2021-2022學(xué)年高一下宏志班數(shù)學(xué)暑假作業(yè)2

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁試卷第 =page 5 5頁，共 =sectionpages 5 5頁2021-2022學(xué)年高一下宏志班數(shù)學(xué)暑假作業(yè)學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1設(shè)，則（）ABC1D2已知等邊的邊長為，若，則（）ABCD3如圖，等邊三角形中，為邊的中點，于將沿翻折至的位置，連結(jié)那么在翻折過程中：總有成立；存在某個位置，使；在線段上，存在異于兩端點的點，使線段的長度始終保持不變其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD以上選項都不對4記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）ABCD5意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的算盤全書中提出了一個關(guān)于兔子繁殖的

2、問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前2021項中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）ABCD6某小區(qū)從1000戶居民中隨機(jī)抽取100戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50350kWh之間，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示則下列論述正確的是（）A直方圖中x的值為0.0020B該小區(qū)用電量不小于25

3、0kWh的一定有180戶C估計該小區(qū)居民月用電量的眾數(shù)為225D估計該小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)為262.57已知平行四邊形ABCD中，.N為平面ABCD內(nèi)一點，若，則（）A28B14C12D68在圓：的圓周上及內(nèi)部所有的整點（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）中任意取兩個點，則這兩個點在坐標(biāo)軸上的概率為（）ABCD9中國古代數(shù)學(xué)專著算法統(tǒng)宗中有這樣的記載：毛詩春秋周易書，九十四冊共無余，毛詩一冊三人讀，春秋一冊四人呼，周易五人讀一本.意思為：現(xiàn)有毛詩、春秋、周易種書共冊，若干人讀這些書，要求每個人都要讀到這種書，若人共讀一本毛詩，人共讀一本春秋，人共讀一本周易，則剛好沒有剩余.現(xiàn)要用分層抽樣的

4、方法從中抽取冊，則要從毛詩中抽取的冊數(shù)為（）ABCD10在正三棱柱中，為的中點，則異面直線和夾角的余弦值為（）ABCD11已知直線a，b，平面，則下列命題中正確的是（）A，則B，則C，則Da與b互為異面直線，則12張衡是中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，底面，且，利用張衡的結(jié)論可得球的表面積為（）A30BCD二、填空題13若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則_14若一個圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為_15化簡：_.三、雙空題16如圖，A，B是C上兩點，若弦AB的長度為2，則_，若向量在向量上的投影

5、向量為，則與的夾角為_四、解答題17已知，為不共線的單位向量，且與共線(1)求的值；(2)若，分別求和的坐標(biāo)18如圖，由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴壹?、乙能否正常工作互不影響設(shè)事件A“甲元件正?！保珺“乙元件正?！?1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件，并說明它們的含義及關(guān)系；(3)某同學(xué)求得，請判斷該同學(xué)所得概率是否一定正確？并依據(jù)你的判斷給出理由19在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知，(1)求ABC外接圓半徑；(2)求ABC的面積的最大值20已知在正三棱柱中，E是棱的中點(1)設(shè)，求三棱錐的體積；(2)若把平面與

6、平面所成的銳二面角為60時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由21如圖，三棱錐中，兩兩垂直，分別是，的中點，的面積為，四棱錐的體積為.（1）若平面平面，求證：；（2）求三棱錐的表面積.22某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中的值；(2)估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；(3)估計全校睡眠時間超過個小時的學(xué)生人數(shù).答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages

7、2 2頁答案第 = page 14 14頁，共 = sectionpages 14 14頁參考答案：1B【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的運算求出，再求模長即可.【詳解】，則.故選：B.2C【解析】【分析】由可知，根據(jù)，由向量數(shù)量積的定義和運算律可求得結(jié)果.【詳解】，為線段上靠近點的四等分點，則，.故選：C.3B【解析】【分析】證明平面可判斷；假設(shè)推出與題干矛盾可判斷；取靠近的三等分點，則可證，從而判斷【詳解】解：，又平面，故正確；假設(shè)存在某個位置，使得，連接，則，.故平面，又由（1）知，平面，顯然這是不可能的，故假設(shè)錯誤，故錯誤；存在點，滿足，取的中點，連接，易得，設(shè)底面三角形的邊長為，則，平面，故

8、平面，故是直角三角形，故正確故選：B. 【點睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理進(jìn)行證明.4D【解析】【分析】利用正弦定理邊化角可求得，進(jìn)而得到，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得：，則，由余弦定理得：，解得：.故選：D.5B【解析】【分析】由斐波那契數(shù)列中偶數(shù)出現(xiàn)的周期性求前2021項中偶數(shù)的個數(shù)，再由古典概型概率求法求概率即可.【詳解】由題設(shè)，斐波那契數(shù)列從第一項開始，每三項的最后一項為偶數(shù)，而，前2021項中有個偶數(shù)，故從該數(shù)列的前

9、2021項中隨機(jī)地抽取一個數(shù)為偶數(shù)的概率為.故選：B6D【解析】【分析】對A，根據(jù)頻率分布直方圖的面積為1計算即可；對B，根據(jù)抽樣與總體之間的關(guān)系判斷即可；對C，根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)判斷即可；對D，根據(jù)85%分位數(shù)左邊的面積為計算即可【詳解】對A，故，解得，故A錯誤；對B，因為樣本只能估計總體的情況，不能完全確定總體的情況，故B錯誤；對C，估計該小區(qū)居民月用電量的眾數(shù)為，故C錯誤；對D，因為，故估計該小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在，設(shè)為，則，解得，故D正確；故選：D7B【解析】【分析】根據(jù)題意及向量的運算法則，以及平面向量的數(shù)量積的定義，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點為，連

10、接，因為，所以，又因為，可得，所以.故選：B.8D【解析】【分析】依題意畫出圖象，即可得到整點的個數(shù)，其中有個點在坐標(biāo)軸上，記為、，另外兩個記為、，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意圓：如下圖所示：可知整點有、共個，其中有個點在坐標(biāo)軸上，記為、，另外兩個記為、，從5個點中任取2個包括的基本事件為、共10個，兩個點都在坐標(biāo)軸上包含、共3個基本事件，所以兩個點都在坐標(biāo)軸上的概率；故選：D9D【解析】【分析】設(shè)毛詩有冊，春秋有冊，周易有冊，學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這四個未知數(shù)的值，再利用分層抽樣可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)毛詩有冊，春

11、秋有冊，周易有冊，學(xué)生人數(shù)為，則，解得，因此，用分層抽樣的方法從中抽取冊，則要從毛詩中抽取的冊數(shù)為.故選：D.10A【解析】【分析】延長至點，使，延長至，使，取的中點，連接，易證，再分別求出長度，利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，延長至點，使，延長至，使，取的中點，連接，根據(jù)題意得：，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為異面直線和的夾角或其補(bǔ)角，易得，所以故選：A.11D【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】A選項中，只有直線a與兩平面的交線垂直的時候結(jié)論才成立；B選項中，還有可能；C選項中，兩直線a，b平行或異面；D選項中，過直線a上一點做，

12、則相交直線a，確定一個平面，設(shè)為，易得且，所以；故選：D12D【解析】【分析】由，底面，將三棱錐放在長方體中，求出外接球的半徑以及圓周率的值，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示：因為，底面，所以將三棱錐放在長、寬、高分別為的長方體中，三棱錐的外接球即為該長方體的外接球，外接球的直徑，利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球的表面積為.故選：D.132【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘、除運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，由題意得，且，解得，所以故答案為：214#【解析】【分析】由側(cè)面積是底面積的倍求母線長，進(jìn)而可以得高，然后可得體積.【詳解】因為側(cè)面積是底面積的倍，所以，所以，因此高為，所以

13、圓錐的體積為.故答案為：15【解析】【分析】將原式切化弦，進(jìn)而通分并結(jié)合倍角公式化簡，然后再利用兩角和與差的正弦公式化簡，最后求得答案.【詳解】原式.故答案為：.16 2 #【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的公式求解即可；（2）根據(jù)投影向量的公式求解即可【詳解】（1）；（2）由題意，故，故，又，故，即，解得，故，所以17(1)(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】【分析】（1）由向量共線定理和平面向量基本定理可得；（2）設(shè)坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)表示出坐標(biāo)，再由，為單位向量列方程組可解.(1)設(shè)，則，得，解得(2)設(shè)，因為，所以，得，解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，18(1)(2)答案見解析(3)不一定正確，理由見解析；

14、【解析】【分析】（1）用表示元件正常，表示元件失效，即可列出樣本空間；（2）由（1）可得，即可判斷其一一，再根據(jù)對立事件的概念判斷即可；（3）舉出合適的反例即可；(1)解：用表示元件正常，表示元件失效，則樣本空間(2)解：，表示電路正常工作，表示電路工作不正常，所以和互為對立事件；(3)解：不一定正確，當(dāng)時，則；19(1)3(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理可知，再根據(jù)余弦定理即可求出，再根據(jù)同角基本關(guān)系和正弦定理，即可求出結(jié)果；（2）由（1），對使用基本不等式，可得，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.(1)解：由，得由正弦定理得，由余弦定理得，所以設(shè)ABC外接圓半徑為R，則，所以ABC外接圓半徑為3

15、(2)解：因為，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，等號成立，所以，所以，所以ABC的面積的最大值20(1)(2)此三棱柱不是“黃金棱柱”，理由見解析.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)平面，再根據(jù)求解即可.（2）延長交的延長線于點，連接，根據(jù)題意得到為平面與平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.(1)取的中點，連接，如圖所示：因為，為中點，所以.又因為平面，平面，所以.又因為，所以平面.又因為，平面，平面，所以平面，所以(2)延長交的延長線于點，連接，如圖所示：因為，是棱的中點，所以是的中點.所以，即.因為平面，平面，所以.又因為，所以平面.又平面，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，因為正三棱柱中，所以，即此三棱柱不是“黃金棱柱”.21（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由中位線性質(zhì)得到，則可證得平面，由線面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直的判定可知是四棱錐的高，根據(jù)長度和垂直關(guān)系依次求得各個面的面積，加和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：，分別是，的中點，平面，平面，平面.又平面平面，平面，.（2）解：，兩兩垂直，平面，平面，即是四棱錐的高.，.，分別是，的中點，即.，.的面積為.三棱錐的表面積.22(1)樣本中高一年級學(xué)生的