數(shù)學(xué)相關(guān)高等數(shù)學(xué)舊版課件7

1、第九節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、多元函數(shù)最值三、條件極值實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的每瓶賣 元，則每天可賣出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值播放1、二元函數(shù)極值的定義例1例例zxyoxyzoxyzo2、多元函數(shù)取得極值的條件證 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意

2、：解求最值的一般方法： 將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值最值問題(1) 一般問題較復(fù)雜為有界閉區(qū)域在上連續(xù)求在上的最大值和最小值。假定內(nèi)只有有限個(gè)駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)在解法：求出在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值：求出的邊界上的最大值和最小值：通過比較，得到在在上的最大值和最小值。(2) 實(shí)際問題根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)，可知函數(shù)的最值(最大值或最小值)一定在D 的內(nèi)部取到，而函數(shù)在D 內(nèi)又只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么，可以斷定函數(shù)在該駐點(diǎn)處的值就是函

3、數(shù)在 D 上的最值(最大值或最小值).較簡單解如圖,解由無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.實(shí)例： 小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買 張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果問題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極值求條件極值的方法 (1)將條件極值化為無條件極值 有時(shí)可以把條件極值問題化為無條件極值問題. 這就把求條件極值問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題. 方法：從約束條件中求出隱函數(shù)，把求得的隱函數(shù) 代入目

4、標(biāo)函數(shù) (2)用拉格朗日乘數(shù)法 在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值, 需要用一種求條件極值的專用方法, 這就是拉格朗日乘數(shù)法. 拉格朗日乘數(shù)法 1、 要找函數(shù)zf(x, y)在附加條件j(x, y)0下的可能極值點(diǎn),可以先作輔助函數(shù)： F(x, y)f(x, y)lj(x, y), (拉格朗日函數(shù)) 其中l(wèi)為某一常數(shù)(拉格朗日乘子). 4、對于所求得的可能的極值點(diǎn),用極值判別法判定， 在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定. 2、對輔助函數(shù)分別關(guān)于 求偏導(dǎo)數(shù)，得到方程組： 3、解方程組，得駐點(diǎn)。 （方程組的解(x, y)就是所要求的可能的極值點(diǎn),） 函數(shù)的最大值、最小值問題1、若最大值或最小值在D的內(nèi)部取到，在最值點(diǎn)必為駐點(diǎn)， 也必為D的內(nèi)點(diǎn)，所以，首先求 的駐點(diǎn)。 設(shè)二元函數(shù) 在區(qū)域D上連續(xù)，則一定可取到最大值M和最小值m. 極值點(diǎn)在D的內(nèi)部或邊界上。2、若最大值或最小值在D的邊界上取到，則應(yīng)把邊界方程作為 約束條件，用拉格朗日乘子法，求出 的駐點(diǎn)。 3、計(jì)算所有駐點(diǎn)的函數(shù)值，加以比較，找出最大值或最小值解則解可得即多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結(jié)思考題思考題解答練 習(xí) 題練習(xí)題答案二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極