復變函數(shù)與積分變換第1章

1、復變函數(shù)與積分變換Complex Analysis and Integral Transform教材： 復變函數(shù)與積分變換主要參考書: 復變函數(shù)， 西安交大（第四版） .一、復變函數(shù) 我們以復數(shù)為自變量的函數(shù)復變函數(shù)，研究其在復數(shù)域上的微積分，并以解析函數(shù)為中心內容。學習方法：要善于同實變函數(shù)進行比較、區(qū)別，特別要注意復變函數(shù)特有的那些性質與結果。 1. 復數(shù)的概念及運算 2. 復數(shù)的表示方法Ch1 復數(shù)和復平面1 復 數(shù) 1. 在十六世紀中葉，時引進了復數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為 。在當時，包括他自己在內，誰也弄不清這樣表示有什么好處。事實上，復數(shù)被Cardan

2、o引入后，在很長一段時間內不被人的研究結果，復數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式, 背景介紹2. 直到十七與十八世紀，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程們所理睬，并被認為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系。，揭示了Gauss (德國1777-1855)與Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義復數(shù) 為一對有序數(shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的長久疑慮，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。3. (法國.1768-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示，以及 （1）復數(shù) 形如 ，其中x和y是實數(shù)，i是

3、虛單位( ), 稱為復數(shù)。其中x和y分別稱為復數(shù)z的實部和虛部，分別記作： 兩個復數(shù)相等是指它們的實部與虛部分別相等。 如果Imz=0，則z可以看成一個實數(shù)； 如果Imz不等于零，那么稱z為一個虛數(shù)； 如果Imz不等于零，而Rez=0，則稱z為一個純虛數(shù)。1. 復數(shù)的概念及運算(2)復數(shù)的四則運算 復數(shù)在四則運算這個代數(shù)結構下，構成一個復數(shù)域 (對加、減、乘、除運算封閉），記為C，復數(shù)域可以看成實數(shù)域的擴張。相當于代數(shù)中的多項運算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積、商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2

4、)+i(x2y1+x1y2)定義 若z=x+iy , 稱z=x-iy 為z 的共軛復數(shù).(conjugate)共軛復數(shù)的性質（3）共軛復數(shù) （1）點的表示 （2）向量表示法 （3）三角表示法 （4）指數(shù)表示法2 復數(shù)的表示方法（1） 點的表示點的表示： 數(shù)z與點z同義.（2） 向量表示法oxy(z)P(x,y)xy 稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸 為始邊, 以 為終邊的角的弧度數(shù) 稱為復數(shù)z=x+iy的輻角.(z0時) z=0時，輻角不確定。 輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，把其中滿足 的0稱為輻角Argz的主值，記作0=argz。 計算argz(z0) 的公式

5、 當z落于一,四象限時，不變。 當z落于第二象限時，加 。 當z落于第三象限時，減 。 oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知(3). 三角表示法(4). 指數(shù)表示法注意. 復數(shù)的各種表示法可以相互轉化,以適應 不同問題的需要. (1) 復數(shù)三角表示的乘積與商 （2）復數(shù)的乘冪 （3）復數(shù)的方根3 復數(shù)的乘冪與方根定理1 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模相乘， 兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明 設 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2)

6、= r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘積與商的幾何意義因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義 將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度 Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。 定理1可推廣到n 個復數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.定理2 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的輻角之差。證明 Argz=Argz2-Argz1 即：由復數(shù)除法的定義 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg

7、 z2（ z10）設z=re i，由復數(shù)的乘法定理和數(shù)學歸納法可證明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。乘冪定義 n個相同的復數(shù)z 的乘積，稱為z 的n次冪， 記作z n，即z n=zzz（共n個）。特別：當|z|=1時，即：zn=cosn+isin n，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛(De Moivre)公式。問題 給定復數(shù)z=re i ，求所有的滿足n=z 的 復數(shù)。方根（開方）乘方的逆運算 當z0時，有n個不同的值與 相對應，每一個這樣的值都稱為z 的n次方根， 當k=0，1，n-1時，可得n個不同的根， 而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復

8、出現(xiàn)。幾何上， 的n個值是以原點為中心， 為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo練習：求下列復數(shù)的模與輻角主值（1） （2） （3） （4） 解（2）（3）(4) 2. 簡單曲線（或Jordan曲線) 3. 單連通域與多連通域2 復平面點集1. 平面點集鄰域復平面上以 z 0為中心，任意 0為半徑的圓 | z -z 0|(或 0 | z z 0| 0, 對任意 z D, 均有|z|R，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域 區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域,(1) 圓環(huán)域:(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶形域:2. 簡單曲線（或Jordan曲線)令z(t

9、)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：z=z(t)， atb有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線。重點 設連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于t1(a，b), t2 a, b,當t1t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。 定義 稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或 Jordan曲線;若簡單曲線C 滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線3. 單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質 任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復平面唯一地分成三個互不相

10、交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部外部邊界定義 復平面上的一個區(qū)域 D ，如果D內的任何簡單閉曲線的內部總在D內，就稱 D為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如 |z|0）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域例 求過復平面C上不同兩點a,b的直線表示式。解二、復球面1. 南極、北極的定義NSPyzZx 球面上的點, 除去北極 N 外, 與復平面內的點之間存在著一一對應的關系. 我們可以用球面上的點來表示復數(shù). 球面上的每一個點都有唯一的復數(shù)與之對應, 這樣的球面稱為復球面.2. 復球面的定義我們規(guī)定: 復數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應, 記作 . 因而球面上的