幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用

1、-. z. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT 幾種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法及應(yīng)用許生虎西北師大學(xué)數(shù)學(xué)系， 730070摘 要：在對(duì)數(shù)學(xué)命題的觀察和分析根底上給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，舉例說明了尋求輔助函數(shù)的幾種方法及在解題中的作用。關(guān)鍵詞：輔助函數(shù) 弧弦差法 原函數(shù)法 幾何直觀法 微分方程法引言在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點(diǎn)，通過逆向分析、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的根本概念和原理，經(jīng)過深入思考、縝密

2、的觀察和廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造出一個(gè)與問題有關(guān)的輔助函數(shù)，通過對(duì)函數(shù)特征的考察到達(dá)解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構(gòu)造輔助函數(shù)法。構(gòu)造函數(shù)方法在許多命題證明中的應(yīng)用，使問題得以解決，如在微分中值定理、泰勒公式、中值點(diǎn)存在性、不等式等證明。但構(gòu)造輔助函數(shù)方法的涵十分豐富沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分表達(dá)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜測(cè)、分析與化歸思想。但如何通過構(gòu)造，構(gòu)造怎樣的輔助函數(shù)給出命題的證明，是很難理解的問題之一，本文通過一些典型例題歸納、分析和總結(jié)常見的構(gòu)造輔助函數(shù)方法及應(yīng)用。構(gòu)造輔助函數(shù)的七中方法2.1逆向思維法例1： 設(shè)在 上可微，且滿足 ，證明在至少有一點(diǎn)，使.證明:

3、由所證明的結(jié)論出發(fā),結(jié)合條件,探尋恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù). 將變?yōu)?聯(lián)想到,可考慮輔助函數(shù) 因?yàn)?, 而對(duì)于,有,所以, ,由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn),使得即:. 證畢原函數(shù)法在微分中值定理(尤其是羅爾定理)求解介值(或零點(diǎn))問題時(shí)要證明的結(jié)論往往是*一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),因此可通過不定積分反求出原函數(shù)作為輔助函數(shù),用此法構(gòu)造輔助函數(shù)的具體步驟如下:將要證的結(jié)論中的通過恒等變換,將結(jié)論化為易積分(或易消除導(dǎo)數(shù)符號(hào))的形式;用觀察法或湊微分法求出原函數(shù)(必要時(shí)可在等式兩端同乘以非零的積分因子),為簡(jiǎn)便起見,可將積分常數(shù)取為零;移項(xiàng),將等式一邊為零,則等式的另一邊為所求的輔助函數(shù).例2: 分析: 可令

4、證明: 作輔助函數(shù) 在故 在上滿足羅爾定理的條件于是，使亦即： 證畢2.3設(shè)置變量法當(dāng)結(jié)論中含兩個(gè)中值時(shí)，我們常常聯(lián)想到應(yīng)用拉格朗日定理柯西定理的證明，這是可用設(shè)置變量法作輔助函數(shù)。即：將結(jié)論中的或看作變量，作恒等變形后與中值定理的公式相對(duì)照，即可看出輔助函數(shù)的構(gòu)造。例3：設(shè)函數(shù)在且在可導(dǎo),且.試證明: 分析:欲證等式將均看作變量,則上式寫成輔助函數(shù)可?。鹤C明：則由題設(shè)可知上滿足柯西中值定理，于是，因?yàn)樗?，再令上滿足柯西中值定理，于是，由1，2得=2.4 幾何直觀法 對(duì)于*些證明題可以先從結(jié)論的幾何意義進(jìn)展分析，作為符合定義、定理的輔助曲線，再利用解析幾何知識(shí)列出輔助曲線方程進(jìn)而找出證明題所

5、需要的輔助函數(shù)，翻開證明思路。 例4 設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)， 試證明：在 分析：由知，是下凸函數(shù).由圖1知：即： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)即：切線總在曲線的下方幾何意義.由圖2知：即：證明：方法一：有分析及1知取時(shí)即： 方法二：由2知，令，則(2)式變?yōu)?再次引進(jìn)輔助函數(shù)， 則遞增， 即： 2.5微分方程法 所謂微分方程法是指遇到諸如求證存在，使得之類的問題時(shí)，可先解微分方程，得其通解：，則可構(gòu)造輔助函數(shù) 例5 設(shè)在上連續(xù),

6、在可導(dǎo),且證明：對(duì).分析：將結(jié)論中的換成，得可別離變量的微分方程：，即其通解為，即：于是可是輔助函數(shù)為則由Rolle定理知，至少存在一點(diǎn)使得即：2.6 常數(shù)k值法 此法適用于從結(jié)論中可別離出常數(shù)局部的命題，構(gòu)造出輔助函數(shù)的具體步驟如下：從結(jié)論中別離出常數(shù)局部，將它令為k；做恒等變化，是等式或不等式一端為a及f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b和f(b)構(gòu)成的代數(shù)式；分析端點(diǎn)a,b的表達(dá)式是否為對(duì)稱式或輪換式。假設(shè)是將端點(diǎn)改為*，相應(yīng)的函數(shù)值f(a)(或f(b)改為f(*)，則關(guān)于*,f(*)的表達(dá)式即為索求的輔助函數(shù)F(*).例6：分析：別離a,b與，則待證式則上式的左端顯然是關(guān)于a,b的對(duì)稱式.

7、令其為k,得于是，可令 證明：作輔助函數(shù) 其中由題設(shè)條件可知并且 可見,于是,即 .亦即 2.7 弧弦差法 利用弧弦差來構(gòu)造輔助函數(shù)，稱為弧弦差構(gòu)造函數(shù)法。微分中值定理的相關(guān)證明就采用種方法，現(xiàn)以拉格朗日中值定理為例：(原定理表達(dá)略) 題 7：有向線段的函數(shù)，設(shè)直線AB的方程為則 由于點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為有向線段的重?cái)?shù)于是就有拉格朗日中值定理的結(jié)論參考文獻(xiàn)：1華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.：高等教育，2001.2根學(xué).待證結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)法J.師院學(xué)報(bào)，2001，5：55-563裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 高等教育，1986.4王德利.證題中引進(jìn)輔助函數(shù)的幾種方法J.江漢大學(xué)學(xué)報(bào)，19

8、95，3：565必華.運(yùn)用中值定理證題時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的三種方法J.自然科學(xué)報(bào).2002：62931Several Methods for Constructing the Au*iliary Function and their Applications*u Shenghu(Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070 )Abstract: On the basis of studying and analyzing mathematical, some methods about construction of au*iliary are proposed. By the property of the functions graph and mean-value theorem of integrals, bined with the e*ample, some methods for constructing the au*iliary function and the