平面向量和復數(shù)知識點及精選試題

1、平面向量 HYPERLINK /wxc/ 平面向量的基本運算知識點歸納1向量的概念：向量：向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中研究的向

2、量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量 相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）3

3、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律4兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=5平面向量的基本定理：如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底6 特別注意:（1）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向

4、量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關平面向量的坐標運算知識點歸納1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內積）及其各運算的坐標表示和性質向量的乘法是一個向量,滿足:0時,與同向;0時,與異向;=0時,=向量的數(shù)量積是一個數(shù)或

5、時,=0且時,平面向量的數(shù)量積知識點歸納1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關系：5乘法公式成立：；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB=（）叫做向量與的夾角cos=當且僅當兩個非零向量與

6、同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作兩個非零向量垂直的充要條件： O線段的定比分點與平移知識點歸納1線段的定比分點定義：設P1,P2是直線L上的兩點，點P是L上不同于P1,P2的任意一點，則存在一個實數(shù)，使，叫做點P分有向線段所成的比當點P在線段上時，；當點P在線段或的延長線上時，0 寫出的幾種可能的取值范圍？2定比分點的向量表達式：點P分有向線段所成的比是，則（O為平面內任意點）3定比分點的坐標形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)4中點坐標公式: 當=1時，分

7、點P為線段的中點，即有5的重心坐標公式：6圖形平移的定義:設F是坐標平面內的一個圖形，將圖上的所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形F，我們把這一過程叫做圖形的平移7平移公式: 設點按向量平移后得到點，則+或，曲線按向量平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：這個公式叫做點的平移公式，它反映了圖形中的每一點在平移后的新坐標與原坐標間的關系8三角形的面積：外接圓半徑用R表示，內切圓半徑用r表示，半周長用p表示： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 ； 復數(shù)1概念：(1) z=a+biRb=0 (a,bR)z=z20；(2) z=a+bi是虛數(shù)b0(a,bR)；(3) z

8、=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20；(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2復數(shù)的代數(shù)形式及其運算：設z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，則：(1) z1z2 = (a + b) (c + d)i；(2) z1.z2 = (a+bi)(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i；(3) z1z2 = (z20) ;3幾個重要的結論：(1) ；(2) 性質：T=4；(3) 。4運算律：（1）5共軛的性質： ； ； ；。6模的性質：； 平面向量及復數(shù) 一單選，填空題1.直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單位向

9、量在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是（）1 2 3 .42若向量與不共線，且，則向量與的夾角為（ ）A0BCD3已知向量a和向量b的夾角為30，a=2，b=eq r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積ab=4在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若=+,其中,R ,則 _ 5若等邊 的邊長為,平面內一點滿足,則 6若向量a、b滿足|a|、|b|=1，a與b的夾角為60,則aa+ab=（ ）ABCD27.已知為ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量若，則角A，B的大小分別為（ ）（A）（B）（C）（D）8.已知平面向量a=（1，3），b=（4，2），a+ b 與a垂直，則=（ ）（A）1（B）1（C）2（D）29. 的夾角為120，=.10.已知. 若，則與夾角的大小為.11.復數(shù)的實部是. 12.下列n的取值中，使=1(i是虛數(shù)單位）的是 （ ）A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=513.設（是虛數(shù)單位），則 （ ）A B C D14.復數(shù)等于（ ）. A B. C. D.二解答題1已知A、B、C是的三個內角，a，b，c為其對應邊，向量（1）求角A；（2）若2.已知，為的最小