現(xiàn)代控制技術(shù)2 可控性和可觀性

1、控制原理與接口技術(shù)Tel:1 在控制工程中，有兩個(gè)問(wèn)題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉(zhuǎn)移）到希望的狀態(tài)上，以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出在一段時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)，能否判斷（識(shí)別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問(wèn)題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個(gè)概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性問(wèn)題中最重要的問(wèn)題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問(wèn)題的解是不存在的。系統(tǒng)的可控性和可觀性2可控性定義：當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)

2、達(dá)到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解為：如果有限的時(shí)間內(nèi)0 t a=0 1；0 0； b=expm(a*0.1) matlab語(yǔ)句系統(tǒng)的可控性和可觀性16根據(jù)要求，希望極點(diǎn)位于s平面s1,2= -n j (1- 2n)1/2=-1.8 j 3.12滿秩，能控根據(jù)z=esT的關(guān)系，將s1,2和T0.1代入，可得：z1,2 =0.835 e j 0.312 = 0.835cos0.312 j 0.835sin0.312 換言之，希望得到的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為(z-0.8)2-(j 0.256)2=0 z2 1.6 z + 0.7 = 0系統(tǒng)的可控

3、性和可觀性17若狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 L= L1 L2 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為|(zI-F+GL)|= z2+ (0.1L2+0.005L12)z+0.005L1-0.1L2+1=0求解得 L2=3.5 L1=10 于是 L= 10 3.5 u(k)= -Lx(k)系統(tǒng)的可控性和可觀性18狀態(tài)觀測(cè)器之所以可以做狀態(tài)反饋，是因?yàn)榧俣ㄋ械臓顟B(tài)是可以測(cè)得 (可觀的)。在生產(chǎn)實(shí)際中，絕大多數(shù)的情況是：被控對(duì)象模型可知，狀態(tài)方程可寫出，但是對(duì)象內(nèi)部的狀態(tài)不一定可測(cè)得，往往得到的只是輸出。狀態(tài)觀測(cè)器19在這種情況下，如果不能得到所有狀態(tài)的情況，就不能采用極點(diǎn)配置的方法構(gòu)成所希望的控制系統(tǒng)?？捎^性定義告訴我

4、們，當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個(gè)初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。換言之，如果被控系統(tǒng)完全可觀，我們可以用通過(guò)系統(tǒng)的輸入、輸出計(jì)算出系統(tǒng)的所有狀態(tài)。狀態(tài)觀測(cè)器20狀態(tài)觀測(cè)器具體地說(shuō)，狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，就是重新構(gòu)造一個(gè)系統(tǒng)，利用原系統(tǒng)中可直接測(cè)量的變量如輸入量和輸出量作為它的輸入信號(hào)，并使其輸出信號(hào)在一定的提法下等價(jià)于原系統(tǒng)的狀態(tài)而稱這個(gè)用以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測(cè)器。一般，兩者間的等價(jià)性常采用漸近等價(jià)提法，即使得兩者僅成立通常，稱 為的重構(gòu)狀態(tài)或估計(jì)狀態(tài)21通過(guò)輸出計(jì)算得到的系統(tǒng)狀態(tài)，顯然是一個(gè)估計(jì)值，如果對(duì)狀

5、態(tài)估計(jì)的很準(zhǔn)，通過(guò)極點(diǎn)配置法，就可以得到比較理想的控制系統(tǒng)。預(yù)報(bào)觀測(cè)器未來(lái)狀態(tài)的估計(jì)值對(duì)“當(dāng)前狀態(tài)當(dāng)前輸入修正值”求加權(quán)和修正的越準(zhǔn)，狀態(tài)預(yù)測(cè)越準(zhǔn)。對(duì)(真實(shí)輸出-預(yù)測(cè)輸出)的修正對(duì)象F、G對(duì)象F、GCCKu(k)x(k)y(k)預(yù)報(bào)觀測(cè)器是一個(gè)輸入為u(k)和偏差修正值，輸出為狀態(tài)變量預(yù)測(cè)值的系統(tǒng)。狀態(tài)觀測(cè)器22狀態(tài)觀測(cè)器 定義為實(shí)際狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)間的狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差矢量所應(yīng)滿足的動(dòng)態(tài)方程為23如何選擇修正矩陣(觀測(cè)器的增益矩陣)K成為關(guān)鍵狀態(tài)變量的預(yù)測(cè)誤差(誤差的動(dòng)態(tài)模型)為：合理選擇K使預(yù)測(cè)誤差收斂是最終目的。該模型的特征方程的極點(diǎn)為：|(zI-F+KC)|0于是可以根據(jù)要求的

6、預(yù)測(cè)誤差動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，配置極點(diǎn)使預(yù)測(cè)誤差收斂于0。具體作法：給定極點(diǎn)，構(gòu)造特征方程： (z-z1)(z-z2)(z-zn)=0求出預(yù)測(cè)誤差模型的特征方程：|(zI-F+KC)|0其中 K=k1,k2,kn用待定系數(shù)法，求取K。狀態(tài)觀測(cè)器24未來(lái)狀態(tài)的估計(jì)值對(duì)“未來(lái)狀態(tài)的預(yù)估值對(duì)未來(lái)輸出偏差的修正值”求加權(quán)和；修正的越準(zhǔn)，狀態(tài)預(yù)測(cè)越準(zhǔn)。狀態(tài)變量的預(yù)測(cè)誤差(誤差的動(dòng)態(tài)模型)為：該模型的特征方程的極點(diǎn)為：|(zI-F+KCF)|0可以通過(guò)極點(diǎn)配置求取K。對(duì)(未來(lái)真實(shí)輸出-未來(lái)預(yù)測(cè)輸出)的修正現(xiàn)實(shí)觀測(cè)器25預(yù)報(bào)觀測(cè)器和現(xiàn)實(shí)觀測(cè)器都是根據(jù)輸出量重構(gòu)全部狀態(tài)，即觀測(cè)器的階數(shù)等于狀態(tài)的個(gè)數(shù)全階觀測(cè)器在實(shí)際系

7、統(tǒng)中，在測(cè)量到的輸出y(k)=Cx(k)中，已直接給出了部分狀態(tài)變量。顯然，這部分變量不必通過(guò)估計(jì)就可直接得到。對(duì)狀態(tài)的估計(jì)可限制在剩余的、不可測(cè)量的狀態(tài)變量范圍內(nèi)。將狀態(tài)變量分為兩部分xa(k)為可測(cè)量的狀態(tài)變量；xb(k)為不可測(cè)量的狀態(tài)變量(需估計(jì)的狀態(tài)變量)。降階觀測(cè)器26x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)將導(dǎo)出結(jié)果與狀態(tài)方程格式進(jìn)行比較x(k) xb(k)FFbbGu(k)Fbaxa(k)+Gbu(k)y(k) xa(k+1)-Faaxa(k)+Gau(k)CFab將矩陣展開27如果選擇預(yù)報(bào)觀測(cè)器模型，狀態(tài)的估計(jì)值為將矩陣展開28上式為各狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差的運(yùn)動(dòng)方程

8、，對(duì)其求z變換可得各狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差傳遞函數(shù)的特征函數(shù)(傳遞函數(shù)分母的z-1多項(xiàng)式)。特征函數(shù)的極點(diǎn)為|zI-Fbb+KFab|0根據(jù)希望誤差運(yùn)動(dòng)規(guī)律配置極點(diǎn)，即可求出K。同理，可求出選擇現(xiàn)實(shí)觀測(cè)器模型時(shí)的K值。預(yù)測(cè)誤差方程29被控對(duì)象狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)狀態(tài)觀測(cè)(預(yù)報(bào)觀測(cè)器)和狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)r(k)=0觀測(cè)器控制規(guī)律零階保持器被控對(duì)象y(t)u(k)u(t)x(k)y(k)按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器30狀態(tài)及狀態(tài)預(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)其求z變換可得各狀態(tài)及狀態(tài)預(yù)測(cè)傳遞函數(shù)的特征函數(shù)(傳遞函數(shù)分母的z-1多項(xiàng)式)。按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器31分離性原理：

9、可分別設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制規(guī)律和觀測(cè)器。第二列加到第一列第二行減去第一行按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器32根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)性能要求給定幾個(gè)控制極點(diǎn)；按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律，計(jì)算L；合理選擇給定觀測(cè)器的極點(diǎn)，選擇觀測(cè)器類型，計(jì)算觀測(cè)器增益矩陣K；根據(jù)所設(shè)計(jì)的控制規(guī)律和觀測(cè)器，由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)之。幾點(diǎn)說(shuō)明：控制極點(diǎn)，根據(jù)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來(lái)選擇，為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，個(gè)數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)相同；觀測(cè)器極點(diǎn)，使?fàn)顟B(tài)估計(jì)值能夠較快地逼進(jìn)真值；其對(duì)應(yīng)的衰減速度應(yīng)是主導(dǎo)極點(diǎn)衰減速度的45倍；個(gè)數(shù)與預(yù)測(cè)狀態(tài)數(shù)相同。狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)33觀測(cè)器類型的選擇，如果控制器的計(jì)算延時(shí)與采樣周期處于同一數(shù)量級(jí)，則可使用預(yù)報(bào)觀測(cè)器；反之，可使

10、用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器。如果輸出測(cè)量比較準(zhǔn)確，且輸出是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，則可使用降階觀測(cè)器；反之，用全階觀測(cè)器。例：有被控系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程系統(tǒng)采樣周期0.1s。要求控制極點(diǎn)配置在z1=0.6，z2=0.8；預(yù)報(bào)觀測(cè)器極點(diǎn)配置在0.9j0.1處。解：求反饋增益矩陣L。狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)34根據(jù)要求有特征多項(xiàng)式：(z- 0.6)(z- 0.8)=z2+1.4z+0.48|zI-F+GL|=z2 +(0.005L1 +0.1L2-2)z+1+ 0.005L1 +0.1L2與要求的特征多項(xiàng)式比較，解待定系數(shù)方程，可得L=L1 L2=8 5.6求預(yù)測(cè)增益矩陣K根據(jù)要求有特征多項(xiàng)式：(z- 0.9)2+0.12=

11、z2-1.8z+0.82|zI-F+KC|=z2 -(2-K1)z+1- K1 +0.1K2與要求的特征多項(xiàng)式比較，解待定系數(shù)方程，可得K=K1 K2=0.2 0.2狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)35系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器為帶PI狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)前面所言的狀態(tài)反饋控制器是將系統(tǒng)狀態(tài)按比例反饋。當(dāng)有階躍或常值干擾時(shí)，這種控制方式會(huì)產(chǎn)生靜態(tài)誤差。為了克服由常值干擾帶來(lái)的系統(tǒng)靜態(tài)誤差，有效方法是加入積分控制。 x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+(k) y(k)=Cx(k)由于(k)是階躍干擾，當(dāng)k1時(shí)，(k)=0對(duì)離散狀態(tài)方程做差分運(yùn)算，有階躍干擾狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)36x(k+1)=Fx(k)+Gu(k

12、) k1 y(k)=Cx(k)y(k+1)= y(k)+CFx(k)+CGu(k) x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) k1狀態(tài)方程變?yōu)檩敵龊蜖顟B(tài)變化率的運(yùn)動(dòng)方程。且輸出取決于控制器輸出u(k)的變化率和系統(tǒng)狀態(tài)x(k)的變化率。根據(jù)對(duì)輸出和系統(tǒng)狀態(tài)變化率的要求，可用配置極點(diǎn)的方法滿足要求。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)L=L1 L2狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)37最終的控制器輸出應(yīng)該為u(k)的累計(jì)。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)對(duì)其兩端求和控制器輸出對(duì)象輸出的積分對(duì)狀態(tài)的比例反饋通過(guò)極點(diǎn)的配置使系統(tǒng)y(k+1)= y(k)+CFx(k)+CGu(k)

13、x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) k1處于穩(wěn)定狀態(tài)(輸入為零時(shí)，最終穩(wěn)態(tài)也為零)，與(k)無(wú)關(guān)。(k)-L1零階保持器被控對(duì)象y(t)u(k)u(t)x(k)y(k)-L2C-狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)38如果對(duì)帶PI調(diào)節(jié)得狀態(tài)反饋控制器增加輸入L1x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+(k)y(t)u(k)u(t)x(k)e(k)L2Cr(k)-跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)39對(duì)于r(k)=常數(shù)，(k)0時(shí)有x(k+1)=Fx(k)+Gu(k) y(k)=Cx(k)可得x(k+1)=(F-GL2)x(k)+Guc(k)其解為x()=(I-F+GL2)-1Guc()y()=Cx()=C(I-F+GL2)-1Gu

14、c()按極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)得閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)40LQ最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)設(shè)無(wú)干擾情況下，被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程為 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y (t)=Cx(t)被控對(duì)象與離散調(diào)節(jié)器之間采用零階保持器u(t)=u(k) kTt(k+1)T與其對(duì)應(yīng)的離散狀態(tài)方程為最優(yōu)設(shè)計(jì)是指在給定某個(gè)最優(yōu)指標(biāo)后，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足給定指標(biāo)。狀態(tài)空間的最優(yōu)設(shè)計(jì)法41LQ最優(yōu)設(shè)計(jì)是指：給定指標(biāo)函數(shù)J(二次型性能指標(biāo))當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到tt0時(shí)，以J最小為準(zhǔn)則設(shè)計(jì)最優(yōu)調(diào)節(jié)器 u(k)=-Lx(k)當(dāng)r(k)=0時(shí)，系統(tǒng)框圖如下。LQ最優(yōu)調(diào)節(jié)器x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)u(k)x(k)LC當(dāng)

15、N為有限拍時(shí)，稱為有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題；當(dāng)N=時(shí)，為無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器。狀態(tài)空間的最優(yōu)設(shè)計(jì)法42令tkT，有令t(k+1)T，有兩式相減，并考慮到零階保持器的作用當(dāng)tNT時(shí)，有二次型性能指標(biāo)的離散化43對(duì)J(k)離散化最優(yōu)控制規(guī)律的計(jì)算問(wèn)：如何構(gòu)造u(k)，使系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)滿足給定指標(biāo)函數(shù)J。二次型性能指標(biāo)的離散化44答案：控制過(guò)程：給定N；有S(N)=Q0；求S(k)=S(N-1)，L(k)=L(N-1)，u(k)=u(N-1) 求S(k)=S(N-2)，L(k)=L(N-2)，u(k)=u(N-2)直至求出S(k)=S(0)，L(k)=L(0)，u(k)=u(0)得到控制序列u(0)，u

16、(1)， u(N-1)。二次型性能指標(biāo)的離散化45前面的推導(dǎo)是建立在所有的系統(tǒng)狀態(tài)都可測(cè)的基礎(chǔ)之上。如果系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測(cè)，則必須對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器(預(yù)報(bào)、現(xiàn)實(shí)、降階)。如果，被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)被噪聲c干擾，同時(shí)在對(duì)其輸出進(jìn)行測(cè)量的測(cè)量結(jié)果被噪聲c(t)污染，則觀測(cè)到的狀態(tài)是不準(zhǔn)確的。為了達(dá)到使觀測(cè)到的狀態(tài)盡可能的準(zhǔn)確，就必須設(shè)計(jì)可以濾除噪聲的觀測(cè)器卡爾曼濾波器。x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y (t)=Cx(t)+c(t)假設(shè)噪聲互不相關(guān)，且噪聲的統(tǒng)計(jì)特性已知Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Vc(t-)Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Wc(t-)卡爾曼濾

17、波46將混入噪聲的被控對(duì)象離散化x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y (t)=Cx(t)+c(t)根據(jù)一階微分方程組的解有：設(shè)調(diào)節(jié)器的輸出與被控對(duì)象之間有一零階保持器u(t)=u(k) kTt(k+1)T令t0=kT， t=(k+1)T x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d(k) y(k)=Cx(k)+d(k)卡爾曼濾波47根據(jù)給定條件，求取噪聲序列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)Ed(k)=0， Ed(k)dT(k)=VkjEd(k)=0， Ed(k)dT(k)=Wkjkj=1，k=j；kj=0，kj為了得到對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)(隨機(jī)序列) 較為準(zhǔn)確的估計(jì)，應(yīng)將隨機(jī)噪聲帶來(lái)的干擾降到最低卡爾曼濾波。由于狀態(tài)

18、誤差也是一個(gè)隨機(jī)量求取其統(tǒng)計(jì)參數(shù)協(xié)方差矩陣如果能使協(xié)方差矩陣變得最小，就可使?fàn)顟B(tài)的估計(jì)最準(zhǔn)。換言之最優(yōu)估計(jì)應(yīng)是在前k次輸出y(k)的條件下，狀態(tài)的期望值?？柭鼮V波48如果記根據(jù)k時(shí)刻即k時(shí)刻以前的量測(cè)值，估計(jì)j時(shí)刻的狀態(tài)。如果kj：根據(jù)k時(shí)刻即k時(shí)刻以前的量測(cè)值，估計(jì)以前的狀態(tài)平滑或內(nèi)插。如果kj：根據(jù)k時(shí)刻即k時(shí)刻以前的量測(cè)值，估計(jì)未來(lái)的狀態(tài)預(yù)報(bào)或外推。如果k=j：根據(jù)k時(shí)刻即k時(shí)刻以前的量測(cè)值，估計(jì)當(dāng)前(現(xiàn)時(shí)刻)的狀態(tài)濾波?？柭鼮V波49引入說(shuō)明符號(hào)為k-1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)為k-1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差為k-1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣為下一步的預(yù)報(bào)估計(jì)為下一步的預(yù)報(bào)估計(jì)誤差卡爾曼濾波50為下一步的預(yù)報(bào)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣為k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)為k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差為下一步的預(yù)報(bào)估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣卡爾曼濾波51狀態(tài)預(yù)報(bào)根據(jù)狀態(tài)方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d(k) y(k)=Cx(k)+d(k)卡爾曼濾波52因?yàn)镋d(k)=0且因此預(yù)報(bào)方程為預(yù)報(bào)誤差為卡爾曼濾波53預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差設(shè)x(