量子力學(xué)考研真題與量子力學(xué)考點總結(jié)

1、子力學(xué)考研真題與子力學(xué)考點總結(jié)8粒子在勢場V中運動并處于束縛定態(tài)，一 1中，試證明粒子所受勢場作用力的平均值為零。中國科學(xué)院2006研【解題的思路】直接利用勢場中作用力的表達式，求解其平均值，然后利用與哈密頓量的對易關(guān)系就可得出結(jié)果。【分析】在勢場V中，粒子所受作用力為因此作用力F的平均值為WIs-必）陂（對）=。得證?！局R儲備】束縛態(tài)：在無窮遠處，粒子的波函數(shù)為零的狀態(tài)。 _, A在某一表象下，算符F在W態(tài)中的平均值為F =29兩個無相互作用的粒子置于一維無限深方勢阱(0 x。) 淳*l&M(邑?) s nsy)苫(&-s) Rial)苫(&/)E n閔一十國一5皇學(xué)、盡L *(W5 一3

2、 序*5?1me/) 普北蕓XI)拿(&) M 混)4) 癢”黑2)茂(&)一T) 盡7 苫(3)專&)* 菁 H3M&T)因此，能級簡并度為8。(2 )對于兩個全同粒子，自旋1/2為費米子，則總波函數(shù)滿足交換反對稱關(guān)系?；鶓B(tài)能級非簡并。第一激發(fā)態(tài)能級簡并度為4。【知識儲備】 一維無限深方勢阱 若勢能滿足叫（?？冢?,（時冒），體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是在阱內(nèi)（|x| a)2m di1體系的能量本征值本征函數(shù)全同粒子全同粒子定義在量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋等）相同的微觀粒子稱為全同 粒子。全同性原理 全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得由全同粒子所組成的體系中，兩 全同

3、粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描述全同粒子體系的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，而且這種對稱性不隨時間改變。兩個電子的自旋函數(shù)若不考慮兩電子自旋相互作用，兩電子對稱自旋波函數(shù)X和反對稱自旋波函數(shù)X a,分別寫為的（）/ 1（電）-# 1（&）肉 Me）2222【拓展發(fā)散】兩個自旋為1的全同粒子，即玻色子，求解相應(yīng)的波函數(shù)和能量，以及簡并度。30假設(shè)自由空間中有兩個質(zhì)量為m、自旋為/2的粒子，它們按如下自旋相關(guān)勢：/相互作用，其中r為兩粒子之間的距離，g0為常量，而 (i= 1,2)為分別作用于第i個粒子自旋的Pauli矩陣。(1 )請寫出該兩粒子體系的一組可對易力學(xué)量完全集；請給出該體系各束

4、縛定態(tài)的能級g;請寫出該體系的基態(tài)，并注明相應(yīng)的量子數(shù)。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)2012研【解題的思路】可以選取和哈密頓量對易的力學(xué)量算符，來確定一組可對易力學(xué)量完全集;直接利用定態(tài)薛定諤方程求解本征能量和本征態(tài)?！痉治觥浚?）體系的哈密頓量可以寫為2m Zm r令 L，則 ，與哈密頓量對易。對于，此結(jié)果是顯然的。對于烏司二肥 r. W 5-5-S尸二 rl-j_ x _ XJL J. JilfcL .潢1-C jl. x7 rSb :十1= % % 十Sr &乩 + & = % 4 )4 z =0體系的角動量：二顯然也與哈密頓量及自旋對易。因此力學(xué)量組三三二X匚即為體系的一組可對易力學(xué)量完全集。（2

5、）為考慮體系的束縛態(tài)，需要在質(zhì)心系中考查，哈密頓量可改寫為4 耕 m r 其中尢為質(zhì)心動量。由于質(zhì)心的運動相當于一自由粒子，體系的波函數(shù)首先可 分離為空間部分和自旋部分，空間部分可以進一步分解為質(zhì)心部分和與體系內(nèi)部 結(jié)構(gòu)相關(guān)的部分。略去質(zhì)心部分，將波函數(shù)寫成力學(xué)量完全集的本征函數(shù)(3)對于體系的基態(tài)為可知只有才會出現(xiàn)束縛態(tài)。將上述方程與氫原子情形時相類比，可知束縛態(tài)能級為相應(yīng)的量子數(shù)其中,為玻爾半徑?！局R儲備】定態(tài)薛定諤方程-勺寸-叮）=頃習(xí)體系的總角動量滿足角動量的一般對易關(guān)系一J x J =ih J分量形式 TOC o 1-5 h z A A . A A A . A A A .人J ,

6、J = ihJ ;J ,J = ihJ ;J ,J = ihJL V f vJ7 L V 7JY L 7 YJvxyzyzxzxy或統(tǒng)一寫成A AAJi，JjijA其中的i，j，k分別表示x，y，z分量，如果i，j，k有兩者或兩者以上相同則此為0,其他情況則為1或-1。IJK31粒子在勢場蝠 中運動（0 0），試求系統(tǒng)能級和能級方程。中國科學(xué)院2007研【解題的思路】對于不隨時間變化的勢場，明顯可以直接使用定態(tài)薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征能級，針對本題提供的8勢場，需要充分利用8函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥苛Ｗ釉跓o限深8勢場中運動，由定態(tài)薛定諤方程可得當xa或x-a時當-avxva時對兩邊在積分可得

7、當x/0時其中求解可得因為所以知識儲備】定態(tài)薛定諤方程波函數(shù)必須滿足的三個基本條件有限性：波函數(shù)必須是有限的，因為概率不可能為無限大；單值性：波函數(shù)一定是單值的，因為任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種；連續(xù)性：波函數(shù)必須處處連續(xù)，因為概率不會在某處發(fā)生突變。項 1 :32 一維諧振子系統(tǒng)哈密頓量為=一手 ，設(shè)受到微擾三二一；-的作 用，試求對第n個諧振子能級的一級微擾修正。中國科學(xué)院2007研【解題的思路】對于一維諧振子模型，可以利用定態(tài)薛定諤方程求解其本征波函數(shù)和本征能級， 在不隨時間變化的微擾的作用下，可以直接代入定態(tài)非簡并微擾理論求解修正能 級，在計算的過程中，可以充分利用諧振子本征波函數(shù)的

8、推導(dǎo)關(guān)系式和維里定理， 這樣可以簡化計算。【分析】由定態(tài)薛定諤方程求解一維諧振子可得本征波函數(shù)為_蕾工9戎=斗5 Fsi對于微擾有Jr=-A=-x（）a二一上4*（玦-I7）32m=-町-I耳 +）根據(jù)定態(tài)微擾第n級的一級修正為ek=h=5 ff,n）=Sl-敬同=板|（j?；-町-四+尸）同二丈物氣2E （叫|趴）十何下振子的基態(tài)（n = 0）能量，零點能對于諧振子勢場，由維里定理可得知識儲備】一維線性諧振子勢能滿足方程本征值本征函數(shù)其中常用公式總結(jié):維里定理粒子在r的n次方的勢場中運動，則粒子的平均動能和平均勢能滿足關(guān)系式非簡并定態(tài)微擾微擾作用下的哈密頓量H = H0+H第n個能級的近似表

9、示波函數(shù)的近似表示處于單態(tài)和三重態(tài)的概率。中國科學(xué)院2008研【解題的思路】對于兩個自旋為 的粒子，它們?yōu)橘M米子，可以通過它們各自的波函數(shù)，將其 寫為三重態(tài)和單態(tài)的形式，則可以顯而易見的求解出分別在三重態(tài)和單態(tài)的幾 率。【分析】因為兩個粒子分別為約L血如一土!則它們兩個粒子系統(tǒng)的狀態(tài)為其中八為單態(tài)，廠、為三重態(tài)。siM因此，系統(tǒng)處于單態(tài)的概率為，系統(tǒng)處于單態(tài)和三重態(tài)的概率為【知識儲備】單態(tài)和三重態(tài) 若不考慮兩電子自旋相互作用，兩電子對稱自旋波函數(shù)X和反對稱自旋波函數(shù)XA，分別寫為 TOC o 1-5 h z 就二 =i()22V -i -111-1T -kM屆一乙二土 Z1 (電)，_1 (d

10、) - Z_1 (電) (電)V- _ 1222_y (8 ) y (& )其中，無(=土)表示第1(2 )個電子處于自旋向上或向下的態(tài)。xA是兩電子自旋反平行的態(tài)，總自旋為零，此態(tài)是單態(tài)；XS是三重簡并的，被稱 為三重態(tài)。34對于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為，為參數(shù)，用變分法求基 態(tài)能量和波函數(shù)，并與嚴格解比較。復(fù)旦大學(xué)2001研 【解題的思路】 當夕卜界擾動不能判斷是否大小時，可以使用變分法，具體操作可以根據(jù)變分法程 序化的步驟進行計算，最后得出結(jié)果，可以通過實驗數(shù)據(jù)來判斷變分法選取參數(shù) 的優(yōu)劣，在此基礎(chǔ)上，可以通過調(diào)整參數(shù)來得到更加優(yōu)化的解答。【分析】首先由波函數(shù)的歸一化條件，得出

11、試探波函數(shù)的歸一化形式為甲-()L 4c-jEia范選擇為參量。能量的平均值為2m 2忍=2+-&rI如 aK由.可得 二。所以基態(tài)波函數(shù)為能量為E = -h&)由薛定諤方程求解的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)和能量為比較兩種結(jié)果，它們相同?！局R儲備】變分法求體系基態(tài)能量方法總結(jié)分析具體的物理問題和研究對象，在微擾法的適用條件不滿足的情況下，可以選擇變分法求解，步驟如下：a .根據(jù)具體的物理系統(tǒng)和研究者的經(jīng)驗，選取含有參數(shù)入的嘗試波函數(shù)W （入）；計算H的平均能量H （入），它是變分參量入的函數(shù)；岳以）=由極值條件卜求解入數(shù)值；. 一 一 一 一. 一 一帶入H （入），求出H （入）的最小值，所求

12、結(jié)果即為基態(tài)能量的上限。一維諧振子本征函數(shù)其中aTn【拓展發(fā)散】當在非簡諧振子哈密頓量或者任何其它的哈密頓量時，都可以利用同樣的變分法 的操作方法進行計算，變分法對于擾動的大小和特性沒有限制，因此變分法在很 多定性問題方面有很廣泛的應(yīng)用。35兩個自旋為1/2的粒子組成的體系由哈密頓量- -三三 描述， 其中 . 分別是兩個粒子的自旋，二七是它們的z分量，A，B為常數(shù)，求該 哈密頓量的所有能級。復(fù)旦大學(xué)2004研【解題的思路】對于哈密頓量，選擇恰當合適的共同本征態(tài)，利用自旋角動量的合成和總自旋角 動量與各自分量的關(guān)系求解?！痉治觥坑蓛蓚€自旋為1/2的粒子基組成的體系，為總自旋，即氣+殆s并且對應(yīng)

13、的z分量有所以s1 =（& +勺滬=*+2虬電即3 =N f j _云）=護因此哈密頓量可以改寫為H = As.-PT） = -r-4f.-追*212 4根據(jù)自旋角動量的合成規(guī)則勺二展當二：時，.二。；因此帶入哈密頓量，可得所有能級為或者或者二麻-刑履二/士加【知識儲備】 兩個角動量合成耦合表象a .力學(xué)量組：-兀 二八相互對易，其共同本征矢構(gòu)成正交歸一系;b.以此本征矢為基矢的表象稱為耦合表象;c .耦合表象的基矢記為，或簡記為|.?。?。無耦合表象a .力學(xué)量組 f *也相互對易，相應(yīng)的表象稱為無耦合表象;b.無耦合表象的基矢為九）需滿足尸四片為T）病四）加片泌伽）。其中皿呵,ji+j2；m

14、=-j,-j + 1,，j_1,j。36有一個質(zhì)量為m的粒子處在長度為a的一維無限深勢阱中，x 70 x -；： 0. x aV = 懸皿,t = 0時粒子波函數(shù)*曰_河 死氣求：歸一化常數(shù)a；粒子能量的平均值；t = 0時粒子能量的幾率分布；任意t0時波函數(shù)的級數(shù)表達式。南京大學(xué)2001研【解題的思路】由波函數(shù)的歸一化公式即可求得A;對于力學(xué)量的平均值可以直接帶入平均值公式求解；任意波函數(shù)都可以由某一個完備集展開，相應(yīng)的能量的完備集也可以，對于求 解某一個能級的幾率分布，只需要對展開式中本征波函數(shù)的振幅平方即可；含時薛定諤方程可以求解t時刻波函數(shù)的具體形式?！痉治觥?1)由波函數(shù)的歸一化|

15、v/(r:0) dx = l = | |北(農(nóng)-元)也所以A =旬產(chǎn)(2)利用定態(tài)薛定諤方程求解一維無限深勢阱可得 本征波函數(shù)為將-用完備集展開可得因此由傅里葉變化可得所以粒子的平均能量為(3)粒子的本征能量為的幾率為(4)粒子在任意時刻t的波函數(shù)為知識儲備】波函數(shù)的歸一化條件j 更dr = 1A在某一表象下，算符F在W態(tài)中的平均值為F =胛呼半”設(shè)y1、y2、yn、是體系的可能狀態(tài)，那么它們的歸一化的線性疊加形式 為c1y1 + c2y2 + + cnyn + .,這也是微觀粒子的可能狀態(tài)。也可以說，當體系 處于態(tài)y時，體系部分地處于態(tài)y1、y2、yn、中；相應(yīng)的概率分別為|c1|2, |C

16、2|2、.、cj2，.。波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由含時薛定諤方程給出法I甲正力=-蘭力-蛇頃崩37 .氯化鈉晶體中有些負離子空穴，每個空穴束縛一個電子，可將這些電子看 成束縛在一個尺度為晶格常數(shù)的三維無限深勢阱中。晶體處在室溫，試粗略估計 被這些電子強烈吸收的電磁波的最大波長。（晶格常數(shù)1A）南京大學(xué)2001研 【解題的思路】本題把量子力學(xué)中的理論和實際的系統(tǒng)聯(lián)系，這可以提高對量子力學(xué)的理解。將氯化鈉晶體中的空穴束縛電子看成三維無限深勢阱模型，要求解電子可以吸收 的最大波長的電磁波，根據(jù)波長和頻率的關(guān)系，也就是要求頻率最小，能級間能 量差最小，顯而易見，由無限深勢阱的本征能量的形式，即可以求解基

17、態(tài)和第一 激發(fā)態(tài)的能量差?！痉治觥吭O(shè)晶格常數(shù)為c，對于束縛在三維無限深勢阱中的電子，由定 態(tài)薛定諤方程可以求解本正能量為因此，基態(tài)能量為第一激發(fā)態(tài)的能量為能使電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的光子的頻率為相應(yīng)的波長為知識儲備】三維無限深方勢阱勢能滿足方程則本征值本征函數(shù)電子由能量為Em的定態(tài)躍遷到能量為En的定態(tài)時所吸收或發(fā)射的輻射頻率滿足【拓展發(fā)散】將三維無限深勢阱的模型變?yōu)槿S諧振子的情形，來求解相應(yīng)的吸收最大電磁波 波長。38請寫出四位因?qū)α孔恿W(xué)理論的貢獻而獲諾貝爾物理學(xué)獎的科學(xué)家，并簡要介紹他們在量子力學(xué)建立過程中的貢獻。武漢大學(xué)2015研【解題的思路】在量子力學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，對量子力學(xué)的

18、發(fā)展史的了解是必要的，在了解這些歷史的過程中，也可以加深對量子力學(xué)的理解?！痉治觥科绽士耍阂肓孔拥母拍?，提出的黑體輻射公式很好的解決了黑體輻射問題；薛定諤：建立薛定諤波動方程；海森堡：矩陣力學(xué)；泡利：泡利不相容原理?！就卣拱l(fā)散】了解一些量子力學(xué)發(fā)展過程中重要的實驗，比如戴維孫-革末(Davisson-Germer)實驗、斯特恩-格拉赫(Stern-Gerlach)實驗。占=堂39 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是-二，L為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)并給出能量簡并度：(1)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動； (2)轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動。武漢大學(xué)2015研【解題的思

19、路】對于定態(tài)問題，直接使用定態(tài)薛定諤方程，結(jié)合波函數(shù)滿足的性質(zhì)，就可以求解本征能量和波函數(shù)，根據(jù)本征值和波函數(shù)對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系就可以判斷簡并度的問 題?！痉治觥浚?）設(shè)固定軸沿z軸方向，選擇球坐標系，則體系的哈密頓算符為旨=是一H21 21 d 妒對應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為即m2 = 2IE/（h2）其中求解可得f（中）=Aeim中考慮到波函數(shù)的單值性，則f（中 + 2n）=f（中）即eim（牛+ 2n） =eim牛ei2mn = 1從而得到因此，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量Em = m2h2/(2I)(m = 0,1,2,.)利用歸一化條件得轉(zhuǎn)子體系的波函數(shù)為當m = 0時，能量非簡并；當m如時，+/-m對應(yīng)相同的能量，不同的波函數(shù)，則能量簡并度為2。(2)取固定點為坐標原點，轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為H=L2/(2I)由定態(tài)薛定諤方程可得L2Y(e,們