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1，P66 習(xí)題4 設(shè)，都是連通空間的開子集，非空，并且連通。證明，都連通證明：用反證法。如果不連通，則可分解為它的兩個(gè)非空不相交開集A與B之并集。記，則，且A與都是X的非空開集，與X連通矛盾。,2，(page.71.5)和都是的開集，并且與都道路連通，則與都道路連通。答案（page.281.5）證 道路連通。由于是的連通子集，只用證明：,與在的同一道路分支中。由于道路連通，有中道路，。由上題4知，和是I的兩個(gè)非空開集，并且。由于I連通，。即非空。設(shè)其下確界為，則。因?yàn)槭荌的開集，所以有，使得。由的定義知存在，使得。則與在同一道路分支中，即與在同一道路分支中。3，設(shè)是Hausdorff空間的緊致子集，證明也是Hausdorff空間。P86 第四題4，,5， 設(shè)，是將映為的常值映射。證明：的同一道路分支中。,6，設(shè)是度量空間，是的非空閉集，規(guī)定為。證明連續(xù)，并且7，設(shè)都是的閉集，并且。證明是的閉集是()的閉集。題目：證明Hausdorff空間的子空間也是Hausdorff空間。8，9，,10，設(shè)，是將映為的常值映射。證明：同倫與與在的同一道路分支中。P109的第2題。 11，34頁第二題

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