標(biāo)準(zhǔn)偏差和相對標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

1、PAGE PAGE 15標(biāo)準(zhǔn)偏差出自 MBA智庫百科( HYPERLINK / wiki.mbalib./)數(shù)學(xué)表達(dá)式： S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個(gè) i-物料中某成分的各次測量值，1n； 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量, 其測得值

2、為l1、l2、ln。令測得值l與該量真值X之差為真差占, 則有1 = li X 2 = l2 X n = ln X 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE o 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差)為 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)貝塞爾公式由于真值是不可知的, 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時(shí), 算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差（也叫殘差）V

3、i來代替真差 , 即 設(shè)一組等精度測量值為l1、l2、ln 則 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差V的關(guān)系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 它用于有限次測量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算。由于當(dāng)時(shí)，,可見貝塞爾公式與的定義式(1)是完全一致的。 應(yīng)該指出, 在n有限時(shí), 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此, 我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn), 我們將的估計(jì)值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫為 (2) 在求S時(shí), 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 于是, 式(2)可寫為 (2) 按式

4、(2)求S時(shí), 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即可。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì) HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1 o 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義S2為 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o 樣本方差 樣本方差 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%80%BB%E4%BD%93%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o

5、總體方差 總體方差2的無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中, S2圍繞2散布, 它們之間沒有 HYPERLINK /wiki/%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%AF%AF%E5%B7%AE o 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時(shí),S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì), 也就是說S和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們, 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)值為 (3) 令 則 即S1和S僅相差一個(gè)系數(shù)K,K是與樣本個(gè)數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù), K值見表。 計(jì)算K時(shí)用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 當(dāng)n30時(shí), 。因此, 當(dāng)n30時(shí), 式(3)和式(

6、2)之間的差異可略而不計(jì)。在n=3050時(shí), 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n50時(shí)的情況, 當(dāng)n50時(shí),n和(n-1)對計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差的 HYPERLINK /wiki/%E6%9E%81%E5%B7%AE o 極差 極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大, 不宜現(xiàn)場采用, 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡便, 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場采用的特點(diǎn)。 極差用R表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測得值中的最大值與最小值之差。 若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 R = lmax lmin 概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公

7、式為 (5) S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏極差估計(jì), d2為與樣本個(gè)數(shù)n(測得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù), 其值見表2 由表2知, 當(dāng)n15時(shí), 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略的估計(jì)值為 (5) 還可以看出, 當(dāng)200n1000時(shí)，因而又有 (5) 顯然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì), 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 應(yīng)指出,式(5)的 HYPERLINK /wiki/%E5%87%86%E7%A1%AE%E5%BA%A6 o 準(zhǔn)確度 準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5n15時(shí),式(5)不僅大大提高了計(jì)算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n10時(shí), 由于舍去數(shù)

8、據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時(shí)應(yīng)將測得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 需指出, 此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時(shí)一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為 誤差理論給出 (A) 可以證明與的關(guān)系為 (證明從略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 從而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計(jì)值, 由于right|Vright|不需平方,故計(jì)算較為簡便。但該式的

9、準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1對標(biāo)稱值Ra = 0.160 m 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測得以下15個(gè)數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判

10、斷其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 若用無偏極差估計(jì)公式式(5)計(jì)算, 首先將測得的, 15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè), 見表3。 表3 組號(hào)l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每組為5個(gè)數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 故 若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2) , 則 若按無偏估計(jì)公式即式(3)計(jì)算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 則 若按 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1 o 最大似然估計(jì) 最大似然估計(jì)公式即式(4)計(jì)算,