高中物理選擇性必修3精講精煉6.1分類加法計原理與分乘法計原理（精講教師含解析）

1、6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(精講) 思維導圖常見考法考點一 分類計算原理【例1-1】(2021全國高二單元測試)如圖所示，從甲地到乙地有條公路可走，從乙地到丙地有條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有條水路可走則從甲地經(jīng)過乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為( )A，B，C，D，【答案】A【解析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可知從甲地經(jīng)過乙地到丙地的走法種數(shù)為,又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有條水路可走，由分類加法計數(shù)原理，可得從甲地到丙地的走法種數(shù)為故選：A【例1-2】(2021江西橫峰中學)由數(shù)字1，2，3組成的無重復數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為( )A15B12C10D5【答案】D【

2、解析】分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有2，共1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有12和32，共2個；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有132和312，共2個由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個故選：D【一隅三反】1(2021甘肅靜寧縣第一中學)如圖所示，在，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，則焊接點脫落的不通情況有( )種.A9B11C13D15【答案】C【解析】按照可能脫落的個數(shù)分類討論，若脫落1個，則有(1)，(4)兩種情況，若脫落2個，則有，共6種情況，若脫落3個，則有，共4種情況，若脫落4個，則有共1種情況，綜上共有種情況.故選：C.2(2021全國高二課時練習

3、)從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取兩個，其中一個作為底數(shù)，另一個作為真數(shù)，則可以得到不同對數(shù)值的個數(shù)為( )A64B56C53D51【答案】C【解析】由于1只能作為真數(shù)，則以1為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對數(shù)值均為0，從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成個對數(shù)式，其中，重復了4次，所以得到不同對數(shù)值的個數(shù)為.故選：C3(2021全國高二課時練習)設橢圓1的焦點在y軸上，其中a1，2，3，4，5，b1，2，3，4，5，6，7，則滿足上述條件的橢圓個數(shù)為( )A20B24C12D11【答案】A【解析】當a1時，b2，3，4，5，6，7，有6個.

4、當a2時，b3，4，5，6，7，有5個.當a3時，b4，5，6，7，有4個.當a4時，b5，6，7，有3個.當a5時，b6，7，有2個.由分類加法計數(shù)原理得6543220(個).故選：A4(2021全國高二課時練習)算盤是中國古代的一項重要發(fā)明現(xiàn)有一種算盤(如圖1)，共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字(如圖2中算盤表示整數(shù))如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為( )ABCD【答案】C【解析】由題意，撥動三枚算珠，有種撥法：個位撥動三枚，有種結(jié)果：、；十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有種結(jié)果：、；十位撥動兩枚，個位撥動

5、一枚，有種結(jié)果：、；十位撥動三枚，有種結(jié)果：、綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為故選：C.考點二 分步計算原理【例2-1】(2021全國高二課時練習)一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有( )A6種B8種C36種D48種【答案】D【解析】如圖所示，由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完第一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最后一個區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有64248(種

6、)不同的參觀路線故選：D【例2-2】(2021福建泉州科技中學)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為( )ABCD【答案】C【解析】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設，四棱錐S - ABCD的頂點S, A, B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；當染好時，不妨設所染顏色依次為1, 2, 3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可

7、染3或4，有2種染法,即當S, A, B染好時，C, D還有7種染法.故不同的染色方法有種.故選：C【一隅三反】1(2021全國高二課時練習)滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數(shù)為( )A15B30C12D36【答案】B【解析】對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，故不同的火車票有6530(種)故選：B.2(2021全國高二課時練習)現(xiàn)有四件不同款式的

8、上衣與三條不同顏色的長褲，如果選一條長褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為( )A7B64C12D81【答案】C【解析】由題意，有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，從中四件不同款式的上衣中，任選一件有種選法，從中三件不同顏色的長褲中，任選一件有種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種不同的選法.故選：C.3(2021全國高二課時練習)(多選題)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是( )A每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D每個社團限報一個人，則不同的報名方法共

9、有種【答案】AC【解析】對于A選項， 第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯誤.故選：AC.4(2021全國高二課時練習)將3個不同的小球放入4個盒子中，不同放法種數(shù)為( )A81B64C14D12【答案】B【解析】對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種不同的放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有種放法，故選：B.

10、考點三 兩個計數(shù)原理的綜合運用【例3-1】(2021全國高二課時練習)用、可以組成多少個無重復數(shù)字的(1)密碼箱的四位密碼；(2)比大的四位偶數(shù)【答案】(1)；(2).【解析】(1)分步解決第一步：選取第一個位置上的數(shù)字，有種選取方法；第二步：選取第二個位置上的數(shù)字，有種選取方法；第三步：選取第三個位置上的數(shù)字，有種選取方法；第四步：選取第四個位置上的數(shù)字，有種選取方法由分步乘法計數(shù)原理知，可組成無重復數(shù)字的四位密碼共有個；(2)按千位是、分四類第一類：千位是的有個；第二類：千位是的有個；第三類：千位是的有個；第四類：千位是的有個故由分類加法計數(shù)原理得比大的四位偶數(shù)有個【例3-2】(2021全

11、國高二課時練習)用種不同的顏色給如圖所示的，四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色. (1)當時，圖、圖各有多少種不同的涂色方案？(2)若圖有180種不同的涂色方案，求的值.【答案】(1)600，480；(2)5【解析】(1)題圖：第一步，涂A，有6種不同的涂法；第二步，涂，與A的顏色不相同，有5種不同的涂法；第三步，涂，與A，的顏色都不相同，有4種不同的涂法；第四步，涂，只需與的顏色不相同，有5種不同的涂法.所以共有種不同的涂色方案.題圖：第一步，涂A，有6種不同的涂法；第二步，涂，與A的顏色不相同，有5種不同的涂法；第三步，涂，與A，的顏色都不相同，有4種不同的涂法；第四步，涂，與，的

12、顏色都不相同，有4種不同的涂法所以共有種不同的涂色方案.(2)前三步與題圖的涂法類似，分別有，種不同的涂法，第四步，涂，與，A的顏色都不相同，有種不同的涂法，所以共有種不同的涂色方案，所以，所以.【一隅三反】1(2021全國高二課時練習)已知甲的車牌尾數(shù)為9，他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0，2，1，5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為( )A64B80C96D120【答案】B【解析】由題意，從5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步

13、，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有種不同的選擇；第二步，安排奇數(shù)日出行：可分為兩類：(1)選1天安排甲的車，共有種不同的選擇；(2)不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有種不同的選擇，綜上可得，不同的用車方案種數(shù)為.故選：B2(2021全國高二課時練習)王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有_種不同的帶法；(2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各1本，則有_種不同的帶法；(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有_種不同的帶法.【答案】12 60 47 【解析

14、】(1)完成的事情是帶1本書，無論帶外語書，還是數(shù)學書、物理書，事情都已完成，從而確定應用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為5+4+3=12種.(2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為543=60種.(3)選1本外語書和選1本數(shù)學書應用分步乘法計數(shù)原理，有54=20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有53=15種選法；選數(shù)學書、物理書各1本，有43=12種選法.即有三類情況，應用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為20+15+12=47種.故答案為：12；60；473(2021全國高二課時練習)將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂

15、在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？【答案】260種【解析】第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4312(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5123180(種)不同的涂法當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法由分類加法計數(shù)原理可得共有18080260(種)不同的涂法4(2021全國高二課時練習)

16、用0,1,2,3,4五個數(shù)字(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？【答案】(1)125個；(2)100個；(3)30個.【解析】(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有55553125(個)(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(個)(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4312(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有23318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)5(2021全