半平面雙材料角界面應(yīng)力奇異性分布規(guī)律的探究

1、半平面雙材料角界面應(yīng)力奇異性分布規(guī)律的探究論文導(dǎo)讀:：本文對半平面雙材料角受集中力問題的界面應(yīng)力場作了深入的探究，特別著重于雙材料角端點附近的界面應(yīng)力的奇異性分布規(guī)律。論文關(guān)鍵詞：雙材料角，應(yīng)力奇異性，界面應(yīng)力，應(yīng)力強(qiáng)度因子0 引言自上世紀(jì)八十年代以來，對于雙材料角的初始脫粘判據(jù)的研究，主要是按照斷裂力學(xué)【1】的思路進(jìn)行的，即采用雙材料角應(yīng)力強(qiáng)度因子作為界面強(qiáng)度參數(shù)。迄今的研究說明，用雙材料角應(yīng)力強(qiáng)度因子只能建立固定楔角的雙材料角的初始脫粘判據(jù)，不能用來建立適用于不同楔角的雙材料角的初始脫粘的一般判據(jù)。為了探索建立不同楔角的雙材料角的初始脫粘的一般判據(jù)的途徑，有必要對雙材料角端點附近的界面應(yīng)力

2、的奇異性分布作深入的研究，藉以求得對雙材料角應(yīng)力奇異性的內(nèi)稟特性的充分了解。Williams 【2】發(fā)現(xiàn)在雙材料界面的自由邊界處存在應(yīng)力奇異性，而奇異性應(yīng)力可以用下式表示：?其中 表示界面應(yīng)力，為場點至界面端點的距離，稱為應(yīng)力強(qiáng)度因子，而 那么是應(yīng)力奇異性指數(shù)。Bogy ，Hein 【5】采用Airy應(yīng)力函數(shù)和Mellin變換，求解了雙材料角的平面特征值問題，得到的奇異性指數(shù)不是常數(shù)，而是與Dundurs常數(shù)及雙材料角的二個楔角有關(guān)的函數(shù)，即(2)式中Dundurs常數(shù)是二種材料的四個彈性常數(shù)的組合【6】(3)(4)式中為剪切模量,為Poisson比，下標(biāo)1，2標(biāo)注二種不同材料。由于，Dund

3、urs常數(shù)只能在()坐標(biāo)平面上的以(1, 0)，(1, 0.5)，(-1, 0)和-1, -0.5)為頂點的平行四邊形內(nèi)取值。雙材料角的奇異性指數(shù)一般以復(fù)數(shù)的形式來表示：。根據(jù)和的值，雙材料角可分為三種情形：(1) 無奇異性 (),(2) 奇異性 (),(3) 振蕩奇異性 ().在許多新型材料和結(jié)構(gòu)中常常會遇到雙材料角，例如：復(fù)合材料，焊接結(jié)構(gòu)，倒裝芯片的封裝等。由于雙材料角的奇異應(yīng)力場可能導(dǎo)致界面的脫粘，所以是否會發(fā)生雙材料角初始脫粘的判定格外重要。從Gradin 【7】, Akisanya, Reedy , Labossiere 和Nied 等文獻(xiàn)中，可以看到采用雙材料角應(yīng)力強(qiáng)度因子作為界

4、面強(qiáng)度參數(shù)，來建立固定楔角的雙材料角奇異性初始脫粘判據(jù)的研究進(jìn)展。Mohammed 試圖采用內(nèi)聚力模型來建立適用于不同楔角的雙材料角的初始脫粘的一般判據(jù)，他們得到的是預(yù)測失效載荷的一個由特別的設(shè)計參數(shù)表示的經(jīng)驗公式，不能稱之為一般判據(jù)。所以，適用于不同楔角的雙材料角的初始脫粘的一般判據(jù)至今尚未建立起來。Sinclair 對雙材料角的應(yīng)力奇異性的研究和進(jìn)展作了全面的綜述。他指出如果要把應(yīng)力分析方法應(yīng)用于建立雙材料角奇異性初始脫粘的一般判據(jù)，可以有如下的二個選擇。其一是嘗試除去應(yīng)力奇異性以獲得物理靈敏性的應(yīng)力physically sensitive stress。其二是對應(yīng)力奇異性賦以準(zhǔn)確的物理意

5、義的說明。至于怎樣做到這二個選項的要求，文中沒有論述。Dai 對半平面雙材料角受集中力問題 的嚴(yán)格解和漸近解的界面奇異應(yīng)力場進(jìn)行了研究，得到的結(jié)果是：如果應(yīng)力奇異性指數(shù)較高，雙材料角初始脫粘可能發(fā)生在雙材料角的端點處，如果應(yīng)力奇異性指數(shù)較低，那么雙材料角初始脫粘將不發(fā)生在雙材料角的端點處，而是發(fā)生在離端點較遠(yuǎn)的界面應(yīng)力的極大值處。這個結(jié)果得到了實驗的證實。對雙材料角界面應(yīng)力場奇異性的內(nèi)稟特性的充分了解是建立雙材料角奇異性初始脫粘一般判據(jù)的理論根底。雖然漸近解給出應(yīng)力強(qiáng)度因子，并能表示界面應(yīng)力奇異性分布的主要特點，但它只是奇異性界面應(yīng)力的漸近表達(dá)。所以要獲得關(guān)于奇異性界面應(yīng)力場的透徹的了解，同時

6、考察嚴(yán)格解和漸近解是必要的。漸近解以應(yīng)力強(qiáng)度因子表示應(yīng)力奇異性，嚴(yán)格解以應(yīng)力分量表示應(yīng)力奇異性。要了解雙材料角界面應(yīng)力場奇異性的內(nèi)稟特性，除了考察嚴(yán)格解和漸近解之外，沒有別的途徑。本文對半平面雙材料角受集中力問題的界面應(yīng)力的嚴(yán)格解和漸近解作了深入的探究，特別著重于雙材料角端點附近的界面應(yīng)力的奇異性分布規(guī)律。通過對嚴(yán)格解和漸近解的比擬，探求對半平面雙材料角應(yīng)力奇異性的內(nèi)稟特性的透徹了解。這是探索建立不同楔角的雙材料角初始脫粘的一般判據(jù)的可行途徑。1半平面雙材料角受集中力問題半平面雙材料角受集中力的彈性力學(xué)邊值問題如圖1所示。取極坐標(biāo)()，坐標(biāo)原點與雙材料角的界面端點重合，面為界面。集中力作用在邊

7、界上，作用點離雙材料角的端點的距離為。Bogy 采用Airy應(yīng)力函數(shù)和Mellin變換，求得了半平面雙材料角受集中力的彈性力學(xué)邊值問題的嚴(yán)格解和漸近解。1.1 界面剪應(yīng)力與正應(yīng)力的嚴(yán)格解令tij (r, q)表示極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，表示無量綱坐標(biāo):。無量綱界面剪應(yīng)力和界面應(yīng)力分別記作和。Bogy給出和 的嚴(yán)格解rigorous solution的積分表達(dá)式如下：(5) (6) 其中 (7) (8),(9)圖 1 二個1/4平面粘合的雙材料角受集中力Fig. 1Scheme of edge-bonded quarter-planes under concentrated normal force

8、由于嚴(yán)格解中包含有由Mellin反變換所帶來的積分圖 3 界面剪應(yīng)力Fig. 3 Interfacial shear stress圖 4 界面正應(yīng)力Fig. 4 Interfacial normal stress在奇點附近，和的數(shù)值非常小，B4到B6的和列出在本文附錄的附表A中。由附表A可以看到，在奇點附近的變化有正負(fù)相間，向奇點衰減的振蕩現(xiàn)象；在每一次正負(fù)變號的地方，一定有一個的零點。的零點也就是嚴(yán)格解和漸近解的交點。在某一個零點的外面，衰減的振蕩現(xiàn)象突然消失。由附表A可見，Dt 的零點不是唯一的，但是衰減的振蕩現(xiàn)象在此突然消失的零點卻是唯一的。這個唯一的零點，具有特殊的意義，定名為轉(zhuǎn)換點T

9、ransition point。轉(zhuǎn)換點是衰減的振蕩應(yīng)力的起始點，其坐標(biāo)用表示。雙材料角B1到B6的界面剪應(yīng)力的轉(zhuǎn)換點的位置在圖5中用標(biāo)出。圖5的坐標(biāo)軸采用對數(shù)形式，圖中，實線是嚴(yán)格解，虛線是漸近解。圖 5 界面剪應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點 ()Fig. 5 Transition point of interfacial shear stress ()圖 6 界面正應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點()Fig. 6Transition point of interfacial normal stress ()需要強(qiáng)調(diào)說明的一點是：轉(zhuǎn)換點圖7, 雙材料角 B4-B6的Dt 曲線圖 7 漸近段內(nèi)雙材料角的嚴(yán)格解與漸近解之差

10、Fig. 7Difference Dt of bimaterial corners B4 to B6界面剪應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點的剪應(yīng)力和正應(yīng)力分別記作和，的最大幅值記作，轉(zhuǎn)換點的坐標(biāo)記作。雙材料角B1到B6的，和的數(shù)值列于表2。作為比擬，界面剪應(yīng)力的極大值在的附近也在表2中給出。從表2看到：(Dt)max 與相比，是一個可以忽略的小的數(shù)值。此外，值得注意的一點是：隨著的提高而提高，而對的影響較小。從表2看到：B1到B3的大于，伴隨著奇異性指數(shù)的增大，B4到B6?的大于cssci期刊目錄。有與 類似的情況，見表3。界面正應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點的剪應(yīng)力和正應(yīng)力分別記作和，的最大幅值記作。從表2和表3看到

11、，B1到B6的界面正應(yīng)力的轉(zhuǎn)換點分別在對應(yīng)的界面剪應(yīng)力的轉(zhuǎn)換點的靠近端點的一側(cè)。表2 雙材料角B1到B6的剪應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點 雙材料角 ? ? B1 0.1468 0.0015 0.0884 -0.3189 0.00071 0.2169 B2 0.1940 0.00275 0.1348 -0.4205 0.00144 0.2293 B3 0.2436 0.00425 0.1981 -0.5465 0.00249 0.2426 B4 0.2952 0.00558 0.2911 -0.7180 0.00381 0.2570 B5 0.3489 0.00727 0.4182 -0.9338 0.0

12、0540 0.2716 B6 0.3839 0.00869 0.5601 -1.1601 0.00683 0.2877 Asymptoticpoints on interfacial shear stress of B1 to B6table2表3 雙材料角B1到B6的正應(yīng)力曲線上的轉(zhuǎn)換點 雙材料角 ? ? ? B1 0.1468 0.000144 0.1252 -0.4431 0.000201 0.2336 B2 0.1940 0.000324 0.2054 -0.6235 0.000501 0.2355 B3 0.2436 0.000589 0.3230 -0.8623 0.001053

13、0.2353 B4 0.2952 0.000942 0.4953 -1.1829 0.001817 0.2327 B5 0.3489 0.001367 0.7536 -1.6291 0.002812 0.2268 B6 0.3839 0.001759 1.0568 -2.1220 0.003736 0.2190 Asymptoticpoints on interfacial normal stress of B1 to B6table34 漸近段的漸近表達(dá)式界面剪應(yīng)力的轉(zhuǎn)換點是向端點作微幅震蕩衰減的的起始點，當(dāng)自轉(zhuǎn)換點減小到零，漸近解是以的微幅震蕩衰減的方式來和嚴(yán)格解趨近的。所以，自奇點到轉(zhuǎn)換

14、點，這一段可以稱為漸近段。在自奇點到轉(zhuǎn)換點的漸近段內(nèi)，式19成立，并可改寫成(21)由式21可見，自漸近段內(nèi)，嚴(yán)格解等于漸近解與之和。由于在整個漸近段范圍內(nèi)，與相比，只是一個小量。假設(shè)允許有的誤差，那么在漸近段內(nèi)嚴(yán)格解可以用漸近解來近似，并表示如下， (22)式22稱為漸近段的漸近表達(dá)式。在的零點位置上，公式左端取等號，在其它位置上，公式左端取近似號。由于震蕩衰減應(yīng)力在趨近端點時趨于消失，所以式22的準(zhǔn)確性也逐漸提高。轉(zhuǎn)換點也是漸近解顯著偏離嚴(yán)格解的起始點，當(dāng)大于，只有嚴(yán)格解是正確的，界面剪應(yīng)力的分布只能由嚴(yán)格解確定。自轉(zhuǎn)換點到無窮遠(yuǎn)，是界面剪應(yīng)力曲線的根本段。對于界面正應(yīng)力，有相似的結(jié)果，即

15、(23), (24)5 漸近段界面剪應(yīng)力奇異分布的特點根本段內(nèi)的界面剪應(yīng)力是由嚴(yán)格解確定的，而漸近段內(nèi)的界面剪應(yīng)力雖然也是由嚴(yán)格解確定的，但它還可以用漸近表達(dá)式表征。這充分說明漸近段的特殊性。漸近段的特殊性，植根于應(yīng)力奇異性。漸近段界面剪應(yīng)力的分布由漸近表達(dá)式22表征。漸近表達(dá)式中的參變數(shù)只有二個，即奇異性指數(shù)和應(yīng)力強(qiáng)度因子。僅依賴于由結(jié)構(gòu)決定的參數(shù)和，與外力的作用無關(guān)，可稱為結(jié)構(gòu)參量。的值由外力決定，是力學(xué)參量。在漸近表達(dá)式中，決定界面剪應(yīng)力按的規(guī)律分布，和的乘積確定漸近段內(nèi)界面剪應(yīng)力的漸近值。無論外力如何改變，它只影響的數(shù)值，界面剪應(yīng)力也隨著按比例變化，卻不會改變漸近段界面剪應(yīng)力按的分布規(guī)

16、律。這種界面剪應(yīng)力奇異分布的規(guī)律從奇點開始，一直保持到轉(zhuǎn)換點，其影響范圍普及漸近段，反映了應(yīng)力奇異性的存在。漸近段界面剪應(yīng)力的規(guī)律具有深刻的內(nèi)涵。界面端點是界面剪應(yīng)力的一個奇點，界面端點處，界面剪應(yīng)力趨于無限大。在轉(zhuǎn)換點，界面剪應(yīng)力急劇降至。在端點至轉(zhuǎn)換點的范圍內(nèi)，有了任何一點的坐標(biāo)值和相應(yīng)的界面剪應(yīng)力值，就可以根據(jù)漸近表達(dá)式推算出應(yīng)力強(qiáng)度因子。當(dāng)然，也可以推算出任意另外一點的界面剪應(yīng)力值，包括端點和漸近點。這說明漸近段內(nèi)的任意一點及其界面剪應(yīng)力，就可以確定出整個漸近段的界面剪應(yīng)力。漸近段內(nèi)不同點的界面剪應(yīng)力，不管是無限大還是有限大，不管是較大還是較小，它們都對應(yīng)于同一個應(yīng)力強(qiáng)度因子，而是用作

17、控制界面端點處初始脫粘是否發(fā)生的力學(xué)參量 【7】。由此可見，漸近段內(nèi)不同點的界面剪應(yīng)力不能再用作控制界面端點處初始脫粘是否發(fā)生的力學(xué)參量。換言之，漸近段內(nèi)的界面剪應(yīng)力不具有物理靈敏性。這種情形使得我們沒有方法以一般的應(yīng)力場來看待漸近段的奇異應(yīng)力場。6 漸近段界面剪應(yīng)力的非奇異分布漸近段界面剪應(yīng)力奇異分布的規(guī)律是應(yīng)力奇異性造成的。我們不能以一般的應(yīng)力場來看待漸近段奇異分布的界面剪應(yīng)力。那么，漸近段內(nèi)能否找到按非奇異分布的界面剪應(yīng)力呢？這里，非奇異分布的界面剪應(yīng)力是指未受奇異性干擾，不按規(guī)律分布的界面剪應(yīng)力。根本段的界面剪應(yīng)力是一般的應(yīng)力場，具有物理靈敏性，是非奇異分布的界面剪應(yīng)力，可以用作控制界

18、面初始脫粘是否發(fā)生的力學(xué)參量。轉(zhuǎn)換點是漸近段和根本段的連接處，是根本段的非奇異分布和漸近段的奇異分布的過渡點。因此，轉(zhuǎn)換點可以作為考察漸近段內(nèi)的界面剪應(yīng)力的非奇異分布的出發(fā)點。在還沒有關(guān)于漸近段內(nèi)的界面剪應(yīng)力的非奇異分布的可靠分析前，我們可以作如下的定性估計。由于轉(zhuǎn)換點的位置非常靠近自由邊界，其間的距離通常以微米度量，將根本段的界面剪應(yīng)力自轉(zhuǎn)換點外插到界面端點，可以作為漸近段內(nèi)非奇異分布界面剪應(yīng)力的近似。由此可以得到界面端點處的非奇異分布的界面剪應(yīng)力的近似值。以B1到B6為例，用外插法得到的界面端點處的非奇異分布的界面剪應(yīng)力既不是零，也不是無限大物理論文，而是一個與轉(zhuǎn)換點界面剪應(yīng)力相近的有限值

19、。那么，為什么在半平面雙材料角B1到B6的彈性力學(xué)嚴(yán)格解中，我們看不到這種漸近段的非奇異分布的界面剪應(yīng)力呢？這是因為對于B1到B6，如果界面端點處的非奇異分布的界面剪應(yīng)力是有限值，就會在端點產(chǎn)生應(yīng)力奇異性。7 半平面雙材料角端點存在應(yīng)力奇異性的條件考慮到有的半平面雙材料角在端點出現(xiàn)應(yīng)力奇異性，如B1到B6，而另外的半平面雙材料角的端點處不出現(xiàn)應(yīng)力奇異性，如B7。由此可見，半平面雙材料角界面端點本身并非一定是界面應(yīng)力的奇點，要使得端點變成界面應(yīng)力的奇點，必有別的附加條件。半平面雙材料角B7與B1到B6的些微差異表現(xiàn)在端點的非奇異分布的界面剪應(yīng)力上。B7的端點的非奇異分布的界面剪應(yīng)力為零見圖3，而

20、B1到B6的端點的非奇異分布的界面剪應(yīng)力是一個與轉(zhuǎn)換點界面剪應(yīng)力相差不大的有限值近似插值，見節(jié)7。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，由于在自由邊界的端點處，給定的剪應(yīng)力為零，所以要求端點處的界面上的剪應(yīng)力也必須是零。B1到B6的端點的非奇異分布的界面剪應(yīng)力等于有限值，而在自由邊界的端點處，給定的剪應(yīng)力為零，這使得剪應(yīng)力互等定理在界面端點得不到滿足。于是B1到B6的端點成為邊界條件的一個奇點，端點處的應(yīng)力奇異性由此產(chǎn)生。結(jié)果是：在存在邊界條件奇點的嚴(yán)格解中，出現(xiàn)漸近段內(nèi)界面剪應(yīng)力按規(guī)律的奇異分布。對于雙材料角B7，端點處沒有剪應(yīng)力互等定理的矛盾，所以不是邊界條件的奇點。半平面雙材料角端點存在應(yīng)力奇異性的條件歸

21、結(jié)為：1應(yīng)力奇異性指數(shù)，2在界面端點處，給定的邊界剪應(yīng)力為零，3在界面端點處，非奇異分布的界面剪應(yīng)力是有限值。應(yīng)力奇異性指數(shù)是半平面雙材料角應(yīng)力奇異性的必要條件，剪應(yīng)力互等定理在界面端點無法滿足是半平面雙材料角應(yīng)力奇異性的充分條件。8 界面應(yīng)力強(qiáng)度因子與轉(zhuǎn)換點剪應(yīng)力的關(guān)系式漸近段內(nèi)的奇異性界面剪應(yīng)力不具有物理靈敏性，可是，轉(zhuǎn)換點是個例外。轉(zhuǎn)換點是根本段的非奇異分布和漸近段的奇異分布的過渡點。所以轉(zhuǎn)換點的界面剪應(yīng)力是具有物理靈敏性的。把轉(zhuǎn)換點代入漸近段的漸近表達(dá)式由于轉(zhuǎn)換點是嚴(yán)格解曲線和漸近解曲線的一個交點，公式25是準(zhǔn)確的，沒有因略去而造成的誤差。公式25具有特殊的意義。由于轉(zhuǎn)換點也屬于根本段

22、，所以是根本段的非奇異分布的界面剪應(yīng)力。公式25把表征漸近段奇異分布的應(yīng)力強(qiáng)度因子，與轉(zhuǎn)換點的非奇異分布界面剪應(yīng)力之間建立了變換的數(shù)量關(guān)系。因為可以用作雙材料角界面奇異性初始脫粘的強(qiáng)度參量【7】，由式25可知，將是與等效的強(qiáng)度參量。由此可見，在雙材料角界面奇異性初始脫粘判據(jù)的研究中，式25將起到重要的作用。的量綱是，的量綱隨而變，這是雙材料角界面奇異性初始脫粘判據(jù)研究中多年來難以克服的困難。的量綱是，的量綱是確定不變的。關(guān)系式25的意義在于它提供了解決雙材料角初始脫粘判據(jù)的的量綱問題的途徑。為此，需要進(jìn)一步研究的問題是：對任意楔角的雙材料角建立界面剪應(yīng)力強(qiáng)度因子與轉(zhuǎn)換點界面剪應(yīng)力的關(guān)系式。對半

23、平面雙材料角的界面正應(yīng)力，有相同的結(jié)果26式中是轉(zhuǎn)換點處的界面正應(yīng)力。9 結(jié)論要深入研究雙材料角端點附近的界面應(yīng)力的奇異性分布規(guī)律，需要用到嚴(yán)格解和漸近解。Bogy 求解了半平面雙材料角受集中力問題，得到的界面應(yīng)力的嚴(yán)格解和漸近解，是本文研究的根底。通過對半平面雙材料角受集中力問題的嚴(yán)格解和漸近解的界面應(yīng)力的比擬，發(fā)現(xiàn)在半平面雙材料角端點鄰近，嚴(yán)格解和漸近解的差是一個向端點衰減的微幅震蕩的應(yīng)力分布。這個向端點衰減的微幅震蕩應(yīng)力的起始點，本文稱之為轉(zhuǎn)換點。在轉(zhuǎn)換點之外，漸近解顯著地偏離嚴(yán)格解，單調(diào)下降并趨近于零。自端點到轉(zhuǎn)換點，嚴(yán)格解等于漸近解與微幅震蕩衰減應(yīng)力的疊加，稱為漸近段。自轉(zhuǎn)換點到無窮

24、遠(yuǎn)，界面應(yīng)力由嚴(yán)格解確定，是界面應(yīng)力的根本段。所以，轉(zhuǎn)換點將界面應(yīng)力曲線分成漸近段和根本段。根據(jù)漸近段的漸近表達(dá)式，本文討論了漸近段界面剪應(yīng)力奇異分布的特點。漸近段界面剪應(yīng)力的規(guī)律具有深刻的內(nèi)涵。漸近段內(nèi)不同點的界面剪應(yīng)力，不管是無限大還是有限大，不管是較大還是較小，在漸近段的范圍內(nèi)，它們都對應(yīng)于同一個界面剪應(yīng)力強(qiáng)度因子。界面剪應(yīng)力奇異分布的規(guī)律從奇點開始，一直保持到轉(zhuǎn)換點，反映了應(yīng)力奇異性的影響范圍普及漸近段。根據(jù)漸近段界面剪應(yīng)力的非奇異分布的推論，本文討論了半平面雙材料角端點存在應(yīng)力奇異性的條件。半平面雙材料角存在應(yīng)力奇異性的條件歸結(jié)為：應(yīng)力奇異性指數(shù)，界面端點處，給定的邊界剪應(yīng)力為零，而

25、非奇異分布的界面剪應(yīng)力是有限值。剪應(yīng)力互等定理在界面端點無法滿足是半平面雙材料角應(yīng)力奇異性的充分必要條件。轉(zhuǎn)換點的意義在于它是漸近段和根本段的過渡點。把轉(zhuǎn)換點代入漸近段的漸近表達(dá)式，即可導(dǎo)出表征奇異性的界面剪應(yīng)力強(qiáng)度因子與轉(zhuǎn)換點的界面剪應(yīng)力的關(guān)系式。這個關(guān)系式將有利于雙材料角界面奇異性初始脫粘判據(jù)的研究和建立。最后，需要說明的一點是：本文所作的數(shù)值計算得到的數(shù)字，僅僅用于附表A和表1到表3，以及用于圖3到圖7，藉以從數(shù)值結(jié)果方面查明轉(zhuǎn)換點的存在。而在式25的推演過程中，既沒有做過數(shù)值運算，也沒在公式中引入數(shù)值運算得到的數(shù)字。因此公式25具有與嚴(yán)格解和漸近解相同的精確度。參考文獻(xiàn)【1】Irwin

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