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1、6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(精講) 思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法考點(diǎn)一 分類計(jì)算原理【例1-1】(2021全國(guó)高二單元測(cè)試)如圖所示,從甲地到乙地有條公路可走,從乙地到丙地有條公路可走,從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有條水路可走則從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為( )A,B,C,D,【答案】A【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地的走法種數(shù)為,又從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有條水路可走,由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得從甲地到丙地的走法種數(shù)為故選:A【例1-2】(2021江西橫峰中學(xué))由數(shù)字1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中,偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A15B12C10D5【答案】D【

2、解析】分三類,第一類組成一位整數(shù),偶數(shù)有2,共1個(gè);第二類組成兩位整數(shù),其中偶數(shù)有12和32,共2個(gè);第三類組成三位整數(shù),其中偶數(shù)有132和312,共2個(gè)由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè)故選:D【一隅三反】1(2021甘肅靜寧縣第一中學(xué))如圖所示,在,間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有( )種.A9B11C13D15【答案】C【解析】按照可能脫落的個(gè)數(shù)分類討論,若脫落1個(gè),則有(1),(4)兩種情況,若脫落2個(gè),則有,共6種情況,若脫落3個(gè),則有,共4種情況,若脫落4個(gè),則有共1種情況,綜上共有種情況.故選:C.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)

3、)從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè),其中一個(gè)作為底數(shù),另一個(gè)作為真數(shù),則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為( )A64B56C53D51【答案】C【解析】由于1只能作為真數(shù),則以1為真數(shù),從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù),對(duì)數(shù)值均為0,從除1外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),共能組成個(gè)對(duì)數(shù)式,其中,重復(fù)了4次,所以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為.故選:C3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)橢圓1的焦點(diǎn)在y軸上,其中a1,2,3,4,5,b1,2,3,4,5,6,7,則滿足上述條件的橢圓個(gè)數(shù)為( )A20B24C12D11【答案】A【解析】當(dāng)a1時(shí),b2,3,4,5,6,7,有6個(gè).

4、當(dāng)a2時(shí),b3,4,5,6,7,有5個(gè).當(dāng)a3時(shí),b4,5,6,7,有4個(gè).當(dāng)a4時(shí),b5,6,7,有3個(gè).當(dāng)a5時(shí),b6,7,有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得6543220(個(gè)).故選:A4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))算盤(pán)是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明現(xiàn)有一種算盤(pán)(如圖1),共兩檔,自右向左分別表示個(gè)位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字,梁下五珠,上撥一珠記作數(shù)字(如圖2中算盤(pán)表示整數(shù))如果撥動(dòng)圖1算盤(pán)中的三枚算珠,可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為( )ABCD【答案】C【解析】由題意,撥動(dòng)三枚算珠,有種撥法:個(gè)位撥動(dòng)三枚,有種結(jié)果:、;十位撥動(dòng)一枚,個(gè)位撥動(dòng)兩枚,有種結(jié)果:、;十位撥動(dòng)兩枚,個(gè)位撥動(dòng)

5、一枚,有種結(jié)果:、;十位撥動(dòng)三枚,有種結(jié)果:、綜上,撥動(dòng)題圖1算盤(pán)中的三枚算珠,可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為故選:C.考點(diǎn)二 分步計(jì)算原理【例2-1】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))一植物園的參觀路徑如圖所示,若要全部參觀并且路線不重復(fù),則不同的參觀路線共有( )A6種B8種C36種D48種【答案】D【解析】如圖所示,由題意知在A點(diǎn)可先參觀區(qū)域1,也可先參觀區(qū)域2或3,選定一個(gè)區(qū)域后可以按逆時(shí)針參觀,也可以按順時(shí)針參觀,所以第一步可以從6個(gè)路口任選一個(gè),有6種結(jié)果,參觀完第一個(gè)區(qū)域后,選擇下一步走法,有4種結(jié)果,參觀完第二個(gè)區(qū)域,只剩下最后一個(gè)區(qū)域,有2種走法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有64248(種

6、)不同的參觀路線故選:D【例2-2】(2021福建泉州科技中學(xué))埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,如圖,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數(shù)為( )ABCD【答案】C【解析】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解,由題設(shè),四棱錐S - ABCD的頂點(diǎn)S, A, B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法;當(dāng)染好時(shí),不妨設(shè)所染顏色依次為1, 2, 3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可

7、染3或4,有2種染法,即當(dāng)S, A, B染好時(shí),C, D還有7種染法.故不同的染色方法有種.故選:C【一隅三反】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))滬寧高鐵線上有六個(gè)大站:上海、蘇州、無(wú)錫、常州、鎮(zhèn)江、南京,鐵路部門(mén)應(yīng)為滬寧線上的六個(gè)大站(這六個(gè)大站之間)準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為( )A15B30C12D36【答案】B【解析】對(duì)于兩個(gè)大站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同,因?yàn)槊繌堒嚻睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站,因此,每張火車票對(duì)應(yīng)從6個(gè)不同元素(大站)中取出2個(gè)不同元素(起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)的一種排列,故不同的火車票有6530(種)故選:B.2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))現(xiàn)有四件不同款式的

8、上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲,如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套,那么不同的選法種數(shù)為( )A7B64C12D81【答案】C【解析】由題意,有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲,從中四件不同款式的上衣中,任選一件有種選法,從中三件不同顏色的長(zhǎng)褲中,任選一件有種選法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,可得共有種不同的選法.故選:C.3(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選題)有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán),則下列說(shuō)法正確的是( )A每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán),則不同的報(bào)名方法共有種B每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán),則不同的報(bào)名方法共有種C每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人,則不同的報(bào)名方法共有24種D每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人,則不同的報(bào)名方法共

9、有種【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng), 第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法,第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法,后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果,A正確,B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人,則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇,第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇,第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果,C正確,D錯(cuò)誤.故選:AC.4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))將3個(gè)不同的小球放入4個(gè)盒子中,不同放法種數(shù)為( )A81B64C14D12【答案】B【解析】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法,第二個(gè)小球也有4種不同的放法,第三個(gè)小球也有4種不同的放法,即每個(gè)小球都有4種不同的放法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有種放法,故選:B.

10、考點(diǎn)三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用【例3-1】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))用、可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的(1)密碼箱的四位密碼;(2)比大的四位偶數(shù)【答案】(1);(2).【解析】(1)分步解決第一步:選取第一個(gè)位置上的數(shù)字,有種選取方法;第二步:選取第二個(gè)位置上的數(shù)字,有種選取方法;第三步:選取第三個(gè)位置上的數(shù)字,有種選取方法;第四步:選取第四個(gè)位置上的數(shù)字,有種選取方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼共有個(gè);(2)按千位是、分四類第一類:千位是的有個(gè);第二類:千位是的有個(gè);第三類:千位是的有個(gè);第四類:千位是的有個(gè)故由分類加法計(jì)數(shù)原理得比大的四位偶數(shù)有個(gè)【例3-2】(2021全

11、國(guó)高二課時(shí)練習(xí))用種不同的顏色給如圖所示的,四個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色. (1)當(dāng)時(shí),圖、圖各有多少種不同的涂色方案?(2)若圖有180種不同的涂色方案,求的值.【答案】(1)600,480;(2)5【解析】(1)題圖:第一步,涂A,有6種不同的涂法;第二步,涂,與A的顏色不相同,有5種不同的涂法;第三步,涂,與A,的顏色都不相同,有4種不同的涂法;第四步,涂,只需與的顏色不相同,有5種不同的涂法.所以共有種不同的涂色方案.題圖:第一步,涂A,有6種不同的涂法;第二步,涂,與A的顏色不相同,有5種不同的涂法;第三步,涂,與A,的顏色都不相同,有4種不同的涂法;第四步,涂,與,的

12、顏色都不相同,有4種不同的涂法所以共有種不同的涂色方案.(2)前三步與題圖的涂法類似,分別有,種不同的涂法,第四步,涂,與,A的顏色都不相同,有種不同的涂法,所以共有種不同的涂色方案,所以,所以.【一隅三反】1(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知甲的車牌尾數(shù)為9,他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0,2,1,5,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),五人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)為( )A64B80C96D120【答案】B【解析】由題意,從5日至9日,有3天奇數(shù)日,2天偶數(shù)日,第一步

13、,安排偶數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有種不同的選擇;第二步,安排奇數(shù)日出行:可分為兩類:(1)選1天安排甲的車,共有種不同的選擇;(2)不安排甲的車,每天都有2種選擇,共有種不同的選擇,綜上可得,不同的用車方案種數(shù)為.故選:B2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))王華同學(xué)有課外參考書(shū)若干本,其中有5本不同的外語(yǔ)書(shū),4本不同的數(shù)學(xué)書(shū),3本不同的物理書(shū),他欲帶參考書(shū)到圖書(shū)館閱讀.(1)若他從這些參考書(shū)中帶1本去圖書(shū)館,則有_種不同的帶法;(2)若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書(shū)各1本,則有_種不同的帶法;(3)若從這些參考書(shū)中選2本不同學(xué)科的參考書(shū)帶到圖書(shū)館,則有_種不同的帶法.【答案】12 60 47 【解析

14、】(1)完成的事情是帶1本書(shū),無(wú)論帶外語(yǔ)書(shū),還是數(shù)學(xué)書(shū)、物理書(shū),事情都已完成,從而確定應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為5+4+3=12種.(2)完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書(shū),只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書(shū)中各選1本后,才能完成這件事,因此應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為543=60種.(3)選1本外語(yǔ)書(shū)和選1本數(shù)學(xué)書(shū)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,有54=20種選法;同樣,選外語(yǔ)書(shū)、物理書(shū)各1本,有53=15種選法;選數(shù)學(xué)書(shū)、物理書(shū)各1本,有43=12種選法.即有三類情況,應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,結(jié)果為20+15+12=47種.故答案為:12;60;473(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂

15、在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?【答案】260種【解析】第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有4312(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5123180(種)不同的涂法當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有18080260(種)不同的涂法4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))

16、用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼?(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)?(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?【答案】(1)125個(gè);(2)100個(gè);(3)30個(gè).【解析】(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼,首位可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置都有5種排法,共有55553125(個(gè))(2)三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮首位的排法,除0外共有4種方法,第二、三位可以排0,因此,共有455100(個(gè))(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),末位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是末位數(shù)字是0,則有4312(種)排法;一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3種排法,十位有3種排法,因此有23318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)5(2021全

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