標準偏差和相對標準偏差公式

1、PAGE PAGE 15標準偏差出自 MBA智庫百科( HYPERLINK / wiki.mbalib./)數(shù)學表達式： S-標準偏差（%） n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應少于20-30個 i-物料中某成分的各次測量值，1n； 標準偏差的使用方法 六個計算標準偏差的公式 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1標準偏差的理論計算公式設對真值為X的某量進行一組等精度測量, 其測得值

2、為l1、l2、ln。令測得值l與該量真值X之差為真差占, 則有1 = li X 2 = l2 X n = ln X 我們定義標準偏差(也稱 HYPERLINK /wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE o 標準差 標準差)為 （1） 由于真值X都是不可知的, 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。 標準偏差的常用估計貝塞爾公式由于真值是不可知的, 在實際應用中, 我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當時, 算術(shù)平均值就是真值。 于是我們用測得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差（也叫殘差）V

3、i來代替真差 , 即 設一組等精度測量值為l1、l2、ln 則 通過數(shù)學推導可得真差與剩余誤差V的關系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算。由于當時，,可見貝塞爾公式與的定義式(1)是完全一致的。 應該指出, 在n有限時, 用貝塞爾公式所得到的是標準偏差的一個估計值。它不是總體標準偏差。因此, 我們稱式(2)為標準偏差的常用估計。為了強調(diào)這一點, 我們將的估計值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫為 (2) 在求S時, 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學推導(過程從略)有 于是, 式(2)可寫為 (2) 按式

4、(2)求S時, 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即可。 標準偏差的無偏估計 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1 o 數(shù)理統(tǒng)計 數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o 樣本方差 樣本方差 數(shù)學上已經(jīng)證明S2是 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%80%BB%E4%BD%93%E6%96%B9%E5%B7%AE&action=edit o

5、總體方差 總體方差2的無偏估計。即在大量重復試驗中, S2圍繞2散布, 它們之間沒有 HYPERLINK /wiki/%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E8%AF%AF%E5%B7%AE o 系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時,S并不是總體標準偏差的無偏估計, 也就是說S和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們, 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標準偏差的無偏估計值為 (3) 令 則 即S1和S僅相差一個系數(shù)K,K是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關的一個系數(shù), K值見表。 計算K時用到 (n + 1) = n(n) (1) = 1 由表1知, 當n30時, 。因此, 當n30時, 式(3)和式(

6、2)之間的差異可略而不計。在n=3050時, 最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n50時的情況, 當n50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。 2.5標準偏差的 HYPERLINK /wiki/%E6%9E%81%E5%B7%AE o 極差 極差估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大, 不宜現(xiàn)場采用, 而極差估計的方法則有運算簡便, 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。 極差用R表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。 若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 R = lmax lmin 概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公

7、式為 (5) S3稱為標準偏差的無偏極差估計, d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關的無偏極差系數(shù), 其值見表2 由表2知, 當n15時, 因此, 標準偏差更粗略的估計值為 (5) 還可以看出, 當200n1000時，因而又有 (5) 顯然, 不需查表利用式(5)和(5)了即可對標準偏差值作出快速估計, 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結(jié)果進行校核。 應指出,式(5)的 HYPERLINK /wiki/%E5%87%86%E7%A1%AE%E5%BA%A6 o 準確度 準確度比用其他公式的準確度要低, 但當5n15時,式(5)不僅大大提高了計算速度, 而且還頗為準確。當n10時, 由于舍去數(shù)

8、據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準確度, 這時應將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 極差平均值和總體標準偏差的關系為 需指出, 此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標準偏差的平均誤差估計平均誤差的定義為 誤差理論給出 (A) 可以證明與的關系為 (證明從略) 于是(B) 由式(A)和式(B)得 從而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計值, 由于right|Vright|不需平方,故計算較為簡便。但該式的

9、準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。標準偏差的應用實例 HYPERLINK /wiki/%E5%9D%87%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%B7%AE l _note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3#_note-.E5.91.A8.E5.AF.8C.E8.87.A3 o 1對標稱值Ra = 0.160 m 的一塊粗糙度樣塊進行檢定, 順次測得以下15個數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63m, 試求該樣塊Rn的平均值和標準偏差并判

10、斷其合格否。 解：1)先求平均值 2)再求標準偏差S 若用無偏極差估計公式式(5)計算, 首先將測得的, 15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個, 見表3。 表3 組號l_1l_5R 11.481.651.601.671.520.19 21.461.721.691.771.640.31 31.561.501.641.741.630.24 因每組為5個數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 故 若按常用估計即貝塞爾公式式(2) , 則 若按無偏估計公式即式(3)計算, 因n=15，由表1查得K = 1.018, 則 若按 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1 o 最大似然估計 最大似然估計公式即式(4)計算,