太原市初中數(shù)學(xué)奧林匹克中的幾何問題：第1章梅涅勞斯定理及應(yīng)用

1、第一章涅勞斯定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長線上的點，若，三點共線，則證明 如圖，過作直線交的延長線于，則，故注 此定理的證明還有如下正弦定理證法及面積證法正弦定理證法 設(shè)，在中，有，同理，此三式相乘即證面積證法 由，此三式相乘即證梅涅勞斯定理的逆定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長線上的點，若，則，三點共線證明 設(shè)直線交于，則由梅涅勞斯定理，得到由題設(shè)，有，即有又由合比定理，知，故有，從而與重合，即，三點共線有時，也把上述兩個定理合寫為：設(shè)，分別是的三邊，所在直線（包括三邊的延長線）上的點，則，三點共線的充要條件是上述與式是針對而言的，如圖（整個圖中有4個三角形），

2、對于、也有下述形式的充要條件：；第一角元形式的梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，所在直線（包括三邊的延長線）上的點，則，共線的充分必要條件是證明 如圖，可得同理，以上三式相乘，運用梅涅勞斯定理及其逆定理，知結(jié)論成立第二角元形式的梅涅勞斯定理 設(shè)，分別是的三邊，所在直線上的點，點不在三邊所在直線上，則，三點共線的充要條件是證明 如圖，由，有同理，于是故由梅涅勞斯定理知，共線從而定理獲證注 （1）對于、式也有類似式（整個圖中有4個三角形）的結(jié)論（2）于在上述各定理中，若采用有向線段或有向角，則、式中的右端均為，、式中的角也可以按或式中的對應(yīng)線段記憶特別要注意的是三邊所在直線上的點為一點或者三點在邊的

3、延長線上【典型例題與基本方法】1恰當(dāng)?shù)剡x擇三角形及其截線（或作出截線），是應(yīng)用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵例1 如圖，在四邊形中，的面積比是341，點，分別在，上，滿足，并且，共線求證：與分別是和的中點（1983年全國高中聯(lián)賽題）證明 設(shè)（），交于，又因，三點共線，可視為的截線，故由梅涅勞斯定理，得，即化簡整理，得 ，解得，（舍去）故與分別是和的中點例2 如圖1-5，在四邊形中，對角線平分，在上取一點，與相交于，延長交于求證：（1999年全國高中聯(lián)賽題）證明 記，直線與相截，由梅涅勞斯定理，有故 即 ，亦即 ，且只可能為0，故 例3 設(shè)、分別為四邊形的邊、上的點，與交于點若，則證明 如圖1-6，只需證得

4、當(dāng)關(guān)于的等角線交于時，、共線即可事實上，、分別為三邊所在直線上的三點，且不在其三邊所在直線上又，由第二角元形式的梅涅勞斯定理，有故、三點共線注 當(dāng)平分時，即為1999年全國高中聯(lián)賽題2梅涅勞斯定理的逆用（逆定理的應(yīng)用）與迭用，是靈活應(yīng)用梅氏定理的一種方法例2另證 如圖1-5，設(shè)，關(guān)于的對稱點分別為，易知，三點共線，連，只須證明，三點共線設(shè)，則對，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點共線故注 在圖1-5中，*式也可為，若在的延長上，則*式為例4 如圖1-7，與和的三邊所在的3條直線都相切，為切點，直線與交于點求證：（1996年全國高中聯(lián)賽題）證法1 過作于，延長交直線于點對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，

5、有由，有顯然，三點共線，連，則由，有，從而 ，即又，則對，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點共線，即為直線與的交點故點與點重合，從而證法2 延長交于，直線與的三邊延長線都相交，直線與的三邊延長線都相交，分別應(yīng)用（迭用）梅涅勞斯定理，有，上述兩式相除，則有而，于是，即連，而，共線，則，且，從而，于是故，即【解題思維策略分析】梅涅勞斯定理是三角形幾何學(xué)中的一顆明珠，它蘊含著深刻的數(shù)學(xué)美，因而它在求解某些平面幾何問題，特別是某些平面幾何競賽題中有著重要的應(yīng)用1尋求線段倍分的一座橋梁例5 已知的重心為，是邊的中點，過作邊的平行線交邊于，交邊于，且與交于點，與交于點證明：（1991年第3屆亞太地區(qū)競賽題

6、）證明 如圖1-8，延長交于，則為的中點由，知，而對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，故從而，且同理，且由此可知，與的兩邊分別平行且方向相反，從而，且，故例6 是一個等腰三角形，是的中點；是的延長線上的一點，使得；是線段上不同于和的任意一點，在直線上，在直線上，使得，是不同的和共線的，求證：（）若，則；（）若，則（1994年第35屆試題）證明 （1）如圖1-9，連，由，易證，四點共圓，四點共圓則 ，因此故（）由，對及截線運用梅涅勞斯定理，有，即于是可證，得，故例7 在凸四邊形的邊和上取點和，使線段和把對角線三等分，已知，求證：是平行四邊形（1990年第16屆全俄競賽題）證明 如圖1-10，設(shè)，分別

7、交于，兩對角線交于要證是平行四邊形，若證得（或），且即可由，（等底等高），知，而，故有，從而有對及截線，及截線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，由，兩式相除得而，故，即有此時，又有又由，知，于是式可寫為，即有，亦即故為平行四邊形2導(dǎo)出線段比例式的重要途徑例8 在中，為邊上的中線，為的平分線，且交于，為上的點，使證明（1997年第58屆莫斯科競賽題）證明 如圖1-11，延長交于，只須證由平分，有由，有注意到，對及截線運用梅涅勞斯定理，得故，由合比定理，有，即為 由，式有，故例9 給定銳角，在邊上取點，（位于與之間），在邊上取點，（位于與之間），在邊上取點，（位于與之間），使得 ，直線，與可構(gòu)成一個三角

8、形，直線，與可構(gòu)成另一個三角形證明：這兩個三角形的六個頂點共圓（1995年第36屆1MO預(yù)選題）證明 如圖1-12，設(shè)題中所述兩個三角形分別為與由已知條件，有，得 ，此三式相乘得對及截線，及截線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，得， ，三式相乘化簡，得故同理，故從而點在的外接圓上同理，可證得，也在的外接圓上證畢例10 如圖1-13，以的底邊為直徑作半圓，分別與邊，交于點和，分別過點，作的垂線，垂足依次為，線段和交于點求證：（-37中國國家隊選拔賽題）證法1 設(shè)直線與交于，連，則知，直線與相截，直線與相截，迭用梅涅勞斯定理，有，兩式相除，得 在與中，有，即將其代入式，得又由，有 將其代入式，得 ，從而，而

9、，則，故證法2 作高，連，則，于是， ， 又， ，即，故對應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點共線由，知例11 如圖1-14，設(shè)點，分別為銳角的內(nèi)心和垂心，點，分別為邊，的中點已知射線交邊于點（），射線交的延長線于點，與相交于，為的外心試證：，三點共線的充分必要條件是和的面積相等（-2003試題）分析 首先證，三點共線設(shè)為的外心，連，則又，因此，四點共圓在的外接圓上與重合，三點共線其次，再證并在三角函數(shù)式中，用、分別表示三內(nèi)角證法1 設(shè)的外接圓半徑為，的延長線交于，對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 注意到 ，則 而 ，由式，有從而 又對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有注意到，有，即從而 由，注意，且為

10、銳角證法2 如圖1-14，設(shè)直線交于，直線交的延長線于對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有又由及角平分線性質(zhì)，即有令，則由式，有，即而，則又，（由題設(shè)知）從而 對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有將式代入上式，得， 同理 由，注意， 注 例11還有其他證法，可參見筆者另文關(guān)于2003年中國數(shù)學(xué)奧林匹克第一題（中等數(shù)學(xué)2003年第6期）例12 如圖1-15，凸四邊形的一組對邊與的延長線交于，且，過作截線交另一組對邊所在直線于，交對角線所在直線于，求工業(yè)化：證法1 如圖1-15，對及直線由梅涅勞斯定理得對及直線由梅涅勞斯定理得對及直線由梅涅勞斯定理得由得，所以，所以，故證法2 設(shè)與的延長線相交于和均被直線所截

11、，迭用梅涅勞斯定理，有，由，得注意到 （直線上的托勒密定理），則式變?yōu)?又由截和截，迭用梅涅勞斯定理，有，將此結(jié)果代入式整理，即得欲證結(jié)論注 當(dāng)，式顯然成立，故仍有結(jié)論成立此題是二次曲線蝴蝶定理的推論3論證點共直線的重要方法例13 如圖1-16，的內(nèi)切圓分別切三邊，于點，點是的一個內(nèi)點，的內(nèi)切圓也在點處與邊相切，并與，分別相切于點，證明：是圓內(nèi)接四邊形（1995年第36屆預(yù)選題）證明 由切線長定理，知，設(shè)的延長線與的延長線交于，對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有對應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點共線，故由切割線定理有，以而，即是圓內(nèi)接四邊形例14 如圖1-17，中，內(nèi)的旁切圓切的兩邊于和，直線與

12、交于；類似地定義，和，求證：，三點共線證明 由切線長定理，知，對與直線，分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，上述三式相乘，有設(shè)切于，切于，則由，可得同理又由兩內(nèi)公切線長相等，即，故同理，從而 ，故對用梅涅勞斯的逆定理，知，三點共直線例15 如圖1-18，設(shè)的三邊，所在的直線上的點，共線，并且直線，關(guān)于，平分線的對稱直線，分別與，所在直線交于，則，也共線證明 對及截線應(yīng)用第一角元形式的梅涅勞斯定理，有由題設(shè)知，從而有，即故由第一角元形式的梅涅勞斯定理，知，共線例16 在箏形中，過上的一點作一條直線分別交、于、，再過點作一條直線分別交、于、設(shè)與分別與交于、，求證：證明 如圖1-19，過作的平行線交直線于，再

13、過作的平行線交直線于，則，進而所以 又、分別為三邊所在直線上的點，且點不在三邊所在的直線上由第二角元形式的梅涅勞斯定理的逆定理知、共線于是，由，有因此，故注 當(dāng)，為中點時，即為1989年12月冬令營選拔賽試題例17 如圖1-20，四邊形內(nèi)接于圓，其邊，的延長線交于點，和的延長線交于點，過作該圓的兩條切線，切點分別為，求證：，三點共線（1997年試題）證明 設(shè)圓心為，連交于，連，則由切割線定理和射影定理，有，從而，四點共圓，即有，亦即為的內(nèi)角的外角平分線又，則平分設(shè)分別交，于，于是同理，于是，所以，直線與的三邊延長線相交，由梅涅勞斯定理，有對應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，三點共線所以，三點共線注

14、 此例的其他證法，可參見第二章例9，第九章例15等例18 已知的內(nèi)切圓分別切、于點、，線段、分別與該內(nèi)切圓交于點、，若直線與交于圓外一點證明、三點共線（2011年香港奧林匹克題）證明 如圖1-21，由切線長定理有對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，即有 設(shè)與交于點，由，有，又對及所在邊上的點、，有于是，由梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點共線4注意與其他著名定理配合運用例19 在中，已知，是處接圓的圓心，直線、分別切于點、，與直線、與直線分別交于點、，與交于點，與直線交于點，又設(shè)是直線上的點，且使得，（不同于點）是與的交點，是與的交點，令與直線交于點證明：（2005年韓國奧林匹克題）證明 如圖1-22，

15、設(shè)的延長線與（過點）的切線交于點由帕斯卡定理知、三點共線，從而點與重合由切割線窄彈知 ，所以，設(shè)與交于點，對及截線，截線分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，注意相交弦定理，有由、，得 例20 在梯形中，已知、分別為上、下底，為腰上一點，與交于點，為邊上一點，滿足，與交于點，與交于點證明：、三線共點（2011年烏克蘭奧林匹克題）證明 如圖1-23，設(shè)直線與、與分別交于點、先證、三點共線由，知，有上述三式相乘，有對應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知、三點共線考慮和，注意到直線與，與、與分別交于點、，于是由戴沙格定理，知、三線共點【模擬實戰(zhàn)】習(xí)題A1在中，點在上，分別在，上，交于點，求2在中，分別是，的中點，與相交

16、于，與相交于，求3是內(nèi)一點，引線段，和，使在上，在上，在上已知，求的面積（第7屆題）4設(shè)凸四邊形的對角線和交于點，過作的平行線分別交，于點，交的延長線于點，是以為圓心，以為半徑的圓上一點，求證：（1996年全國初中聯(lián)賽題）5已知，分別是的邊，上的點，且，連交邊的延長線于點，求6設(shè)為等腰（）的直角邊的中點，在上，且，求證：7在中，點和順次三等分，點和順次三等分，與，分別交于點，求四邊形與的面積之比8，分別為四邊形的四條邊，上的點，若，三直線共點，則，三直線共點或平行9設(shè)，分別是的邊，和延長線上的點，又，和分別是外接圓的切線證明：，三點共線（1989年新加坡競賽題）10求證：三角形兩角的平分線與第

17、三角的外角平分線各與對邊所在直線的交點共線11已知直徑為的圓和圓上一點，設(shè)，和分別是這個圓在，處的切線設(shè)是直線與的交點，是直線與的交點，證明：，三直線共點（第6屆加拿大競賽題）12是中任一點，過作的平行線分別交，于，又過作的平行線，分別交，于，求證：，三線共點13在中，為中線，為角平分線，為上的點，使證明：（第58屆莫斯科奧林匹克題）14直線交直線，分別于，點與是線段兩側(cè)的直線上兩點，且過的直線交于，交于；過的直線交于，交于連結(jié)和，交直線分別于，求證：15設(shè)四邊形外切于一圓，分別是，邊上的切點，若直線與相交于點，則，三點共線16設(shè)為的內(nèi)點，過點的直線，分別垂直于，若交于，交于，交于，證明：，共

18、線（-28預(yù)選題）17已知的與它的內(nèi)切圓相切于點證明：該圓的圓心在與的兩個中點，的連線上18已知凸四邊形內(nèi)接于，對角線，相交于點，過分別作直線，的垂線，垂足分別是，求證：，三直線共點或互相平行19設(shè)為圓外切四邊形，又，與該圓的切點為，求證：，共點習(xí)題B1是內(nèi)一點，分別過，且分別與，交于點，且分別與，交于點，求證：，三線共點2在中，為銳角，從上任一點作于，于，點是的垂心，求當(dāng)點在線段上移動時，點的軌跡（-7試題）3在正的邊，上有內(nèi)分點，將邊分成3，線段，相交所成的（交于，交于）是的面積的時，求的值（1992年日本奧林匹克預(yù)選題）4在中，點在上，點在上，的延長線交于若，則5已知點，在（）的邊上，交于，又與的延長線交于，交于，又與的延長線交于求證：（數(shù)學(xué)通報問題1353題）6圓外切四邊形中，邊上的切點分別為，與的延長線交于點，與延長線相交于點求證：（），四線共點；（），四線共點；（），四線共點（假定）7若凸四邊形的對角線與互相垂直，且相交于，過點分別作邊，的垂線，垂足依次為，并分別交，邊于，再順次連接，則；（-22試題的推廣）