小學(xué)奧數(shù)：乘法原理之染色法.專項(xiàng)練習(xí)

1、7- 2-3.乘法原理之染色問題.題庫10教師版page of目郵蚱 教學(xué)目標(biāo).使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；.使學(xué)生分清楚什么時候用乘法原理，分清有幾個必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問題， 本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問 題的習(xí)慣.gim 知識要點(diǎn)一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課， 首先得從家出發(fā)到長寧上 8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上 下午1點(diǎn)半的課.如果說申老師的家到長寧有 5種可選擇的交通工具 （公交、地鐵、出租車、 自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有 2種可選擇的交通工具（公交

2、、地鐵），同學(xué)們， 你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧， 然后再到黃埔.這幾個環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的.在沒學(xué)乘法原理之前，我們可以通過一 條一條的數(shù)，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線.但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時間了.這個時候我們的乘法原理就派上上用場了.二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成 n個必不可少的步驟 （比如說老師從家到黃埔， 必須要 先到長寧，那么一共可以分成兩個必不可少的步

3、驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有 B種不同的方法，第 n步有N種不同的方法.那 么完成這件事情一共有 Ax BXx N種不同的方法.結(jié)合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事， 需要2個步驟，第1步是從家到 長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有 5X2 個可選擇的路線了，即 10條.、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分 N個必要步驟；2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1 -路線種類問題一一比如說老師舉的這個例子就是個路線種類問題；2-字的染色問題一一比如說要

4、3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問 3個字 有多少種染色方法；3-地圖的染色問題一一同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；4-排隊(duì)問題一一比如說 6個同學(xué)，排成一個隊(duì)伍，有多少種排法；5-數(shù)碼問題一一就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個數(shù)字，然后排個幾為數(shù)的偶 數(shù)，有多少種排法.mMl正 例題精講【例1】 地圖上有A, B, C, D四個國家（如下圖），現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【解析】A有3種顏色可選; 當(dāng)B, C

5、取相同的顏色時，有 同的涂法有3 2 2 12種;【難度】3星【題型】解答【題型】解答【解析】因?yàn)槊總€圓內(nèi)4個區(qū)域上染的顏色都不相同，所以一個圓內(nèi)的2種顏色可選，此時 D也有2種顏色可選.根據(jù)乘法原理，不當(dāng)B, C取不同的顏色時，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時 D也只有1種顏色 可選（與A相同）.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3 2 11 6種.綜上，根據(jù)加法原理，共有 12 6 18種不同的涂法.【答案】18【鞏固】 如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同， 但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答

6、【解析】第一步，首先對 A進(jìn)行染色一共有 4種方法，然后對 B、C進(jìn)行染色，如果 B、C 取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有3 2 6種方法，D剩下2種方法，對該圖的染色方法一共有 4 （3 3 3 2 2） 84種方法.【注意】給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做 也可以解決問題.【答案】84【例2】 在右圖的每個區(qū)域內(nèi)涂上 A、B、C、D四種顏色之一，使得每個圓里面恰有四 種顏色，則一共有 種不同的染色方法.4個區(qū)域一共有4 3 2 24種染色方法.如右圖所示，當(dāng)一個圓內(nèi)的 1、2、3、4四個區(qū)域的顏 7- 2-3.乘法原

7、理之染色問題.題庫10教師版page of7-2- .乘法原理之染色問題.題庫教師版page 3 of10色染定后，由于6號區(qū)域的顏色不能與 2、3、4三個區(qū)域的顏色相同，所以只能與1號區(qū)域的顏色相同，同理 5號區(qū)域只能與4號區(qū)域的顏色相同，7號區(qū)域只能與2號區(qū)域的顏色相同，所以當(dāng) 1、2、3、4四個區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的 顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有24種不同的染法.【答案】24【例3】 如圖，地圖上有 A, B, C, D四個國家，現(xiàn)用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國 家的顏色不相同，有多少種不同染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】為了按要求給

8、地圖上的這四個國家染色，我們可以分四步來完成染色的工作：第一步：給 A染色，有5種顏色可選.第二步：給B染色，由于B不能與A同色，所以B有4種顏色可選.第三步：給C染色，由于C不能與A、B同色，所以C有3種顏色可選.第四步：給D染色，由于D不能與B、C同色，但可以與 A同色，所以D有3種顏色可選.根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，用5種顏色給地圖染色共有 5 4 3 3 180種不同的染色方法.【答案】180【鞏固】 如圖，一張地圖上有五個國家 A, B, C, D, E ,現(xiàn)在要求用四種不同的顏色 區(qū)分不同國家，要求相鄰的國家不能使用同一種顏色，不同的國家可以使用同一 種顏色，那么這幅地圖有多少著色方

9、法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】第一步，給A國上色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給B國上色，B國不能使用A國的顏色，有三種選擇；第三步，給C國上色，C國與B, A兩國相鄰，所以不能使用 A, B國的顏色，只有兩種 選擇；第四步，給D國上色，D國與B, C兩國相鄰，因此也只有兩種選擇；第五步，給E國上色，E國與C,D兩國相鄰，有兩種選擇. 共有4 3 2 2 2 96 種著色方法.【答案】96【例4】 如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下 邊的區(qū)塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、 用豎線將最右下方

10、的區(qū)塊劃為相等的兩塊，如此進(jìn)行8步操作，問：如果用四種顏色對這一圖形進(jìn)行染色，要求相鄰區(qū)塊顏色不同，應(yīng)該有多少種不同的染 色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】 對這張紙的操作一共進(jìn)行了 8次，每次操作都增加了一個區(qū)塊，所以8次操作后一共有9個區(qū)塊，我們對這張紙，進(jìn)行染色就需要9個步驟，從最大的區(qū)塊從大到小 開始染色，每個步驟地染色方法有：4、3、2、2、2,所以一共有： 432222222 1536 種.【答案】1536【鞏固】 用三種顏色去涂如圖所示的三塊區(qū)域，要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，那么共有 幾種不同的涂法？ABC【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】2星【題

11、型】解答【解析】涂三塊毫無疑問是分成三步.第一步，涂A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部分，由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，A和B相鄰，當(dāng)A確定了一種顏色后，B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂 C部分，C和A、B都相鄰，A和B 確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了.然后再根據(jù)乘法原理.3 2 1 6【答案】6【例5】 如圖，有一張地圖上有五個國家，現(xiàn)在要用四種顏色對這一幅地圖進(jìn)行染色，使 相鄰的國家所染的顏色不同，不相鄰的國家的顏色可以相同.那么一共可以有多 少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】 這一道題實(shí)際上就是例題，因?yàn)閮煞鶊D各個

12、字母所代表的國家的相鄰國家是相同 的，如果將本題中的地圖邊界進(jìn)行直角化就會轉(zhuǎn)化為原題，所以對這幅地圖染色同樣一共有4 3 2 2 2 96種方法.【討論】如果染色步驟為 C-A-B-D-E,那么應(yīng)該該如何解答？ 答案：也是4 3 2 2 2 96種方法.如果染色步驟為C - A- D - B- E那么應(yīng)該如何解答？答案：染色的前兩步一共有4X 3種方法，但染第三步時需要分類討論，如果 D與A顏色相同，那么 B有2種染法，E也有2種 方法，如果D與A染不同的顏色，那么 D有2種染法那么B只有一種染法，E有2種染法， 所以一共應(yīng)該有4 3 (1 2 2 2 1 2) 96種方法，(教師應(yīng)該向?qū)W生說

13、明第三個步驟用到了分類討論和加 法原理，加法原理在下一講中將會講授 )，染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰.【答案】96【鞏固】 某沿海城市管轄 7個縣，這7個縣的位置如右圖.現(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】為了便于分析，把地圖上的 7個縣分別編號為A、 B、C、D、E、F、G （如ABCDEF為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖.那么，為了完成地圖 染色這件工作需要多少步呢由于有7個區(qū)域，我們不妨按 A、B、C、D、E、F、G的順序

14、，用紅、黑、 綠、藍(lán)、紫五種顏色依次分 7步來完成染色任務(wù).第1步：先染區(qū)域 A,有5種顏色可供選擇；第2步：再染區(qū)域B,由于B不能與A同色，所以區(qū)域 B的染色方式有4種；第3步：染區(qū)域C,由于C不能與B、A同色，所以區(qū)域 C的染色方式有3種；第4步：染區(qū)域D,由于D不能與C、A同色，所以區(qū)域 D的染色方式有3種;第5步：染區(qū)域E,由于E不能與D、A同色，所以區(qū)域 E的染色方式有3種； 第6步：染區(qū)域F ,由于F不能與E、A同色，所以區(qū)域 F的染色方式有3種;第7步：染區(qū)域G,由于G不能與C、D同色，所以區(qū)域 G的染色方式有3種. 根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，共有5 4 3 3 3 3 3 486

15、0種不同的染色方法.【答案】4860【例6】 用3種顏色把一個3 3的方格表染色，要求相同行和相同列的 3個格所染的顏色 互不相同，一共有 種不同的染色法.【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，染完后這個 3 3的方格表每一行和每一列都恰有3個顏色.用3種顏色染第一行，有P33 6種染法；染完第一行后再染第一列剩下的 2個方格，有2種染法；當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤螅俑鶕?jù)每一行和每一列都恰有 3個顏色對剩下的方格進(jìn)行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法.所以，根據(jù)乘法原理，共有 3 2 6種不同的染法.【答案】6【例7】 如右圖，有 A B、C D E五個區(qū)

16、域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每 相鄰兩個區(qū)域不同色，每個區(qū)域染一色.有多少種不同的染色方式？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】先采用分步：第一步給 A染色，有5種方法；第二步給 B染色，有4種方式；第三 步給C染色，有3種方式；第四步給 D染色，有3種方式；第五步，給 E染色，由 于E不能與 A B、D同色，但可以和C同色.此時就出現(xiàn)了問題： 當(dāng)D與B同色時, E有3種顏色可染；而當(dāng) D與B異色時，E有2種顏色可染.所以必須從第四步就 開始分類：第一類，D與B同色.E有3種顏色可染，共有 5 4 3 3 180 （種）染色方式；第二類，D與B異色.D有2種顏色可染，E有2

17、種顏色可染，共有5 4 3 2 2 240 （種）染色方式.根據(jù)加法原理，共有180 240 420 （種）染色方式.【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往 往需要分類解決.【答案】420【鞏固】 如右圖，有A, B, C, D四個區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏 色不同，每個區(qū)域染一色.有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】A有4種顏色可選，然后分類：第一類：B , D取相同的顏色.有 3種顏色可染，此時 D也有3種顏色可選.根據(jù)乘法原 理，不同的染法有4 3 3 36 （種）；第二類：當(dāng)B , D

18、取不同的顏色時， B有3種顏色可染，C有2種顏色可染，此時 D也有 2種顏色可染.根據(jù)乘法原理，不同的染法有4 3 2 2 48 （種）.根據(jù)加法原理，共有 36 48 84（種）染色方法.【答案】84【鞏固】 用四種顏色對右圖的五個字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每 種顏色都必須要用.問：共有多少種不同的染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】第一步給“而”上色，有 4種選擇；然后對“學(xué)”染色，“學(xué)”有 3種顏色可選；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時“思”也有 2種顏色可選，不同的涂法有3 2 2 12種；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取不同的顏色時，“奧

19、”有2種顏色可選，“數(shù)”剩僅 1種顏色可選，此時“思”也只有1種顏色可選（與“學(xué)”相同），不同的涂法有3 2 11 6種.所以，根據(jù)加法原理，共有 4 3 （2 2 2） 72種不同的涂法.【答案】72例8 分別用五種顏色中的某一種對下圖的A , B , C , D , E , F六個區(qū)域染色,要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用.問：有多少種不同的染法?【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】先按A, B, D, C, E的次序染色，可供選擇的顏色依次有5, 4, 3, 2, 3種，注意E與D的顏色搭配有3 3 9（種），其中有3種E和D同色，有6種E和D異 色.最后染

20、F,當(dāng)E與D同色時有3種顏色可選，當(dāng)E與D異色時有2種顏色可 選，所以共有5 4 2 （3 3 6 2） 840種染法.【答案】840【例9】 將圖中的。分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個相鄰。涂不同的 顏色，共有多少種不同涂法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】如右上圖，當(dāng)A , B , C , D的顏色確定后，大正方形四個角上的。的顏色就確 定了，所以只需求 A , B, C, D有多少種不同涂法.按先 A,再B, D,后C 的順序涂色.按A-B-D-C的順序涂顏色：A有3種顏色可選；當(dāng)B, D取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時C也有2種顏色可選，不同

21、的涂法有3 2 2 12種；當(dāng)B , D取不同的顏色時， B有2種顏色可選，D僅剩1種顏色可選，此時 C也只有1種 顏色可選（與A相同），不同的涂法有3 2 11 6（種）.所以，根據(jù)加法原理，共有 12 6 18種不同的涂法.【答案】18【例10】用4種不同的顏色來涂正四面體（如圖，每個面都是完全相同的正三角形）的4個面，使不同的面涂有不同的顏色，共有 種不同的涂法.（將正四面體 任意旋轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色法，才被認(rèn)為是不同的）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)賽，第 9題【解析】不旋轉(zhuǎn)時共有4X3X2X 1=24種染色方式，而一個正四面體有 4X3

22、=12種放置方法（4個面中選1個作底面，再從剩余 3個面中選1個作正面），所以每種染色方式 被重復(fù)計(jì)算了 12次，則不同的染色方法有 24+12=2種?！敬鸢浮?種【例11】用紅、橙、黃、綠、藍(lán) 5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在 正四面體各個面上，一個面不能用兩色，也無一個面不涂色的，問共有幾種不同 涂色方式？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】解答【解析】我們來看正四面體四個面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個側(cè)面的順序有順時針和逆時針兩種 （當(dāng)三個側(cè)面的顏色只有一種或兩種時，順時針和逆時針的顏色分布是相同的）.按使用了的顏色種數(shù)分類：第一類：用了 4種

23、顏色.第一步，選 4種顏色，相當(dāng)于選1種不用，有5種選法.第二步，如果取定4種顏色涂于4個面上，有2種方法.這一類有 5 2 10 （種）涂法；第二類：用了 3種顏色.第一步，選 3種顏色，相當(dāng)于選 2種不用，有5 4 2 10 （種） 選法；第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃 3色，涂于4個面上，有6種方法，如下圖（圖中用數(shù)字1, 2, 3分別表示紅、橙、黃 3色）.這一類有10 6 60 （種）涂法；第三類：用了 2種顏色.第一步，選 2種顏色，有5 4 2 10 （種）選法；第二步，取定 2種顏色如紅、橙2色，涂于4個面上，有3種方法，如下圖.這一類有 10 3 30 （種）涂法；第四類：

24、用了一種顏色.第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定 1種顏色涂于4個面上，只有1種方法.這一類有 5 1 5 （種）涂法.根據(jù)加法原理，共有 10 60 30 5 105 （種）不同的涂色方式.【答案】105【例12】用紅、黃、藍(lán)三種顏色對一個正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方 法？如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有 多少種方法？如果有五種顏色去染又有多少種？（注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn) ）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】如果一共只有三種顏色供染色，那么正方體的相對表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對立面，所以染色的方法有3 2 1 6種方法.如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對正方體進(jìn)行染 色，一共有4 3 2 24種.另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相 對表面可以染上不同的顏色，選取這組相對表面并染上不同顏色一共有3 （4 3） 36種方法，用其余兩種顏色去染其他四個面只有2種方法，共36 2 72種，所以一共有24 72 96種方法.如果有5種顏色，那么用其中 3種顏色的染