零件的參數(shù)設(shè)計模型

1、零件的參數(shù)設(shè)計模型指導(dǎo)教師：數(shù)學(xué)建模組秦國亮（控9501）房 偉（控9501）吳景鋒（熱9502）摘要：本文從多元函數(shù)的概率分布著眼,建立概率模型，解出了在題目給定的標(biāo)定值和容差等級下批量生產(chǎn) 1000個粒子分離器的總費用的數(shù)學(xué)期望約為313.4萬元。通過綜合考慮y偏離y0造成的質(zhì)量損失和零 件的成本，重新設(shè)計零件參數(shù)，使其總費用的期望降為42.3萬元與原設(shè)計比較總的費用降低了約86.5%0另外，本模型針對概率模型計算相當(dāng)復(fù)雜的缺點，充分利用Mathmatica數(shù)學(xué)軟件包的強大數(shù)學(xué)功 能，構(gòu)造正態(tài)函數(shù)隨機發(fā)生器，進行計算機模擬。本文針對.的標(biāo)定值分別進行20萬次的機算機模擬 I得：在題目給定的

2、標(biāo)定值和容差等級下批量生產(chǎn)的總費用的數(shù)學(xué)期望為313.1萬元；重新設(shè)計零件參數(shù)的一組標(biāo)定值和容差后批量生產(chǎn)的總費用的數(shù)學(xué)期望為42.3萬元。很顯然，計算機模擬的結(jié)果和概率模型解是一致的。經(jīng)計算機模擬，我們還發(fā)現(xiàn)使得費用降到40多萬的解不只一個，上面的結(jié)果可看作最優(yōu)結(jié)果的精 度較高的近似值。一、問題的引入該題是要通過解具體問題給出一般的參數(shù)設(shè)計方法。具體問題如下:經(jīng)驗公粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7個零件的參數(shù)（記作x，工，x）決定，1270.85式為：1.16(x -0.561 - 2.62 1 - 0.36 -4V - 7y的目標(biāo)值（記作*）為1.50o當(dāng)y偏離y0 土01，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量

3、損失為1,000 （元）； 當(dāng)y偏離y 土0.3時，產(chǎn)品為廢品，損失為9,000 （元）。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與標(biāo)定值 的相對值表示，A等為1%，B等為5%，C等為10%。7個零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范 圍及不同容差等級零件的成本（元）見表1（符號/表示無此等級零件）：現(xiàn)進行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1,000個。在原設(shè)計中，7個零件參數(shù)的標(biāo) 定值為：x = 01，x = 03，x = 01，x = 01，x = 15，x = 16，x = 075 ；容差均取最便宜的等.1234567級。要求綜合考慮y偏離y0造成的質(zhì)量損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括

4、標(biāo)定值 和容差），并與原設(shè)計比較，總費用降低了多少。表1標(biāo)定值容許范圍C等B等A等x10.075，0.375 /25/x20.225，0.375 2050/x30.075，0.125 2050200 x40.075，0.125 50100500 x51.125，1.875 50/x612，20 1025100 x70.5625，0.935 /25100二、問題分析與模型假設(shè)問題的分析進行零件參數(shù)設(shè)計，就是要確定它的標(biāo)定值和容差。標(biāo)定值就是樣品參數(shù)的期望。容差 則是參數(shù)偏離標(biāo)定值的允許范圍。容差越小，制造成本越高；容差大了，使由零件組成的 產(chǎn)品偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值的可能性增大，而產(chǎn)品偏離預(yù)先設(shè)定

5、的目標(biāo)值，就會造成質(zhì)量 的損失，偏離越大，損失越大。故進行參數(shù)的設(shè)計時要綜合考慮質(zhì)量損失和成本費用，使 得總費用最小。在實際問題中，許多隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響形成的，而每 一個個別因素在總的影響中作用都很微小，那么可以認為這種隨機變量實際上是服從正態(tài) 分布的。零件的參數(shù)就是這樣的隨機變量，零件的參數(shù)是服從正態(tài)分布的。問題的假設(shè)零件參數(shù)為相互獨立的隨機變量，服從正態(tài)分布,容差為3c . ( i = 1,，7)。 原問題中所給經(jīng)驗公式無系統(tǒng)偏差。|三、模型的建立1000個產(chǎn)品的總費用期望值：V=1000(V+V2)單個產(chǎn)品的成本費用：V亍歹0 (氣 表示氣的成本). i=1單

6、個產(chǎn)品的質(zhì)量損失費用的期望值：V2=1000P2+9000P3經(jīng)過仔細分析，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗公式是一個多元函數(shù)J = f (X，x，x ) = f (x)(x G R7)組成產(chǎn)品的零件參數(shù)之間是相互獨立的。為清楚記，隨機變量習(xí)慣上可改用相應(yīng)的大寫字 母，例如，上述表達式可寫為：Y = f(XX2. X= f(X)(X,，X 7)的邊緣密度函數(shù)分別為：p(x )，p(x )，p(x )，則其聯(lián)合密度函數(shù)7p(x) = p(x)p(x2)p(x )。正品、次品、廢品的概率分別為P =j . p(x )p(x ). p(x )dx dx dx .127127D(D=xlx e R,P =.p(x )p(

7、x ). p(x )dx dx dx127127D(D2=xlx e R7,P3 =.p(x )p(x ). p(x )dx dx dx1 一忙0）01 v| 心)罰3)7(D3=xlx e R,由此可建立如下模型：Min V=1000（V1+V2） St.= 17 ai i=1V2=1000P2+9000P3四、模型求解的初步思路（一）常規(guī)求解：常規(guī)求解所要解決的基本問題是如何計算以7重積分形式出現(xiàn)的P1，P2, P3,為此我們可 借用7重積分的基本思想進行近似計算，算法思路如下：1）分割由實際中常用的3 a原理，論域可由整個R 7縮小為-D=（x| x eR7, x ep - 3a ,日

8、+ 3a ,i = 1,2,.,7 i i i i i將0 - 3a，日+ 3a等分成n.等份，使得D分成n個小子域景，景，景，每ii iii12n個小子論域的七維體積為：Aa = 67涅2F7 （n=nn n）in1 近似代替當(dāng)Aa很小時，用該論域中心點的P（& ,&，& ） = P（& ）的值，作為小子域所有點處P（x） i1i 2i7ii的近似值。 求和7P1= Z p（&）Ab TOC o 1-5 h z i i肇D1P2= Z P（E）AbiiP3= /2p（E ）AbiiM cD根據(jù)以上的基本思想，對于給定標(biāo)定值和容差的參數(shù)，通過編制程序，即可計算產(chǎn)品的 總費用。（源程序見附頁）原

9、設(shè)計的正品率為：0.114次品率為：0.630廢品率為：0.256總費用為：313.4 （萬元）至于更深入地設(shè)計新的零件參數(shù)標(biāo)定值、容差及求解目標(biāo)函數(shù)的極小值問題，我們將在 后面討論。（二）計算機模擬求解：常規(guī)方法求解雖然直觀易懂，但實際上相當(dāng)麻煩，單確定P】，P2, P3就不是件容易的事。 事實上，我們在前面用常規(guī)方法編程計算原設(shè)計費用時，用133586機運行大約3小時相 當(dāng)費時。因此我們必須尋找特別便于在計算機上實現(xiàn)的快捷算法一正態(tài)分布隨機發(fā)生器模 擬法。由大數(shù)定率知，在相同條件下，當(dāng)實驗進行足夠多次后某一事件A發(fā)生的頻率將穩(wěn)定在 概率附近。如果我們能產(chǎn)生大量的滿足條件的y值，對Y進行統(tǒng)計

10、，統(tǒng)計所有正品，次品，廢品的數(shù)量，則正品的頻率就可以近似認為是正品的概率。同理可得次品 及廢品的概率，然后求解目標(biāo)函數(shù)。1、隨機發(fā)生器的構(gòu)造產(chǎn)品參數(shù)Y取決于零件參數(shù)X，而零件參數(shù)服從正態(tài)分布。要生成大量的y，首先必 須構(gòu)造正態(tài)隨機發(fā)生器。正態(tài)隨機法實質(zhì)上是一種可以按照某一確定的正態(tài)分布的密度函 數(shù)隨機產(chǎn)生一系列點的計算機程序。編制這一程序是相當(dāng)麻煩的。為了方便調(diào)用Mathmatica 軟件的程序包，我們考慮Mathmatica語言編程。隨機發(fā)生器的具體構(gòu)造見下文。2、Mathmatica編程的基本步驟：1）打開程序包packages/statisti調(diào)用正態(tài)分布函數(shù)NormalDistribu

11、tion四，b 2）用系統(tǒng)函數(shù)Random,構(gòu)造正態(tài)隨機發(fā)生器RandomNormalDistribution旦，b 3）隨機生成滿足經(jīng)驗公式的y。4）計算正品、次品、廢品的費用。具體的計算機實現(xiàn)問題見下文。五、計算機模擬的實現(xiàn)計算機模擬能有效地解決難以用數(shù)學(xué)公式表示的系統(tǒng)。本題雖然能用經(jīng)驗公式表示， 但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，雖然可以用解析的方法解決，但數(shù)學(xué)計算過于復(fù)雜，相反計算機模擬可以提供簡單可行的求解方法。零件參數(shù)是相互獨立的隨機變量，它們之間沒有任何影響，只是綜合影響產(chǎn)品參數(shù)y。 因此，我們可獨立地構(gòu)造和零件參數(shù)個數(shù)同樣多個的隨機正態(tài)發(fā)生器，正態(tài)隨機法的實質(zhì) 是可以按照某一確定的正態(tài)分布的密度函

12、數(shù)隨機地產(chǎn)生一系列點的計算機程序。 Mathematica的統(tǒng)計程序包恰好為我們提供了理想的產(chǎn)生正態(tài)隨機數(shù)的程序。計算機模擬的基本思想是利用正態(tài)分布隨機產(chǎn)生大量的滿足條件的隨機變量Y的值 （如產(chǎn)生50萬個甚至100萬個Y值），然后進行概率統(tǒng)計，計算Y的均值，正品、次品 及廢品的概率。為了生成Y的值，我們首先必須確定每一個X.的密度函數(shù)，結(jié)合在原設(shè)計中參數(shù)的 標(biāo)定值、容差3b，X.的密度函數(shù)就唯一地確定了。借助隨機數(shù)發(fā)生器，我們可以方便地 求出原設(shè)計參數(shù)的費用期望。計算機模擬方法：利用 Methematica軟件包中的 Random命令對7個零件參數(shù)所遵循的正態(tài)分布 （NormalDistrib

13、ution）分別產(chǎn)生隨機數(shù)，利用這些隨機數(shù)來估算參數(shù)Y的期望。（一）原設(shè)計參數(shù)下的總費用（1）下表列出了 X，X， X的有關(guān)數(shù)據(jù)1表5-1零件原設(shè)計參數(shù)值及有關(guān)數(shù)據(jù)零件（等級）容差標(biāo)定值目均方差bX1 ( B )5%i0.10.005/3X2 ( C )10%0.30.03/3X3 ( C )10%0.10.01/3X4 ( C )10%0.10.01/3X5 ( C )10%1.50.15/3X6( C )10%161.6/3X7 ( B )5%0.750.0375/3（2 ）用Mathematic的統(tǒng)計軟件包隨機每次產(chǎn)生10000個X （i=1,2,.7），循環(huán)該程序20次 后，隨機變量Y

14、就會得到20,0000個隨機值。最后，由源程序就可以得到原設(shè)計參數(shù)下的 總設(shè)計費用：V = 313.1（萬元）正品的概率： 0.115次品的概率：0.627廢品的概率：0.256（源程序見附頁）（3 ）結(jié)果分析將七、P2 、？3代入模型中的費用函數(shù)：成本費用：1000V=（25+20+20+50+50+10）X 1000 = 20 （萬元）次品損失：1000V21 = 1000 X 0.627 X 1000 = 62.7 （萬元）廢品損失：1000V22 = 9000X0.256X1000 = 230.4 （萬元）Vzf總費用： V = 1000 （V1+V2）= 313.1 （萬元）另外，進

15、行多次模擬，隨機產(chǎn)生不同的Y值。當(dāng)隨機數(shù)產(chǎn)生足夠多時(如20萬個)， 總費用在314.9078處基本達到穩(wěn)定。(二)零件參數(shù)的重新設(shè)計在上面的分析中，我們已經(jīng)知道如果按原來的參數(shù)設(shè)計進行生產(chǎn)，則產(chǎn)品中：出現(xiàn)正品的概率：P1= 0.11585 .( 10% )出現(xiàn)次品的概率：P2= 0.62739 ;( 60% )出現(xiàn)廢品的概率：P3= 0.256755 ; ( 25% )這種情況在生產(chǎn)過程中，一般是不允許的(特別應(yīng)注意：廢品質(zhì)量損失過大)，因此必須 重新設(shè)計零件的參數(shù)。(1 )參數(shù)設(shè)計的原則、方法：我們設(shè)計零件參數(shù)，要使總的費用盡量少，要達到這一目的，可從兩方面進行改進：零件參數(shù)的標(biāo)定值盡量能

16、使產(chǎn)品參數(shù)y等于標(biāo)定值y0 ;對參數(shù)變化對Y值影響較大的零件，容差采用較高的等級，但是又要考慮成本費用的 大小。X7)，零件參數(shù)的標(biāo)定值必須滿足:Miny - 15x e0.075，0125， 1X e 0.075，0125，x4 e 05625，0.935X2X5先考慮第一個方面，可以通過一個表達式來反映 已知：y = f (X，X，e 0.225，0.375，x e 0.075，0125； e1.125，1.875，x Z12，20；顯然，這是一個非線性極值問題，可以運用數(shù)學(xué)軟件Gino來解決。程序運行后，輸出下面的一組結(jié)果：(表中的Reduced Cost表示當(dāng)只改變一個變量時，Y的減小

17、率)表5-2Xi的取值Reduced CostX1=0.08124622.709143X5=1.2504351.199572X3=0.12328210.241061X2=0.3746153.409073X4=0.125-2.707599X6=12.0019300.062490X7=0.935000-0.702007表中的數(shù)據(jù)表明，當(dāng)零件參數(shù)取上面的值時，在參數(shù)Xi (i=1,2,7)中，X的影響最大，其 次是 x3, x2, x4，X5，x7, X6。|實際上，在X1 , X2Xn的定義域中，存在許多組結(jié)果都能使Min|y -15| Q 0,因此必須 從這許多組解中，找到一組最優(yōu)的解來作為標(biāo)定

18、值。最優(yōu)解應(yīng)該使B =（*）2+（筍）2 + +（筍）2的值最小。oxOxOx127同樣，也可以計算出：當(dāng)X1 , X2 X7取上表中的值時，B的值也最小，B=25.32。 所以，改進后零件參數(shù)的標(biāo)定值應(yīng)為：XXXXXX二0.0812460.3746150.1232820.1251.25043512.0019300.935000當(dāng)用上述值設(shè)計零件參數(shù)的標(biāo)定值時，y與其目標(biāo)值已相差很小，然后再確定各零件參 數(shù)容差的等級。容差越小，成本越高。由表中的數(shù)據(jù)可以觀察到：對于X1 : C A，成本費用將增加1000（20020）=180000 （元）C B，成本費用將增加1000（5020）=30000

19、 （元）兩者相比較，如果X1采用A級將會使總費用劇烈增加，所以應(yīng)該采用等級B或C。對于X6： C A，成本費用增加9萬元，CB，成本費用增加1.5萬元，綜合考慮后，X6可以采用C等級或B等級。這樣，將零件按照可能的等級進行組合，可 得到：1X2X2X1X1X2X1 = 8 （種）組合方式。列表如5-3，并通過計算機模擬計算其總費用。表5-3等級X1=0.081246BBBBBBBBX2=0.374615CCCCBBBBX；=0.123292CCCBBBCBX：=0.125CCCCCCCCX5=1.250435CCCCCCCCx6=12.00193CBBCCBBBx7=0.935BBABBBBA

20、總費用（萬元）48.05474745.942.942.348.561.2經(jīng)過上面的分析可知，在設(shè)計的標(biāo)定值下，當(dāng)采用下面的等級:表5-4xxxxxxx等級1B2B3B4C5C6B7B通過上述分析和求解，就可以確定重新設(shè)計零件的參數(shù)。采用這種設(shè)計方法總費用為 42.3萬元，而實際上，總費用應(yīng)該在42.3萬元左右波動，這樣總的費用比原來降低了 271.58 萬元（三）零件參數(shù)確定的一般方法步驟1、明確產(chǎn)品的目標(biāo)值及產(chǎn)生質(zhì)量損失的系數(shù)2、考慮實際情況確定零件參數(shù)標(biāo)定值的允許范圍3、結(jié)合實際生產(chǎn)條件估算零件進行不同精度加工時的費用4、確定零件參數(shù)的標(biāo)定值（原則是在參數(shù)的標(biāo)定值滿足產(chǎn)品的標(biāo)定值等于目標(biāo)值的前提 下各零件參數(shù)偏導(dǎo)平方和盡可能的?。?、確定零件的容差（對產(chǎn)品零件較少的可用全面搜所法，對于產(chǎn)品零件較多采用動態(tài)規(guī) 劃。）6、進行費用的驗算（用計算機仿真程序，隨機的生產(chǎn)一批產(chǎn)品，計算生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總 費用）。六、模型的推廣與應(yīng)用本模型利用概率