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函()數(shù)為: =1 + ()因此，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡方程為: 1 + = 當(dāng)從0到 變化時(shí)，就得