耦合模理論的推導(dǎo)公式

1、耦合模理論耦合模理論(Coupled-Mode Theory, CMT)是研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)電磁波模式間耦合的一 般規(guī)律的理論。CMT可用于非接觸電能傳輸(Contactless Power Transfer, CPT)系統(tǒng)的計(jì) 算，以降低多線圈耦合電路計(jì)算的復(fù)雜性。為了用CMT來(lái)估算線圈間的能量傳輸效率，首 先用電路原理(Circuit Theory，CT)的思想解決兩個(gè)線圈的能量傳輸效率問(wèn)題，然后通過(guò) CMT得出兩個(gè)線圈感應(yīng)連接的能量傳輸效率方程，將兩個(gè)方程對(duì)比后發(fā)現(xiàn)可以變換為一套 相同的公式。隨后分析3個(gè)線圈、4個(gè)線圈、一直到n-1個(gè)線圈都可以變換為同一套公式， 最后將此方法推廣到在同一平面

2、的n個(gè)負(fù)載線圈的效率求解。1單負(fù)載的電路分析1.1電路分析圖1甲負(fù)載線圈的CPT拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在圖1中磁共振系統(tǒng)的逆變和整流部分可以得到高頻的交流電，u是逆變后的交流電源，R為原副邊的內(nèi)阻，RL是負(fù)載，耦合系數(shù)K = M I、!LL，其中M為L(zhǎng)1和L2的互感。系 統(tǒng)最佳的工作頻率就是諧振點(diǎn)，由集總參數(shù)的能量守恒原理可以得到(1 3R+j -LIV1 -C )1/11 j-MI 21R + R + JI- l2-c )2I2 j-MI 1j-MU(Rl + X 2)X + -2 M 2(2)P I 2 R-2M 2Rtn = = L =LC UI1UI1( Rl + X 2) X1 + -2 M 2)

3、(Rl + X2) TOC o 1-5 h z 在諧振狀態(tài)下，0L1 =，廠00L2 = L, X = R, X 2 = R，從而得到 01022 M 2 R(5) HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 門(mén) =-cr (R + R)R + 2M 2)(R + R)LL1.2 CMT分析CPT系統(tǒng)中，常常只涉及穩(wěn)態(tài)分析，在此也僅分析穩(wěn)態(tài)特性。主線圈的幅值在正弦時(shí)為一個(gè)常數(shù)；同理，次線圈的幅值也是一個(gè)常數(shù)，兩個(gè)時(shí)間域線幽i(t), a2(t)的原始儲(chǔ)能可分別表示為|a1(t)|2, |a2(t)|2。由CMT可得a(t) = -(j +a 1(t) +

4、 jK12a2(t) + F (t)(6)a 2(t) = -(j +r 2 + r1) a 2(t) + jK 12 a1(t)(7)在上述公式中，r1,2,l分別為原線圈的損耗、負(fù)載線圈的損耗和負(fù)載的吸收功率，k 12 為兩個(gè)線圈的耦合率，物為勵(lì)磁損耗(忽略不計(jì))。CMT中，a(t)=而-加,a 2(t) = * -加都是正弦信號(hào)；P1 = 2rJ|2 ,P 2 = 22|A2|2和PL = 2l|用2分別為原線圈、副線圈和負(fù)載 的功率。由能量守恒定律可得n =- =.呼F.(8)CMr p1+p2+Pl 2rJa, + 2r2 |aJ2 + 2rL|A2|2由方程(6)和(7)可得 =

5、2 =2.；l，Q =,Q =,Q =#2。將兩A . jK. L R 1 R 2 R者之間關(guān)系r =&,r =戛,r =我以及k = K代入式(8)，解得L2Q1 2Q.2 2Q 122s _rK2_ 2 K 2 L L 2 R(9)ncm (r +r )(r +r )r + k 2 (r + r)r+2k2ll )(r + r)L 2L 2112L12 L2 M 2 R=L(R + R) R + 2 M 2)( R + R)LL與式(5)對(duì)比可知，兩種方法求出的傳輸效率的表達(dá)式相同。2兩個(gè)負(fù)載電路的傳輸效率分析2.1電路分析圖2兩個(gè)負(fù)載線圈的CPT拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)于圖2電路，M2和M3為L(zhǎng)1分別

6、與L2和的互感，J為線圈3所帶的負(fù)載，K2和K 3分別為兩個(gè)負(fù)載線圈的耦合系數(shù).同理可得11 - jM I - jM I(10)(11)(12)在諧振狀態(tài)下的傳輸效率為P I 2R +1 2R2M 2R (R + R )2 +32M 2R (R + R )2F = = 2 L3 L3 2 LL3 LLCT UI1UI1G1(R + Rl 2)( R + Rl 3)(13)式中：G = (R + R )(R + R ) + 32M 2(R + R ) + 32M 2(R + R ).1L 2L 32L 33L 22.2 CMT分析3個(gè)線圈的CMT分析和兩個(gè)線圈的CMT分析方法類似，如下所示:a1

7、(t) = -(j3 1 +1)氣(t) + jK 12a2(t) + jK a3(t) + F (t)( 14)a (t) = -(j3 + r +)a (t) + jK a (t)(15)222 L 22121a (t) = -(j3 + r +)a (t) + jK a (t)333L 3 313 1(16)同理可得 斗=4烏，Q =彩，Q =半，Ql=牛，QA3jK 131 R2rL 2 孔3L 八3 L3 HP M 3 =亍同時(shí)有關(guān)，r =, r =1 2Q解得門(mén) =CMTPl2 + Pl3=2乙,|句2+ 2乙IA I2P1+ P 2+ P 3 + Pl 2 + PL 3 2r I

8、 Aj2 + 2r 21 用2 + 2r 31 A2 + 2rL 21 用2 + 2rLMF(17)2M 2 R (R + R )2 +2M 2 R (R + R )2 2 L2L3 LL G2( R + Rl 2)( R + Rl 3)式中：G2 = R(R + Rl2)(R + Rl3) + 2M22(R + Rl3) + 2M32(R + Rl2).解出的結(jié)果與式(13)相同.用CT方法和CMT方法能夠得到相同的效率公式.33個(gè)負(fù)載電路的傳輸效率分析圖3 3個(gè)負(fù)載線圈的CPT拓升結(jié)構(gòu)對(duì)于圖3中3個(gè)負(fù)載電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，用同樣的方法能夠證明用集總參數(shù)分析方法和CMT求傳輸效率是相同的.(18

9、)(19)門(mén)=P =史 Rl ,+13 * M Rl 4CT UI1UI1門(mén)=Pl+Pl+ PL 4CMT P + P 2 + P 3 + P 4 + PL2 + PL 3 + PL 4令234234A = (R(R + Rl2)(R + Rl3)(R + Rl4) + 2M :(R + Rl3)(R + RL) + 2M32(R + Rl )(R + Rl ) + 2 M 42 (R + Rl 2)( R + Rl 3)( R + Rl 2)( R + Rl 3)(R + Rl 4)A =W2M 2R (R + R )2(R + R )2 +2M 2 R (R + R )2(R + R )2

10、 TOC o 1-5 h z 12L 2L 3L 43 L 3L 2L 4+2M 2R (R + R )2(R + R )2，3L 3L 2L3求得傳輸效率公式為(20)門(mén) =iCMT A4n-1個(gè)負(fù)載電路的傳輸效率分析圖4 n-1個(gè)負(fù)載線圈的CPT拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用集總參數(shù)分析圖4拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，圖4有n-1個(gè)負(fù)載線圈，有n個(gè)方程，分別為I - jM I -.- jMI122n n(R + RL + jI - jMIii 1(i = 2,., n)(21)(22)解上述n個(gè)方程，并將I, 12,., I代入門(mén)CT式中:I 2 R +1 2R + .+I 2Rn 2叫2&日n(R + Rl)2 L3Ln Ln = i=2!j一2, j二iUI1A 2A =nn (R + R )Onn (R + R +s 2 nM 2 n n2j=2Lj=2Li=2 j=2, j*（23）(R + RLj)用CMT方法分析圖4的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，同樣忽略勵(lì)磁效應(yīng)，由前面的方法可得q(t)=-(加 1 +氣(t) + jK 12a2(t) +. jK 1 a (t) + F,(t)(24)a (t) = -( js +r +rL)a (t) + jK a (t)(i = 2,., n)2i i L i1i 1（25）將以上各變量代換，得到 n