太原市初中數(shù)學(xué)奧林匹克中的幾何問(wèn)題：第1章梅涅勞斯定理及應(yīng)用

1、第一章涅勞斯定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若，三點(diǎn)共線，則證明 如圖，過(guò)作直線交的延長(zhǎng)線于，則，故注 此定理的證明還有如下正弦定理證法及面積證法正弦定理證法 設(shè)，在中，有，同理，此三式相乘即證面積證法 由，此三式相乘即證梅涅勞斯定理的逆定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若，則，三點(diǎn)共線證明 設(shè)直線交于，則由梅涅勞斯定理，得到由題設(shè)，有，即有又由合比定理，知，故有，從而與重合，即，三點(diǎn)共線有時(shí)，也把上述兩個(gè)定理合寫(xiě)為：設(shè)，分別是的三邊，所在直線（包括三邊的延長(zhǎng)線）上的點(diǎn)，則，三點(diǎn)共線的充要條件是上述與式是針對(duì)而言的，如圖（整個(gè)圖中有4個(gè)三角形），

2、對(duì)于、也有下述形式的充要條件：；第一角元形式的梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，所在直線（包括三邊的延長(zhǎng)線）上的點(diǎn)，則，共線的充分必要條件是證明 如圖，可得同理，以上三式相乘，運(yùn)用梅涅勞斯定理及其逆定理，知結(jié)論成立第二角元形式的梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，所在直線上的點(diǎn)，點(diǎn)不在三邊所在直線上，則，三點(diǎn)共線的充要條件是證明 如圖，由，有同理，于是故由梅涅勞斯定理知，共線從而定理獲證注 （1）對(duì)于、式也有類似式（整個(gè)圖中有4個(gè)三角形）的結(jié)論（2）于在上述各定理中，若采用有向線段或有向角，則、式中的右端均為，、式中的角也可以按或式中的對(duì)應(yīng)線段記憶特別要注意的是三邊所在直線上的點(diǎn)為一點(diǎn)或者三點(diǎn)在邊的

3、延長(zhǎng)線上【典型例題與基本方法】1恰當(dāng)?shù)剡x擇三角形及其截線（或作出截線），是應(yīng)用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵例1 如圖，在四邊形中，的面積比是341，點(diǎn)，分別在，上，滿足，并且，共線求證：與分別是和的中點(diǎn)（1983年全國(guó)高中聯(lián)賽題）證明 設(shè)（），交于，又因，三點(diǎn)共線，可視為的截線，故由梅涅勞斯定理，得，即化簡(jiǎn)整理，得 ，解得，（舍去）故與分別是和的中點(diǎn)例2 如圖1-5，在四邊形中，對(duì)角線平分，在上取一點(diǎn)，與相交于，延長(zhǎng)交于求證：（1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題）證明 記，直線與相截，由梅涅勞斯定理，有故 即 ，亦即 ，且只可能為0，故 例3 設(shè)、分別為四邊形的邊、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)若，則證明 如圖1-6，只需證得

4、當(dāng)關(guān)于的等角線交于時(shí)，、共線即可事實(shí)上，、分別為三邊所在直線上的三點(diǎn)，且不在其三邊所在直線上又，由第二角元形式的梅涅勞斯定理，有故、三點(diǎn)共線注 當(dāng)平分時(shí)，即為1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題2梅涅勞斯定理的逆用（逆定理的應(yīng)用）與迭用，是靈活應(yīng)用梅氏定理的一種方法例2另證 如圖1-5，設(shè)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為，易知，三點(diǎn)共線，連，只須證明，三點(diǎn)共線設(shè)，則對(duì)，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點(diǎn)共線故注 在圖1-5中，*式也可為，若在的延長(zhǎng)上，則*式為例4 如圖1-7，與和的三邊所在的3條直線都相切，為切點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)求證：（1996年全國(guó)高中聯(lián)賽題）證法1 過(guò)作于，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，

5、有由，有顯然，三點(diǎn)共線，連，則由，有，從而 ，即又，則對(duì)，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點(diǎn)共線，即為直線與的交點(diǎn)故點(diǎn)與點(diǎn)重合，從而證法2 延長(zhǎng)交于，直線與的三邊延長(zhǎng)線都相交，直線與的三邊延長(zhǎng)線都相交，分別應(yīng)用（迭用）梅涅勞斯定理，有，上述兩式相除，則有而，于是，即連，而，共線，則，且，從而，于是故，即【解題思維策略分析】梅涅勞斯定理是三角形幾何學(xué)中的一顆明珠，它蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)美，因而它在求解某些平面幾何問(wèn)題，特別是某些平面幾何競(jìng)賽題中有著重要的應(yīng)用1尋求線段倍分的一座橋梁例5 已知的重心為，是邊的中點(diǎn)，過(guò)作邊的平行線交邊于，交邊于，且與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)證明：（1991年第3屆亞太地區(qū)競(jìng)賽題

6、）證明 如圖1-8，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)由，知，而對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，故從而，且同理，且由此可知，與的兩邊分別平行且方向相反，從而，且，故例6 是一個(gè)等腰三角形，是的中點(diǎn)；是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，使得；是線段上不同于和的任意一點(diǎn)，在直線上，在直線上，使得，是不同的和共線的，求證：（）若，則；（）若，則（1994年第35屆試題）證明 （1）如圖1-9，連，由，易證，四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓則 ，因此故（）由，對(duì)及截線運(yùn)用梅涅勞斯定理，有，即于是可證，得，故例7 在凸四邊形的邊和上取點(diǎn)和，使線段和把對(duì)角線三等分，已知，求證：是平行四邊形（1990年第16屆全俄競(jìng)賽題）證明 如圖1-10，設(shè)，分別

7、交于，兩對(duì)角線交于要證是平行四邊形，若證得（或），且即可由，（等底等高），知，而，故有，從而有對(duì)及截線，及截線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，由，兩式相除得而，故，即有此時(shí)，又有又由，知，于是式可寫(xiě)為，即有，亦即故為平行四邊形2導(dǎo)出線段比例式的重要途徑例8 在中，為邊上的中線，為的平分線，且交于，為上的點(diǎn)，使證明（1997年第58屆莫斯科競(jìng)賽題）證明 如圖1-11，延長(zhǎng)交于，只須證由平分，有由，有注意到，對(duì)及截線運(yùn)用梅涅勞斯定理，得故，由合比定理，有，即為 由，式有，故例9 給定銳角，在邊上取點(diǎn)，（位于與之間），在邊上取點(diǎn)，（位于與之間），在邊上取點(diǎn)，（位于與之間），使得 ，直線，與可構(gòu)成一個(gè)三角

8、形，直線，與可構(gòu)成另一個(gè)三角形證明：這兩個(gè)三角形的六個(gè)頂點(diǎn)共圓（1995年第36屆1MO預(yù)選題）證明 如圖1-12，設(shè)題中所述兩個(gè)三角形分別為與由已知條件，有，得 ，此三式相乘得對(duì)及截線，及截線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，得， ，三式相乘化簡(jiǎn)，得故同理，故從而點(diǎn)在的外接圓上同理，可證得，也在的外接圓上證畢例10 如圖1-13，以的底邊為直徑作半圓，分別與邊，交于點(diǎn)和，分別過(guò)點(diǎn)，作的垂線，垂足依次為，線段和交于點(diǎn)求證：（-37中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔賽題）證法1 設(shè)直線與交于，連，則知，直線與相截，直線與相截，迭用梅涅勞斯定理，有，兩式相除，得 在與中，有，即將其代入式，得又由，有 將其代入式，得 ，從而，而

9、，則，故證法2 作高，連，則，于是， ， 又， ，即，故對(duì)應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點(diǎn)共線由，知例11 如圖1-14，設(shè)點(diǎn)，分別為銳角的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)已知射線交邊于點(diǎn)（），射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與相交于，為的外心試證：，三點(diǎn)共線的充分必要條件是和的面積相等（-2003試題）分析 首先證，三點(diǎn)共線設(shè)為的外心，連，則又，因此，四點(diǎn)共圓在的外接圓上與重合，三點(diǎn)共線其次，再證并在三角函數(shù)式中，用、分別表示三內(nèi)角證法1 設(shè)的外接圓半徑為，的延長(zhǎng)線交于，對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 注意到 ，則 而 ，由式，有從而 又對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有注意到，有，即從而 由，注意，且為

10、銳角證法2 如圖1-14，設(shè)直線交于，直線交的延長(zhǎng)線于對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有又由及角平分線性質(zhì)，即有令，則由式，有，即而，則又，（由題設(shè)知）從而 對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有將式代入上式，得， 同理 由，注意， 注 例11還有其他證法，可參見(jiàn)筆者另文關(guān)于2003年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克第一題（中等數(shù)學(xué)2003年第6期）例12 如圖1-15，凸四邊形的一組對(duì)邊與的延長(zhǎng)線交于，且，過(guò)作截線交另一組對(duì)邊所在直線于，交對(duì)角線所在直線于，求工業(yè)化：證法1 如圖1-15，對(duì)及直線由梅涅勞斯定理得對(duì)及直線由梅涅勞斯定理得對(duì)及直線由梅涅勞斯定理得由得，所以，所以，故證法2 設(shè)與的延長(zhǎng)線相交于和均被直線所截

11、，迭用梅涅勞斯定理，有，由，得注意到 （直線上的托勒密定理），則式變?yōu)?又由截和截，迭用梅涅勞斯定理，有，將此結(jié)果代入式整理，即得欲證結(jié)論注 當(dāng)，式顯然成立，故仍有結(jié)論成立此題是二次曲線蝴蝶定理的推論3論證點(diǎn)共直線的重要方法例13 如圖1-16，的內(nèi)切圓分別切三邊，于點(diǎn)，點(diǎn)是的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，的內(nèi)切圓也在點(diǎn)處與邊相切，并與，分別相切于點(diǎn)，證明：是圓內(nèi)接四邊形（1995年第36屆預(yù)選題）證明 由切線長(zhǎng)定理，知，設(shè)的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于，對(duì)及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有對(duì)應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點(diǎn)共線，故由切割線定理有，以而，即是圓內(nèi)接四邊形例14 如圖1-17，中，內(nèi)的旁切圓切的兩邊于和，直線與

12、交于；類似地定義，和，求證：，三點(diǎn)共線證明 由切線長(zhǎng)定理，知，對(duì)與直線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，上述三式相乘，有設(shè)切于，切于，則由，可得同理又由兩內(nèi)公切線長(zhǎng)相等，即，故同理，從而 ，故對(duì)用梅涅勞斯的逆定理，知，三點(diǎn)共直線例15 如圖1-18，設(shè)的三邊，所在的直線上的點(diǎn)，共線，并且直線，關(guān)于，平分線的對(duì)稱直線，分別與，所在直線交于，則，也共線證明 對(duì)及截線應(yīng)用第一角元形式的梅涅勞斯定理，有由題設(shè)知，從而有，即故由第一角元形式的梅涅勞斯定理，知，共線例16 在箏形中，過(guò)上的一點(diǎn)作一條直線分別交、于、，再過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交、于、設(shè)與分別與交于、，求證：證明 如圖1-19，過(guò)作的平行線交直線于，再

13、過(guò)作的平行線交直線于，則，進(jìn)而所以 又、分別為三邊所在直線上的點(diǎn)，且點(diǎn)不在三邊所在的直線上由第二角元形式的梅涅勞斯定理的逆定理知、共線于是，由，有因此，故注 當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，即為1989年12月冬令營(yíng)選拔賽試題例17 如圖1-20，四邊形內(nèi)接于圓，其邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)作該圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：，三點(diǎn)共線（1997年試題）證明 設(shè)圓心為，連交于，連，則由切割線定理和射影定理，有，從而，四點(diǎn)共圓，即有，亦即為的內(nèi)角的外角平分線又，則平分設(shè)分別交，于，于是同理，于是，所以，直線與的三邊延長(zhǎng)線相交，由梅涅勞斯定理，有對(duì)應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點(diǎn)共線所以，三點(diǎn)共線注

14、 此例的其他證法，可參見(jiàn)第二章例9，第九章例15等例18 已知的內(nèi)切圓分別切、于點(diǎn)、，線段、分別與該內(nèi)切圓交于點(diǎn)、，若直線與交于圓外一點(diǎn)證明、三點(diǎn)共線（2011年香港奧林匹克題）證明 如圖1-21，由切線長(zhǎng)定理有對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，即有 設(shè)與交于點(diǎn)，由，有，又對(duì)及所在邊上的點(diǎn)、，有于是，由梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點(diǎn)共線4注意與其他著名定理配合運(yùn)用例19 在中，已知，是處接圓的圓心，直線、分別切于點(diǎn)、，與直線、與直線分別交于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，又設(shè)是直線上的點(diǎn)，且使得，（不同于點(diǎn)）是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，令與直線交于點(diǎn)證明：（2005年韓國(guó)奧林匹克題）證明 如圖1-22，

15、設(shè)的延長(zhǎng)線與（過(guò)點(diǎn)）的切線交于點(diǎn)由帕斯卡定理知、三點(diǎn)共線，從而點(diǎn)與重合由切割線窄彈知 ，所以，設(shè)與交于點(diǎn)，對(duì)及截線，截線分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，注意相交弦定理，有由、，得 例20 在梯形中，已知、分別為上、下底，為腰上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，滿足，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)證明：、三線共點(diǎn)（2011年烏克蘭奧林匹克題）證明 如圖1-23，設(shè)直線與、與分別交于點(diǎn)、先證、三點(diǎn)共線由，知，有上述三式相乘，有對(duì)應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點(diǎn)共線考慮和，注意到直線與，與、與分別交于點(diǎn)、，于是由戴沙格定理，知、三線共點(diǎn)【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1在中，點(diǎn)在上，分別在，上，交于點(diǎn)，求2在中，分別是，的中點(diǎn)，與相交

16、于，與相交于，求3是內(nèi)一點(diǎn)，引線段，和，使在上，在上，在上已知，求的面積（第7屆題）4設(shè)凸四邊形的對(duì)角線和交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線分別交，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，是以為圓心，以為半徑的圓上一點(diǎn)，求證：（1996年全國(guó)初中聯(lián)賽題）5已知，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求6設(shè)為等腰（）的直角邊的中點(diǎn)，在上，且，求證：7在中，點(diǎn)和順次三等分，點(diǎn)和順次三等分，與，分別交于點(diǎn)，求四邊形與的面積之比8，分別為四邊形的四條邊，上的點(diǎn)，若，三直線共點(diǎn)，則，三直線共點(diǎn)或平行9設(shè)，分別是的邊，和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，又，和分別是外接圓的切線證明：，三點(diǎn)共線（1989年新加坡競(jìng)賽題）10求證：三角形兩角的平分線與第

17、三角的外角平分線各與對(duì)邊所在直線的交點(diǎn)共線11已知直徑為的圓和圓上一點(diǎn)，設(shè)，和分別是這個(gè)圓在，處的切線設(shè)是直線與的交點(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)，證明：，三直線共點(diǎn)（第6屆加拿大競(jìng)賽題）12是中任一點(diǎn)，過(guò)作的平行線分別交，于，又過(guò)作的平行線，分別交，于，求證：，三線共點(diǎn)13在中，為中線，為角平分線，為上的點(diǎn)，使證明：（第58屆莫斯科奧林匹克題）14直線交直線，分別于，點(diǎn)與是線段兩側(cè)的直線上兩點(diǎn)，且過(guò)的直線交于，交于；過(guò)的直線交于，交于連結(jié)和，交直線分別于，求證：15設(shè)四邊形外切于一圓，分別是，邊上的切點(diǎn)，若直線與相交于點(diǎn)，則，三點(diǎn)共線16設(shè)為的內(nèi)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線，分別垂直于，若交于，交于，交于，證明：，共

18、線（-28預(yù)選題）17已知的與它的內(nèi)切圓相切于點(diǎn)證明：該圓的圓心在與的兩個(gè)中點(diǎn)，的連線上18已知凸四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)分別作直線，的垂線，垂足分別是，求證：，三直線共點(diǎn)或互相平行19設(shè)為圓外切四邊形，又，與該圓的切點(diǎn)為，求證：，共點(diǎn)習(xí)題B1是內(nèi)一點(diǎn)，分別過(guò)，且分別與，交于點(diǎn)，且分別與，交于點(diǎn)，求證：，三線共點(diǎn)2在中，為銳角，從上任一點(diǎn)作于，于，點(diǎn)是的垂心，求當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡（-7試題）3在正的邊，上有內(nèi)分點(diǎn)，將邊分成3，線段，相交所成的（交于，交于）是的面積的時(shí)，求的值（1992年日本奧林匹克預(yù)選題）4在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，的延長(zhǎng)線交于若，則5已知點(diǎn)，在（）的邊上，交于，又與的延長(zhǎng)線交于，交于，又與的延長(zhǎng)線交于求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1353題）6圓外切四邊形中，邊上的切點(diǎn)分別為，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)求證：（），四線共點(diǎn)；（），四線共點(diǎn)；（），四線共點(diǎn)（假定）7若凸四邊形的對(duì)角線與互相垂直，且相交于，過(guò)點(diǎn)分別作邊，的垂線，垂足依次為，并分別交，邊于，再順次連接，則；（-22試題的推廣）