考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)上分階精講精練講義

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）分階精講精練講義主講：名師，最具性的數(shù)學(xué)名師，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)給人枯燥無聊的印象，數(shù)學(xué)的倡導(dǎo)者，把晦澀抽象的高數(shù)演繹得通俗易懂，他是第一個(gè)將哲學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)邏輯相結(jié)合的第一人?！霸瓉頂?shù)學(xué)是可以這樣講的”，是很多學(xué)子對(duì)楊老師數(shù)學(xué)課的評(píng)價(jià)，享受數(shù)學(xué)，重拾信心，高效愉快拿高分，走進(jìn)超哥數(shù)學(xué)。歡迎使用目錄概 述1第一章函數(shù) 極限 連續(xù)2第二章一元函數(shù)微分學(xué)24第三章一元函數(shù)積分學(xué)37第四章常微分方程與差分方程50高等數(shù)學(xué)概述一、研究對(duì)象：函數(shù)二、研究方法：極限三、：函數(shù)（研究對(duì)象）中值定理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)微分一元微分學(xué)微分偏導(dǎo)數(shù)全微分偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用微微多元微分學(xué)學(xué)積分分方積不定積分定積分學(xué)程（微積

2、分派生）一元積分學(xué)定積分應(yīng)用分極限（研究派生）重積分應(yīng)用曲線積分應(yīng)用曲面積分應(yīng)用重積分曲線積分曲面積分學(xué)多元積分學(xué)無窮級(jí)數(shù)（極限派生）1高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)極限連續(xù)1.1函數(shù)一、考綱要求1理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念 4掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念二、考點(diǎn)精講（一）函數(shù)的概念f：D R 為一個(gè)函數(shù)（其中 D Rn ）。1、定義：稱注1：此定義涵蓋了微積分中的所有函數(shù)的概念： 當(dāng) n =1時(shí)，為一元函數(shù)；當(dāng)n 2 時(shí)，為多元函數(shù)；當(dāng) D N 時(shí)，為數(shù)列。注2

3、:函數(shù)為一個(gè)特殊的存在性，象的唯一性），應(yīng)深刻定義中的三層含義（原象的任意性，象的2、函數(shù)的二要素：定義域 D （或 Df ）； 對(duì)應(yīng)法則 f注1：定義域是集合，不要寫成不等式（最好將其寫成區(qū)間或區(qū)間的并）。注2：二要素的用途：函數(shù)與符號(hào)無關(guān)：用于判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，3、函數(shù)的表示法：法； 列表法； 圖像法注：函數(shù)與曲線并非一一對(duì)應(yīng)（二）常見的函數(shù)形式1、顯函數(shù)： y f (x)注：分段函數(shù)是顯函數(shù)（是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)）2、隱函數(shù)： F（x，y) y f (x)注1：相關(guān)結(jié)論（隱函數(shù)存在定理）：設(shè) F (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

4、 f (x , y ) 0 ， F (x , y ) 0 ，則方程 F (x，y) 0 在 P 的某領(lǐng)域確定00y000唯一的一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）的函數(shù) y f (X ) 使之滿足 y0 f (x0 )注2：相關(guān)方法（隱函數(shù)求導(dǎo)法）：在等式兩邊求導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）。 3、復(fù)合函數(shù)： y f (u) ， u (x) y f (x)，注：并非任意兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合，能復(fù)合充要條件是 Df R ，具體判斷時(shí)，可以將u (x) 強(qiáng)行代入 y f (u) 得到 y f (x) 再看其定義域是否為空集。若空，則不能復(fù)合；若非空，則可以復(fù)合。2高等數(shù)學(xué)4、反函數(shù)： y f (x）的逆（即 y f (x)

5、 x f 1( y) y f 1(x) ）注：并非任意一個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) y f (x) 一一對(duì)應(yīng)時(shí)才有反函數(shù)。相關(guān)結(jié)論（反函數(shù)存在定理）：若 y f (x) 連續(xù)，單增（減），則其反函數(shù)存在，且連續(xù)、單增（減）。結(jié)論： y f (x) 與反函數(shù) y f 1(x) 在 xoy 坐標(biāo)系中的圖像關(guān)于 y x 對(duì)稱。注：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)。5、極限函數(shù)： f (x) lim F（x,t) （其結(jié)果只與 x 有關(guān)而與t 無關(guān)）。t注：在研究極限函數(shù)時(shí)，應(yīng)分清誰是極限變量誰是函數(shù)的自變量。6、導(dǎo)函數(shù)： y f (x)相關(guān)結(jié)論：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)

6、，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。有限區(qū)間上可導(dǎo)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定是函數(shù)。注：f （在做題過程中，一定要注意避免導(dǎo)函數(shù)定義域的擴(kuò)大）。 ( x)2 ( x)7、變限積分函數(shù)： F(x) af (t)dt ； G(x) f (x, t)dt ( x)1x相關(guān)結(jié)論：若 f (x) 在a, b 上可積，則f (t)dt 在a, b 上連續(xù)； 若在a, b 連a d dxxx續(xù)，則 F (x) f (t)dt 在區(qū)間a, b 中可導(dǎo)，且f (t)dt f (x)aa（使用條件： f (t) 中不含有 x ； f (t) 連續(xù)） d dx ( x)推論：若 f (x) 在a, b 上連續(xù)，(x) 在a, b

7、 可導(dǎo)，則f (t)dt f (x) (x)ax (t)8、參數(shù)方程：,（ t 為參數(shù)） y (t)dy (x)相關(guān)方法（參數(shù)方程求導(dǎo)法）:dx(x)用途：多用于計(jì)算曲線、曲面積分9、極坐標(biāo)方程： r r( )(或 ( )r x2 y2x r cos結(jié)論（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系）：；yxy r sin arctan相關(guān)結(jié)論（計(jì)算二重積分）： D f (x, y)dxdy D1 f (r cos , r sin )rdrd3高等數(shù)學(xué)注：滿足下列兩個(gè)條件之一時(shí)，一般應(yīng)考慮用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：積分區(qū)域是圓域（或圓域的一部分）；被積函數(shù)只與 x2 y2 (或y / x) 有關(guān)。10、和函數(shù)： S (

8、x) fn (x)n1注：和函數(shù)的定義域未必是存在域,一般應(yīng)等于其收斂域。（三）一元函數(shù)的幾何性質(zhì)l、單調(diào)性：若x1, x2 (a, b) ，當(dāng) x1 x2 時(shí)，有 f (x1 ) f (x2 )(或f (x1 ) f (x2 )則稱 f (x)在(a,b) 上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。若 x1, x2 (a, b) ，當(dāng) x1 x2 時(shí)，有f (x1 ) f (x2 )(或f (x1 ) f (x2 ) ，則稱 f (x)在(a, b) 上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）判定方法：作差與 0 比較（或作商與l 比較）；使用下述相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論：可導(dǎo)函數(shù) f (x) 單調(diào)不減（不增）的充要條件是 f (x

9、) 0( f (x) 0)可導(dǎo)函數(shù) f (x) 單調(diào)遞增（遞減）的充要條件是： f (x) 0( f (x) 0) 且使 f (x) 0 的x 為孤立點(diǎn)。2、有界性：若存在常數(shù) M ，使 f (x) M ,(x D) ,則稱 f (x) 有上界；若存在常f (x) m,(x D),則稱 f (x) 有下界；若 f (x) 既有上界又有下界，則稱 f (x)數(shù) m ，使有界。f (x) Mf (x) 有界的充要條件為：存在常數(shù) M ，使結(jié)論：相關(guān)結(jié)論：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界（有界性定理）；函數(shù)有極限（稱為收斂） 局部有界；有界是可積的必要條件（即：可積一定有界，反之不然）3、奇偶性：若 f

10、(x) f (x) ，則稱 f (x) 為奇函數(shù)；若 f (x) f (x) ，則稱 f (x) 為偶函數(shù)。注：奇函數(shù)（偶函數(shù)）的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱結(jié)論：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)與偶函數(shù)乘積為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)、偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)；在(a, a) 上有定義的任一函數(shù)，一定可表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和。注： f (x) f (x) 為奇函數(shù)； f (x) f (x) 為偶函數(shù)a相關(guān)結(jié)論：若 f (x) 為可積的奇函數(shù)，則f (x)dx 0 ；aaaf (x)dx 2f (x)dx ；若 f (x) 為可積的偶函數(shù)，則a04高等數(shù)學(xué)aaf (x)d

11、x f (x) f (x)dx 。若 f (x) 為一般可積函數(shù)，則a0注：當(dāng)遇到積分的上下限互為相反數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮被積函數(shù)的奇偶性4、周期性：若T 0 ，使 f (x T ) f (x) ，則稱 f (x) 是以T 為周期的周期函數(shù)。結(jié)論：若T 為 f (x) 的周期，那么kT 也是 f (x) 的周期（ k 0 ）注：周期函數(shù)未必有最小正周期相關(guān)結(jié)論：可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且周期不變；若 f (x) 是以aTTT 為周期的連續(xù)函數(shù)，則af (x)dx f (x)dx0相關(guān)方法：可用證明恒等式的方法研究周期性（周期性定義的實(shí)質(zhì)是恒等式）5、漸進(jìn)線水平漸進(jìn)線：若 lim f

12、(x) c1 ，則 y c1 為 f (x) 的一條水平漸近線；xf (x) c2 ，則 y c2 為 f (x) 的一條水平漸近線。若 limx注：同一函數(shù)的水平漸近線最多有2條垂直漸進(jìn)線：若 lim f (x) ，則 x x0 是 f (x) 的一條垂直漸近線；xx0f (x) ，則 x x0 是 f (x) 的一條垂直漸近線。若 limxx0注：垂直漸進(jìn)性可能有無窮多條，求垂直漸進(jìn)性實(shí)質(zhì)上是考查 f (x) 的無窮間斷點(diǎn)。斜漸近線：若 lim f (x) a , (a 0) 且 lim f (x) a x b ，則 y a x 是11111xxxf (x) 的一條斜漸近線；f (x) a

13、，則 y a x b 0) 且 lim f (x) a x b若 lim, (a222222xxx是 f (x) 的一條斜漸近線。注：斜漸近線最多有兩條，并且如果在 （或 ）方向有水平漸近線，那么在該方向就不會(huì)有斜漸近線。（即：同一函數(shù)的水平漸近線和斜漸近線最多有 2 條。）6、凹凸性：若曲線 y f (x) 上任意一點(diǎn)的切線都在該曲線的下（上）方，則稱 y f (x)是凹（凸）曲線相關(guān)結(jié)論：若 f (x) 0,(x (a,b) ，則 f (x) 在(a, b) 為凹（上凹下凸）的；若 f (x) 0,(x (a,b), 則 f (x) 在(a, b) 為凸（下凹上凸）的。注：在比較復(fù)雜函數(shù)與

14、一次函數(shù)的大小時(shí)，應(yīng)想到凹凸性。（四）初等函數(shù)及其性質(zhì)5高等數(shù)學(xué)l、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)（1）常函數(shù): y c, D (,)性質(zhì)：不增不減；有界；| f (x) | c | M 偶函數(shù)；周期函數(shù)； 只有一條水平漸近線 y c ；沒有凹凸性（2）冪函數(shù)： y x ( R)注：定義域與 有關(guān)； 性質(zhì)一般也與 有關(guān)（3）指數(shù)函數(shù): y ax (a0且a 1)(x R)( y 0)（4）對(duì)數(shù)函數(shù): y log (a 0且a1)(x 0)( y R)xa10 正弦函數(shù): y sin x；20 余弦函數(shù)： y cos x；（5）三角函數(shù):30 正切函數(shù)： y tan x；40函數(shù): y cot x；50

15、正割函數(shù)： y sec x；60 余割函數(shù): y csc x；（6）反三角函數(shù): 10 反正弦函數(shù)： y arcsin x,(D 1,1, R , );ff2 220 反余弦函數(shù)： y arccos x,(D 1,1, R 0, )；ff30 反正切函數(shù)： y arctan x,(D (,), R ( , );ff2 2函數(shù)： y ar cot x,(Df (,), Rf (0, );40 反注 1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)（例： y arcsinx 不是 y sin x 的反函數(shù)）；注 2：必須嚴(yán)格屬于上述六類函數(shù)之一，才屬于基本初等函數(shù)。例： y sin 2x, y xx 都不是基本

16、初等函數(shù)2、初等函數(shù)及其性質(zhì)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的，并能用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)為初等函數(shù)。注：分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是； 基本初等函數(shù)經(jīng)過無窮次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)可能是初等函數(shù)也可能不是（例： ex 是初等函數(shù)， xn 不xnn!n0n0是初等函數(shù)）相關(guān)結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)（即間斷點(diǎn)一定不在定義區(qū)間內(nèi)）（五）常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)( p) （ Q 為需求量， P 為價(jià)格）1、需求函數(shù)：(P) （ Q 為供給量， P 為價(jià)格）2、供給函數(shù)：6高等數(shù)學(xué)3、收益函數(shù)： R R(Q) P Q （ R 為收益， Q 為產(chǎn)量， P 為價(jià)格）4、成本函數(shù)

17、： C C(Q) C0 C1 (Q)(C0 C(0) 為固定成本， C1 (Q) 為可變成本）5、利潤(rùn)函數(shù)： L L(Q) R(Q) C(Q)R(Q)6、平均收益： R Q7、平均成本： C C(Q)QL(Q)8、平均利潤(rùn)： L Q三、實(shí)用題型及例題分類題型一 關(guān)于函數(shù)符號(hào)的使用2 x, x 0 x2 , x 01.設(shè) g(x) f (x) g f (x) ,則（）x 2, x 0 x, x 02 x2x0 x 02 x2x0 x 0（A）（B）2 x2 x2 x22 x2 , x 0 x0 x 0（C）（D）2 x2 x, x 0ln(1 x)，計(jì)算 f (x)dx2.設(shè) f (ln x)

18、x題型二 關(guān)于函數(shù)的幾何特性ecosx , x 是（ ）1. f (（A）有界函數(shù)（B）單調(diào)函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）偶函數(shù).esin x ，則 f (x) 是（2.設(shè)函數(shù) f (）（A）偶函數(shù)（B）函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）單調(diào)函數(shù)3.函數(shù) f (x) 在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界 （ ） 2)2（A） (1, 0)（B） (0,1)（C） (1, 2)（D） (2, 3)4.設(shè) f (x) 是連續(xù)函數(shù)， F (x) 是 f (x) 的原函數(shù)，則（ ）7xsin( x 2)高等數(shù)學(xué)（A）當(dāng) f (x) 時(shí)奇函數(shù)時(shí)， F (x) 必是偶函數(shù)（B）當(dāng) f (x) 是偶函數(shù)時(shí)， F (x) 必是奇函數(shù)（C）當(dāng)

19、 f (x) 是周期函數(shù)時(shí)， F (x) 必是周期函數(shù)（D）當(dāng) f (x) 是單調(diào)增函數(shù)時(shí)， F (x) 必是單調(diào)增函數(shù) N 表示“ M 的充分必要條件是 N ”,5.設(shè) F (x) 是連續(xù)函數(shù) f (x) 的一個(gè)原函數(shù)， M則必有 （ ）（A） F (x) 是偶函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)（B） F (x) 是奇函數(shù) f (x) 是偶函數(shù)（B） F (x) 是周期函數(shù) f (x) 是周期函數(shù)（D） F (x) 是單調(diào)函數(shù) f (x) 單調(diào)函數(shù)6.設(shè)函數(shù) f (x) 在定義域內(nèi)可導(dǎo)， y f (x) 的圖形，則導(dǎo)函數(shù) y f (x) 的圖形為（ ）7.設(shè)函數(shù) f (x) 在（ , ）內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)

20、函數(shù)的圖，則 f (x) 有（ ）形一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)于零的可導(dǎo)函數(shù)，且 f (x)g(x) f (x)g (x) 0, 則當(dāng)a x b8.設(shè) f (x) ， g(x) 是時(shí)，有（ ）（A） f (x)g(b) （B） f (x)g(a) f (a)g(x)f (b)g(x)（C） f (x)g(x) （D） f (x)g(x) f (a)g(a)f (b)g(b)f (x) 在區(qū)間(1 ,1 ) 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， f (x) 嚴(yán)格單調(diào)減少，且9.已知函數(shù)8高等數(shù)學(xué)f (1) 1,則（ ）f (1) （A）在

21、(1 ,1) 和(1,1 )有 f (x) x（B）在(1 ,1) 和(1,1 )有 f (x) x（C）在(1 ,1) 內(nèi)， f (x) x 在(1,1 ) 內(nèi)， f (x) x（D）在(1 ,1) 內(nèi)，f (x) x 在(1,1 ) 內(nèi)， f (x) x10.設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)，且 f (0) 0 ,則存在 0 使得（A） f (x) 在(0, ) 內(nèi)單調(diào)增加（B） f (x) 在( ,0) 內(nèi)單調(diào)減少（C）對(duì)任意的 x (0, ) 有 f (x) f (0)（D）對(duì)任意的 x ( ,0) 有 f (x) f (0)t 2x的連續(xù)函數(shù)，證明G(x) 2 f (t) f (s)dsdt

22、11.設(shè) f (x) 是周期為20t是周期為2 的周期函數(shù)1.2 極限一、考綱要求l理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法4理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方限二、考點(diǎn)精講（一）極限的概念用等價(jià)無窮小量求極1、簡(jiǎn)述：在自變量的某一變化過程中，函數(shù)（包括數(shù)列）變化的最終趨勢(shì)叫函數(shù)的極限。注 1：不能離開自變量的變化過程談函數(shù)的極限注 2：極限是函數(shù)的極限，沒有函數(shù)就不能談極限 2、定義：定義 1：對(duì)于數(shù)列an ,設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)

23、，若 0 , N ,使當(dāng)n N 時(shí)，有| an A | ，則稱在n 時(shí)， an 以 A 為極限，記作lim an Ax定義 2：對(duì)于函數(shù) y f (x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， X ，使當(dāng) x X 時(shí)，有| f (x) A | ，則稱 lim f (x) Ax定義 3：對(duì)于函數(shù) y f (x)，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， X1 ，使當(dāng) x X1 時(shí)，有9高等數(shù)學(xué)| f (x) A | ，則稱 lim f (x) Ax定義 4：對(duì)于函數(shù) y f (x)，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， X 2 ，使當(dāng)| x | X 2 時(shí)，有| f (x) A | ，則稱lim f (x) Ax定義

24、 5：對(duì)于函數(shù) y f (x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， 0 ，使當(dāng)0 | x x0 | 時(shí)，有| f (x) A | ，則稱 lim f (x) Ax x0定義 6：對(duì)于函數(shù) y f (x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， 0 ，使當(dāng)0 )時(shí)，有| f (x) A | ，則稱lim f (x) Ax x0定義 7：對(duì)于函數(shù) y f (x) ，設(shè) A 為一個(gè)常數(shù)，若 0 ， 0 ，使當(dāng)時(shí)，有| f (x) A | ，則稱 lim f (x) Ax x0 0 )結(jié)論： lim f (x) A 成立的充要條件是： lim f (x) A 且 lim f (x) Axxxlim f (x)

25、 A 成立的充要條件是： lim f (x) A 且 lim f (x) Ax x0 x x0 x x0 注： x x0 很近（要多近有多近），但不等于 x03 、極限的幾何意義：（ 以 lim f (x) A 為例） 在 x0 附近的 y 值全部落在寬為 2 的xx0帶內(nèi)。（二）極限的性質(zhì)1、唯一性定理：若lim f (x) 存在，則其極限值唯一。x2、局部有界性定理：若lim f (x) 存在，則 f (x) 在局部有界。x3、局部保號(hào)性定理：若lim f (x) A() 0 ，則 f (x)(0) 0 在局部成立x 0在局部成立，則lim f (x) 0.推論：若lim f (x) 存在

26、，且 f (x)(0)() xx（三）極限的運(yùn)算1、四則運(yùn)算：若lim f (x) A, lim g(x) B, 則lim f (x) g(x) A Bxxxlim f (x) g(x) A B ， lim f (x) A，其中 B 0g(x)Bxx：在有意義的前提下，和差積商的極限等于極限的和差積商。推論：若lim f (x) 與lim f (x) g(x) 均存在，則lim g(x) 存在xxx 10高等數(shù)學(xué)若lim f (x) 與lim f (x) g(x) 均存在，且lim f (x) 0 則lim g(x) 存在xxxx 注：若lim f (x) 存在， lim g(x) 不存在，則

27、lim f (x) g(x) 一定不存在xx x若lim f (x) 與lim g(x) 均不存在，則lim f (x) g(x) 可能存在也可能不存在x口x x若lim f (x) 與lim f (x) g(x) 均存在，且lim f (x) 0 則lim g(x) 未必存在x口xxx 2、復(fù)合運(yùn)算法則：若 y f (u) 在u0 點(diǎn)連續(xù)(u0 lim g(x), 則x x0lim f g(x) f (u ) f lim g(x)0（四）極限的存在準(zhǔn)則1、單調(diào)有界準(zhǔn)則（原理）：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限注：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則只適用于數(shù)列，不適合于一般的函數(shù)（即單調(diào)有界函數(shù)未必有極限）2、準(zhǔn)則（原理）：若

28、 f1(x) f (x) f2 (x) 在局部成立，且lim f1 (x) A ，xlim f2 (x) A ，則lim f (x) 存在且等于 Axx注：準(zhǔn)則對(duì)數(shù)列極限也成立（五）兩個(gè)重要極限 lim(1 1 )x lim sin x 1 e 2.7182.xxxx0注： lim sin x 與lim（1 1）n 均為未定型，前者是 0 型極限，后者是1 型極限，一定xn0nx0要記準(zhǔn)自變量的變化過程（六）未定式極限01、基本形式： 型；型02、其它形式： 0 型， 型，1 型， 00 型， 0 型3、法則：定理 1： lim f (x) 0 ， lim g(x) 0 ，且x口x口f (x)

29、 A，（A 為常數(shù)或無窮）， f (x) 與 g(x) 在局部可導(dǎo)， limx口 g (x)f (x)f (x) lim A則limx口 g(x)x口 g (x)11數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)若lim f (x) ， lim g(x) ，且x口x口f (x) A，（A 為常數(shù)或無窮）， f (x) 與 g(x) 在局部可導(dǎo)， limx口 g (x)f (x)f (x) lim A則limx口 g(x)x口 g (x)0只有對(duì) 型或未定型極限才可以考慮直接用法則（對(duì)分子分母只有一個(gè)0是的情形，也可以考慮使用法則，但只限于做選擇填空題）當(dāng)分子分母在局部不可導(dǎo)時(shí)不能用法則（特別地對(duì)于數(shù)列極限不能直接用

30、）f (x)3 當(dāng)lim振蕩時(shí)不可用法則x口 g (x)0對(duì)其它未定型極限應(yīng)先化成 型或型，在考慮用法測(cè)。具體做法是：00型（或型）相除10 對(duì)于0 型0（或型）0通分，分子有理化到代換，出分母20 對(duì)于 型000型（或型）相除對(duì)數(shù)恒等式30 對(duì)于1 型、00 型、0 型0lim g ( x)ln f ( x)x口lim f (x)g(x) ex口注在使用法則的過程中應(yīng)盡可能地與代數(shù)變形、變量代（替）換、重要極限、四則運(yùn)算法則、等價(jià)無窮小代換、準(zhǔn)則相結(jié)合，以求簡(jiǎn)化計(jì)算。七 無 小 與無：若lim f (x) 0 ,則稱 f (x) 在 x 時(shí)為無窮?。浚﹛若lim f (x) ，則稱 f (

31、x) 在 x 時(shí)為無窮大（量）x注無窮大（?。┝渴侵敢蜃兞坎皇亲宰兞坎荒茈x開自變量的變化過程談無窮小與無窮大注 3 無窮大量一定是變量（函數(shù)），反之不然：在自變量同一變化過程中，有：無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量。注 無窮大量與有界變量的乘積未必是無窮大量。有限個(gè)無窮小量的和差積仍然是無窮小量（但商未必）。注看限個(gè)無窮大量的和、差、商未必是無窮大量（但積例外）。無窮個(gè)無窮小量的和差積商未必是無窮小量。無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；非零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。設(shè) f (x) 0 ， g(x) 0的12數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué) f (x)若lim 0，則稱 f (x) 比 g(x) 高階，記住

32、： f (x) o(g(x)x g(x)f (x)，則稱 f (x) 比 g(x) 低階若limx g(x)f (x) c ， (c 0)，則稱 f (x) 與 g(x) 同階若limx g(x)若lim f (x) 1，則稱 f (x) 比 g(x) 等價(jià)無窮小，記作 f (x) g(x)x g(x)與的結(jié)論 lim f (x) A f (x) A (x) ，其中 (x) 為無窮小量（當(dāng) x ）。x若lim f (x) A ，且lim g(x) 0 ，則lim f ( x) 0推g(x)xxx推論若lim f (x) B 0 ，且lim f (x) 0 ,則lim g(x) 0g(x)xxx

33、 y f (x) 連續(xù) y 為無窮小量（ x 0 ）其中： y f (x x) f (x)f (x) lim f1 (x)等價(jià)無窮小代換：若 f (x)f (x)， g(x)g (x)則lim，11等價(jià)無窮小代換的實(shí)質(zhì)是分子分母同除以等價(jià)的函數(shù)當(dāng)分子或分母為和差時(shí)，一般不能對(duì)其中的某些項(xiàng)進(jìn)行等價(jià)無窮小代換；當(dāng)分子或分母為乘積時(shí)，可以對(duì)其中的某些因子進(jìn)行等價(jià)無窮小代換。當(dāng) x 0 時(shí)，常見的等價(jià)無窮小量有： sinarcsintan1 x) 1 xln(1 x)x ， ex 1x ，1 cosarctanf (x) 在 x x0 可導(dǎo)，且 f (x0 ) 0 ，則dy|xx是與x 同階的無窮小量

34、 若0若 f (x) 在 x x0 可導(dǎo)，則y dy x x 是比x 高階的無窮小量0（考查曲中三、實(shí)用型及例題歸類的 2 ”是數(shù)列xn“對(duì)任意給定的 (0,1) 總存在正整數(shù) N ，當(dāng)n N 時(shí)，恒有收斂于a 的（ ）xn a（A）充分條件但非必要條件（B）必要但非充分條件13高等數(shù)學(xué)（C）充分必要條件（D）既非充分條件又非必要條件2設(shè)對(duì)任意的 x ，總有(x) f (x) g(x) ，且limg(x) (x) 0 ，x則limf (x)（ ）x（A）存在且等于零（C）一定不存在（B）存在但不等于零（D）不一定存在3.設(shè)a n ，b n ，c n 均為非負(fù)數(shù)，且lim an 0 ， lim

35、bn 1， lim cn 則必有（ ）nnn（A） an bn 對(duì)任意n 成立（B） bn cn 對(duì)任意n 成立（C） limancn 極限不存在（D） limbncn 極限不存在nn1e x1 的極限（x 2 14.當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù)）x 1（A）等于 2（B）等于 0（C）為（D）不存在但不為5下列各式中正確的是（）（A） lim (1 1 )x 1（B） lim (1 1 )x exxx0 x0（C） lim(1 1 )x e（D） lim(1 1 )x exxxx116當(dāng) x 0 時(shí)，變量sin是（）x 2x（A）無窮?。–）有界的，但不是無窮小量（B）無窮大（D）的，但不是無窮大題

36、型二方法一 利用四則運(yùn)算法則求關(guān)于函數(shù)極限的計(jì)算1.求 lim).x3 x 1 x2. limx2 x 2x1方法二 利用連續(xù)函數(shù)的定義求1lim lg100 x 2x0 5x arcsin ax 方法三 利用左右極限求1 2 e xsin x lim x0 4x1.求 1 e14x高等數(shù)學(xué)ln cos(x 1) , x 11 sinx, 問函數(shù) f (x) 在 x 1 處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改2設(shè)函數(shù) f (x) 2x 11,函數(shù)在 x 1 處的定義，使之連續(xù)方法四 利用兩個(gè)重要極限求(3x2 5)2x1. limsin5x 3x2. lim1x3.設(shè)a 為非零常數(shù)， lim( x a )

37、x e2a ，則a =.x ax14. lim(tan x)cos xsin xx4方法五 利用準(zhǔn)則求(3x2 5)2x1. limsin5x 3x注：老師舉例錯(cuò)誤，不適宜使用準(zhǔn)則，詳解見方法四.xs(x) | cost | dt ，2.設(shè)函數(shù)0（1）當(dāng) n 為正整數(shù)，且n x (n 1) 時(shí)，證明2n S(x) 2(n 1) ；s(x) .（2）求 limxx方法六 利用等價(jià)無窮小代換求3sin1. limx0（1 cos x) ln(1 x)2. lim x ln(1 x)1 cos xx01 cosxf (x) 1則f (0) .3.已知函數(shù) f (x) 連續(xù)，且lim2(ex 1) f

38、 (x)x015高等數(shù)學(xué)2exe22cos x4.計(jì)算lim4xx0方法七 利用法則求lim x ln x1.x0sinlim2.4xx0(1 cos)sin 4 xlim3.x0cos2 x1lim ()4.sin 2 xx2x0lim 5.x1 e xlim x06.nxx2lim x a x b 7.x x)sin t sin xsin tlim(8.sin xt x方法八 利用公式求1 1、求極限limcotx x0 x sin x2、求極限limxe 12xx0 x22cos x e3、求極限lim4xx0方法九 利用導(dǎo)數(shù)定義求16數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列高等數(shù)學(xué)f (tx) f (x)f

39、(x) 在 x 0 處可導(dǎo)，且 f (0) 0 ，求lim設(shè)xx0方法利 微分中型三 關(guān)的計(jì) 1 (a 1 ) ，（n 1,2,.) ,證明lim a1.設(shè) a 2 ， a存在并求出其值.n1n1n2ann1 ln(1 1 ) 1 成立；2. 證明：對(duì)任意的正整數(shù)n ，都有n 1nn11設(shè)an 1 . ln n(n 1,2)，證明數(shù)列an 收斂.2n法用分義求lim 1 1 cos . 1 cos n n n nnsin sin 2求limn n sin n 1n 1n 1n2n四的設(shè) f (x) 2x 3x 2 ，則當(dāng) x 0 時(shí)，（A） f (x) 與 x 是等價(jià)無窮小量（B） f (x)

40、 與 x 是同階但非等價(jià)無窮小量（C） f (x) 是比 x 較高階的無窮小量（D） f (x) 是比 x 較低階的無窮小量當(dāng) x 0 時(shí)，下列四個(gè)無窮小量中，哪一個(gè)是比其它三個(gè)更高階的無窮小量？（B）1 cos x（C） 1 x2 1（D） x tan x（A） x2當(dāng) x 0 時(shí)，與x 等價(jià)的無窮小量是1 x（A）1 ex1x 1（D）1cos x（B） ln（C）1x2x把 x 0 時(shí)的無窮小量 cost dt ， tantdt ， sin t3dtxx2排列起000來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，確的排列次序是17高等數(shù)學(xué)(A), , (B), , (C) ,. (D) , ,.

41、題型五 求極限式中的未知參數(shù)1.已知 lim ( x a) x 9 ，求常數(shù)ax ax2.設(shè) f (x) 在(,) 可導(dǎo)，且lim f (x) e ，xlim ( x c )x lim f (x) f (x 1) ，求c 的值x cxxln(1 x) (ax bx2 ) 2 ,則3.設(shè)limx2x05252（A） a 1, b （B） a 0,b 2（C） a 0, b （D） a 1,b 2sin x(cos x b) 5 ,則a ， b .4.若limxax0 e5確定常數(shù)a, b, c 的值，使lim ax sin x c, c 0 x ln 1 t 3 x0bdtt6.已知當(dāng) x 0

42、時(shí)，函數(shù) f (與是cxk 等價(jià)無窮小，則（）（A） k 1, c 4（B） k 1, c 4（C） k 3, c 4（D） k 3, c 4題型六曲線的漸近線1.當(dāng) x 0 時(shí)，曲線 y x sin 1x（A）有且僅有水平漸近線（C）既有水平漸近線，也有鉛直漸近線（B）有且僅有鉛直漸近線（D）既無水平漸近線，也無鉛直漸近線注：本題正確為 Asin 1lim x sin 1 limx t 1 lim sin t 11xxx t 0txx2.曲線 y 1 ln(1 ex) 的漸近線條數(shù)為x18高等數(shù)學(xué)（A）0（B）1（C）2（D）32x33.曲線 y 的漸近線方程為.x2 11.3連續(xù)一、考綱要

43、求理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)問上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)，二、考點(diǎn)精講（一）點(diǎn)連續(xù)1、點(diǎn)連續(xù)的定義：定義 1：若 lim f (x) f (x0 ) ，則稱 f (x) 在 x0 點(diǎn)連續(xù)，否則就稱 f (x) 在 x0 點(diǎn)間斷。x x0定義 2：若 lim f (x) f (x0 ) ，則 f (x) 在 x0 點(diǎn)左連續(xù)；xx0若 lim f (x) f (x0 ) ，則 f (x) 在 x0 點(diǎn)右連續(xù)。xx0結(jié)論： f (x) 在 x0 點(diǎn)連續(xù)的充要條件是 f

44、(x) 在 x0 點(diǎn)左、右都連續(xù)。2、點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)說法：（1） lim (x x) f (x0 ) ；x0（2） lim y 0 （其中y f (x0 x) f（x0）x0f (3、間斷點(diǎn)的表現(xiàn)形式：（1）0 點(diǎn)無定義（2） lim f (x) 不存在x x0（3） f (x) 在 x0 點(diǎn)有定義， lim f (x) 存在，值lim f (x) f (x0 )xx04、間斷點(diǎn)的分類：（1）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在的間斷點(diǎn)特例 1：可去間斷點(diǎn)左右極限都存在且相等的間斷點(diǎn)特例 2：跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在且不等的間斷點(diǎn)（2）第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)特例 1：無窮間斷點(diǎn)左

45、右極限中至少有一個(gè)為無窮大特例 2：振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)振蕩（二）區(qū)間連續(xù)xx0定義 l：若 f (x) 在(a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f (x) 在(a,b) 連續(xù)定義 2：若 f (x) 在(a,b) 連續(xù)，且在 x a 點(diǎn)右連續(xù)，則稱 f (x) 在a,b) 連續(xù)定義 3：若 f (x) 在(a,b) 連續(xù)，且在 x b 點(diǎn)左連續(xù)，則稱 f (x) 在(a,b 連續(xù)19高等數(shù)學(xué)定義 4：若 f (x) 在(a,b) 連續(xù)，且在 x a 點(diǎn)右連續(xù)，在 x b 點(diǎn)左連續(xù)， 則稱 f (x) 在a,b 連續(xù)。結(jié)論：連續(xù)函數(shù)的和差積商在其定義域內(nèi)連續(xù)；連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在其定義域內(nèi)

46、連續(xù)；初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)相關(guān)結(jié)論：對(duì)于一元函數(shù)，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件（注:此結(jié)論對(duì)多元函數(shù)不成立）；連續(xù)是可積的充分條件（注：此結(jié)論對(duì)多元函數(shù)也成立）；連續(xù)是可微的必要條件（注：此結(jié)論對(duì)多元函數(shù)也成立）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：（可推廣到有界閉區(qū)域上定義的多元連續(xù)函數(shù)）l、最值定理：若 f (x) 在a,b 上連續(xù)，則 f (x) 在a,b 上一定可以達(dá)到最大值和最小值。2、有界性定理：設(shè) f (x) 在a,b 上連續(xù)，則 f (x) 在a,b 有界、介值定理：設(shè) f (x) 在a,b 上連續(xù)，記 M max f (x) ， m min f (x),xa,bxa,b則 m, M ，

47、必存在 a, b 使得 f ( ) 注 1：介值定理和積分中值定理中存在的 a, b ，而微分中值定理中的 (a, b)注 2：一見到關(guān)于 等式的證明題應(yīng)立即想到介值定理，微分中值定理和積分中值定理：當(dāng)所要求證的等式中不含導(dǎo)數(shù)也不含積分，通常應(yīng)考慮介值定理；當(dāng)所要求證的等式中含有導(dǎo)數(shù)，通常應(yīng)考慮微分中值定理；當(dāng)所要求證的等式中含有積分，通常應(yīng)考慮積分中值定理。4、零點(diǎn)定理：設(shè) f (x) 在a,b 上連續(xù)，且 f (a) f (b) 0 則 f (x) 在(a,b) 中至少存在一個(gè)零點(diǎn)。注 1： f (x) 0 方程的根 x x0 稱為 f (x) 的一個(gè)零點(diǎn)；注 2：零點(diǎn)定理中的零點(diǎn) (a,

48、 b) （不是屬于閉區(qū)間）三、實(shí)用題型及例題歸類題型一 求連續(xù)函數(shù)中的未知參數(shù)a bx2，x 0設(shè) f (x) 在 x 0 處連續(xù)，則常數(shù)a 與b 應(yīng)滿足的關(guān)系是.sin bx ,x 0 x題型二函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性x 01已知函數(shù) f (x) |0，則 f (x) 在點(diǎn) x 0 處 （ ）0,20高等數(shù)學(xué)（A）極限不存在（B）極限存在但不連續(xù) （C）連續(xù)但不可導(dǎo) （D）可導(dǎo)1 cos xx0 x 02.設(shè) f (x) ，其中 g(x) 是有界函數(shù)，則 f (x) 在 x 0 處 （ ）x x 2 g(x)（A）極限不存在（B）極限存在但不連續(xù)（C）連續(xù)但不可導(dǎo)（D）可導(dǎo)題型三函數(shù)的間斷點(diǎn) f

49、 (x) , x 0 x1.設(shè) F (x) 其中 f (x) 在 x 0 處可導(dǎo)， f (0) 0 ， f (0) 0 f (0), x 0則 x 0 是 F(x) 的（A）連續(xù)點(diǎn)（C）第二類間斷點(diǎn)）（B）第一類間斷點(diǎn)（D）連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定1f (x) a, g(x) f ( x ), x 0,2.設(shè) f (x) 在(,) 內(nèi)有定義，且limx0, x 0則（ ）( A)x 0 必是 g(x) 的第一類間斷點(diǎn)(B)x 0 必是 g(x) 的第二類間斷點(diǎn).(C)x 0 必是 g(x) 的連續(xù)點(diǎn).(D)g(x) 在點(diǎn) x 0 處的連續(xù)性與a 的取值有關(guān)x x33.函數(shù) f (x) sin

50、 x 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）（A）l（B）2（C）3（D）無窮多個(gè)xtan(x )4在區(qū)間(0,2 ) 內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.4.求函數(shù) f (x) (1 x) 0 x 05.設(shè)函數(shù) f (x) 6 eax x2 0 x sin4問 a 為何值時(shí)， f (x) 在 x 0 處連續(xù)； a 為何值時(shí)， x 0 是 f (x) 的可去間斷點(diǎn)？21高等數(shù)學(xué)題型四 關(guān)于 等式的證明1.設(shè) f (x) 在a，b 連續(xù)， a c d b ，求證： k1 ， k2 0 ， a, b 使得k1 f (c) k2 f (d ) (k1 k2 ) f ( )2.設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù)，且 g

51、(x) 0 ，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)bb )g(x)dx a, b 使f (x)g(x)dx f (aa3.證明積分中值定理：若函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) a, b，使b得f (x)dx f ( )(b a)an (a,b) ，求證： (a, b) ，使得4設(shè) f (x) 在(a, b) 連續(xù)，f ( ) 1 f (x ) f (x ) f (x ) .12nn5.設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間上0,1 可微，對(duì)于0,1 上的每個(gè) x ，函數(shù)的值都在開區(qū)間(0,1) 內(nèi)，f (x) 1。證明在(0,1) 內(nèi)有且僅有一個(gè) x 使 f (x) x.且6

52、.已知函數(shù) f (x) 在0,1 上連續(xù)，在(0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f (0) 0, f (1) 1證明：存在 (0,1), 使得 f ( ) 1 題型五考查方程根的情況1證明方程 x a sin x b(a 0, b 0) 至少有一個(gè)不大于a b 的正根2.設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)，且 f (x) 0, 則方程 1 f (t)xxf (t)dt dt 0 在開區(qū)間(a, b) 內(nèi)的根有 （B）ab（A）0 個(gè)（B）1 個(gè)（C）2 個(gè)（D）無窮多個(gè)x3.證明方程ln x 1 cos2xdx 在區(qū)間(0,) 內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根e02 12x a 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（ ）4

53、.當(dāng)a 取下列哪個(gè)值時(shí)， f (（A）-2（B）-4（C）-6（D）-85.若3a 2 5b 0 ，則方程 x 5 2ax3 3bx 4c 0 （ ）22高等數(shù)學(xué)（A）無實(shí)根（C）有三個(gè)不同實(shí)根注：4、5 題，老師沒有講，請(qǐng)同學(xué)自己動(dòng)手做一下，（B）有唯一實(shí)根（D）有五個(gè)不同實(shí)根都是 B.1x26.設(shè)當(dāng) x 0 時(shí)，方程kx 1 有且僅有一個(gè)解，求k 的取值范圍23高等數(shù)學(xué)第二章一元函數(shù)微分學(xué)2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、考綱要求理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，了解導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的

54、概念），理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。會(huì)求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)二、考點(diǎn)概述與解讀（一）導(dǎo)數(shù)的概念1、點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念f (x0 x) f (x0 )f (x ) lim（1）定義：0 xx0f (x) f (x0 )或者 f (x ) lim0 x xxx00f (x0 x) f (x0 ) 存在，則稱 f (x) 在 x x注：若 lim點(diǎn)可導(dǎo)0 xx0f (x0

55、 x) f (x0 ) （此極限存在稱為左可導(dǎo)）（2）左導(dǎo)數(shù)： f (x ) lim0 xx0f (x0 x) f (x0 )（此極限存在稱為右可導(dǎo)）（3）右導(dǎo)數(shù)： f (x ) lim0 xx0結(jié)論： f (x) 在 x x0 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是 f (x) 在 x x0 點(diǎn)左、右都可導(dǎo)，且f(x0 ) f(x0 )f (x0 x) f (x0 )2、導(dǎo)函數(shù)： f (x ) lim0 xx0注：導(dǎo)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)極限函數(shù)。 3、區(qū)間導(dǎo)數(shù) f (x) 在a, b可導(dǎo)： f (x) 在a, b內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)； f (x) 在a, b 可導(dǎo)： f (x) 在a, b內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且 f(a) 存

56、在； f (x) 在(a,b 可導(dǎo)： f (x) 在(a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且 f (b) 存在；24高等數(shù)學(xué) f (x) 在a, b 可導(dǎo)： f (x) 在(a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且 f(a) , f (b) 存在。4、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義f (x0 ) k切（1）幾何意義：注：若 f (x) 在 x x0 處可導(dǎo)，則 y f (x) 在 x x0 處一定有切線，反之不然（2）物理意義： s(t0 ) (t0 ),(（3）經(jīng)濟(jì)意義：導(dǎo)數(shù) 邊際注：邊際 f (x0 ) 反映的是自變量 x 從 x0 時(shí)刻（狀態(tài)）起再增加一個(gè)0 )所引起的經(jīng)濟(jì)量 f (x0 ) 的絕對(duì)增加量。5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)

57、系結(jié)論：對(duì)一元函數(shù)而言，可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)，不連續(xù)一定不可導(dǎo)。注：函數(shù) f (x) （二）導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 1、用定義求導(dǎo)2、用公式求導(dǎo)在 x 0 處連續(xù)，但不可導(dǎo)。xf g fgf g) f g;( f g) f g fg ;()g（1）四則運(yùn)算求導(dǎo)公式： ( fg 2（2）復(fù)合運(yùn)算求導(dǎo)公式： ( f (x) f (x) (x)1f ( y)（3）反函數(shù)求導(dǎo)公式： f 1(x) h(x)（4）基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式10 (c) 0;20 (x ) x 1;30 (ax ) axha :140 (log x ) 50 (sm x) cos x;60 (cos x) sin x;ax ln a7

58、0 (tan x) sec2 x :80 (cot x) csc2 x90 (sec11110 (arcsin x) 120 (arccos x) 100 (csc1 x21 x211130 (arctan x) 140 (arc cot x) 1 x21 x23、以取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法多用做法：兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊再求導(dǎo)多個(gè)函數(shù)的乘積、商的導(dǎo)數(shù)或冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)25高等數(shù)學(xué)4、隱函數(shù)求導(dǎo)法在 F(x, y) 0 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)（視 y 為中間變量），從中解出 y注：對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，其結(jié)果可以是隱函數(shù)形式，即允許含有 x, yx (t)dy (t)5、參數(shù)方程求導(dǎo)法： h(t) ，其中dx(t)y (t

59、)注 1：參數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)的最終結(jié)果允許用參數(shù)t 表示；注 2：對(duì)參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，千萬不可將 (t),(t) 對(duì)t 分別求二階導(dǎo)數(shù)后進(jìn)行比值，d 2 yddyddh(t) dt1 h(t) dx dxdx h(t) .其的正確做法是：tdx2dtdx(t)ddxxf (t)dt f (x)6、積分函數(shù)求導(dǎo)法：a注：使用上述公式的前提條件是 f t 是連續(xù)函數(shù)，且被積函數(shù)中不含 x . d dxd dx d dx x u令（x）f (t)dt f xx推論 1：a2 ( x)f (x) (x) f (x) (x)f (t)dt 推論 2：2211 ( x)1 x x g (x)f (t)dt

60、 g(x) f (x)(x)g(x) f (t)dt推論 3：aa7、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法歸納法：先求 y, y ,. ，再根據(jù)其規(guī)律，歸納出 y(n) 的表達(dá)式公式法：0,m nm n n!,10 1);20 (x m )(n)m!mn x, m n (m n)!30 (sin x)(n) sm (x n );240 (cos x)(n) cos(x n )2 (1)n1 (n 1)! ax ln n a;50 (ax )(n)60 (ln x)(n)xnn(k )(nk )70 （公式） f (x) g(x)(n) C f (x)g(x)knk 0注：公式可通過二項(xiàng)式展開定理做類比。（3）化簡(jiǎn)